Cramersche Regel
Kapitoly: Systeme von Gleichungen, Cramersche Regel, Homogene Systeme
Die Cramersche Regel wird verwendet, um ein System linearer Gleichungen zu lösen, bei dem die Matrix des Systems regelmäßig ist.
Cramersches System
Betrachten wir ein System linearer Gleichungen Ax = b. Wir nennen dieses System Cramersches System, wenn A eine quadratische reguläre Matrix ist. Das heißt, die Determinante dieser Matrix ist immer ungleich Null und somit hat die Matrix keine linear abhängigen Zeilen oder Spalten.
Nach dem Frobenius-Theorem hat jedes kramersche System genau eine Lösung. Das Frobenius-Theorem besagt, dass das System eine Lösung hat, wenn rank(A) = rank(A|b) = k ist. Die Matrix A eines Framersystems ist quadratisch und hat den maximal möglichen Rang. Das bedeutet, dass, wenn wir eine zusätzliche Spalte zu dieser Matrix hinzufügen, diese Spalte notwendigerweise eine Linearkombination der Spalten der Matrix A sein muss. Das Hinzufügen einer Spalte aus der Matrix b erhöht also nicht den Rang der Matrix A.
Das Frobenius-Theorem besagt auch, dass wir n − k Parameter benötigen, um die Lösung auszudrücken, wobei n die Anzahl der Variablen und k der Rang der Matrix rank(A|b) ist. Für das Cramer-System gilt n = k, so dass wir null Parameter benötigen, um die Lösung auszudrücken. Daher hat jedes Cramer-System genau eine Lösung.
Als Nächstes bezeichnen wir mit Ai die modifizierte Matrix A, so dass sie eine Spalte b anstelle der i-ten Spalte hat. Formal definieren wir die Matrix Ai wie folgt:
$$ A_i=\begin{pmatrix} a_{1{,}1}&…&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&…&a_{1,n}\\ a_{2{,}1}&…&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&…&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&…&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&…&a_{n,n}\\ \end{pmatrix} $$
wobei aij die Elemente der Matrix A und bi die Elemente der Matrix b sind.
Die Cramersche Regel
Ax = b sei ein Cramersches System von linearen Gleichungen. Die Cramersche Regel besagt, dass dieses System genau eine Lösung (x1, x2, …, xn) hat, wobei
$$x_i=\frac{\mbox{det }A_i}{\mbox{det } A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$
Wir werden die Regel gleich mit einem kleinen Beispiel illustrieren. Lösen wir das folgende System mit Hilfe der Cramerschen Regel.
$$ \begin{array}{ccccccccc} x_1&+&2x_2&=&5\\ 4x_1&+&3x_2&=&15& \end{array} $$
Die Matrix des Systems wird die Form haben:
$$ A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} $$
Die Determinante der Matrix ist gleich:
$$|A| = 3 - 8 = -5.$$
Als nächstes erstellen wir die Matrizen A1 und A2. Diese haben die Form:
$$ A_1=\begin{pmatrix} 5&2\\ 15&3 \end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix} 1&5\\ 4&15 \end{pmatrix} $$
Berechnen Sie die Determinanten dieser Matrizen:
$$\begin{eqnarray} |A_1|&=&5\cdot3-15\cdot2=-15\\ |A_2|&=&1\cdot15-4\cdot5=-5 \end{eqnarray}$$
Und wir berechnen nacheinander x1 und x2. Nach der Cramerschen Regel gilt die Gleichheit für das Element x1
$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$
Nach der Substitution erhalten wir also
$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$
Dasselbe gilt für das zweite Element x2:
$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$
Die Lösung des Gleichungssystems ist also das Paar (x1, x2) = (3, 1).
Die Cramersche Regel ist besonders nützlich, wenn man das Verfahren algorithmisieren will, denn sie ist leicht zu programmieren. Die Lösung des Systems von Hand mit der Cramerschen Regel ist in der Regel komplizierter als die Lösung mit der Gaußschen Eliminationsmethode.