Basen des Vektorraums

Ein Basisvektorraum V ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, deren lineare Einhüllende der Raum V ist.

Die Motivation für die Einführung der Basis eines Vektorraums

Man betrachte einen Vektorraum V und eine Teilmenge W ⊂ V, so dass die lineare Einhüllende <W> dieser Menge gleich dem Raum V, d.h. <W> = V ist. Beispiel: Es seien W = {[1,0], [0,1], [2, 3]} und V = ℝ².

Offensichtlich hat <W> = ℝ². Die Menge W hat nur drei Vektoren, aber dank der linearen Umhüllung können wir mit ihr die gesamte unendliche Menge der Vektoren ℝ² beschreiben. Das wirft die Frage auf, ob wir weitere Vektoren aus der Menge W entfernen können und trotzdem die Eigenschaft <W> = ℝ² beibehalten können.

Wenn wir zum Beispiel den letzten Vektor [2,3] wegwerfen, erhalten wir die Menge W₁ = {[1,0], [0,1]}. Der lineare Wrapper dieser Menge ist wiederum ℝ². Dies wirft die Frage auf, welches die kleinste Menge von Vektoren ist, die als lineare Hülle die Menge ℝ² hat.

Wenn wir einen der beiden verbleibenden Vektoren aus W₁ entfernen, hat diese Menge, nennen wir sie W₂, nicht mehr die Menge ℝ² als Hülle. Die lineare Hülle der Menge W₂ = {[1,0]} wäre zum Beispiel die Menge <W₂> = {[a,0],|,a∈ ℝ}. Dies ist sicherlich nicht gleichbedeutend mit der Menge ℝ², da z. B. der Vektor [0,1] fehlt.

Die Menge W₁ = {[1,0], [0,1]} ist also die minimale Menge von Vektoren, deren lineare Hülle der Raum ℝ² ist. Uns können auch andere Fragen interessieren:

1. Gibt es eine ganz andere Ein-Element-Menge, deren lineare Hülle der Raum ℝ² wäre?
2. Gibt es eine eindeutige kleinste Vektormenge, deren lineare Hülle der Raum ℝ² ist?

Wie wir alle aus der Boulevardpresse wissen, lautet die Antwort nein, wenn die Überschrift in Form einer Frage formuliert ist, und in diesem Fall ist es dasselbe. Es gibt keine Ein-Element-Menge, die eine lineare Hülle ℝ² hat. Wir können den Beweis wie folgt führen:

Gibt es eine Ein-Element-Menge, deren Hülle ℝ² ist?

Nehmen wir an, es gibt eine Menge {x}, die einen einzigen Vektor x enthält, von dem alle Linearkombinationen den Raum ℝ² bilden. Dann muss es reelle Zahlen a₁, a₂ geben, so dass

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \mathbf{x} &=& \left[1{,}0\right]\\ a_2 \cdot \mathbf{x} &=& \left[0{,}1\right]\\ \end{eqnarray}$$

Warum diese Vektoren? Es ist eigentlich egal, welche Vektoren wir wählen, es geht nur darum, sie linear unabhängig zu machen.

Nennen wir x = [x₁, x₂]. Dann sicher x₁, x₂ ≠ 0, denn wenn x₁ = 0, dann hätten wir Schwierigkeiten, den gewünschten Vektor [1,0] durch eine Linearkombination des Vektors x zu erhalten. Dasselbe gilt für x₂. Wir zerlegen einfach das vorherige Gleichungssystem:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \left[x_1, x_2\right] &=& \left[1{,}0\right]\\ a_2 \cdot \left[x_1, x_2\right] &=& \left[0{,}1\right]\\ \end{eqnarray}$$

Wir zerlegen es in Gleichungen:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot x_1 &=& 1\\ a_1 \cdot x_2 &=& 0\\ a_2 \cdot x_1 &=& 0\\ a_2 \cdot x_2 &=& 1 \end{eqnarray}$$

Die zweite und dritte Gleichung implizieren, dass a₁ = a₂ = 0, denn wenn x₁, x₂ ≠ 0, dann bleibt nur noch die Möglichkeit, dass a₁ = a₂ = 0, um Null im Produkt a₁ · x₁ zu erhalten. Das widerspricht der ersten und vierten Gleichung, denn wenn a₁ = 0, dann a₁ · x₁ = 0, aber die erste Gleichung sagt, dass a₁ · x₁ = 1.

Also kann keine Ein-Punkt-Menge als lineare Abdeckung den Raum ℝ² haben.

Gibt es eine kleinste Menge von Vektoren, deren Überdeckung ℝ² ist?

Wir wissen, dass es keine Ein-Punkt-Menge mit dieser Eigenschaft gibt, und wir wissen, dass die Menge W = {[1,0], [0,1]} die lineare Hülle ℝ² hat. Wir fragen also, ob diese Menge die einzige Zwei-Elemente-Menge ist, die ℝ² als Hülle hat?

Natürlich nicht, denn eine andere zweielementige Menge W = {[2,0], [0,2]} hat ebenfalls eine Deckung ℝ². Jedes Paar von Vektoren [a,0], [0,a], a∈ ℝ, a≠0 hat als Deckung ℝ². Tatsächlich hat jedes Paar von linear unabhängigen Vektoren ℝ² als Deckung . Es gibt also unendlich viele Zwei-Element-Mengen, die ℝ² als Deckung erzeugen können.

Gleichzeitig besteht jede dreiteilige Teilmenge von W₃⊆ℝ² aus abhängigen Vektoren. Und warum? Wenn wir drei Vektoren [a, b], [c, d], [e, f] haben, können wir sie in eine Matrix schreiben:

$$\begin{pmatrix} a&c&e\\ b&d&f \end{pmatrix}$$

Diese Matrix hat höchstens den Rang zwei, also muss es notwendigerweise einige linear abhängige Spalten/Vektoren geben.

Definition der Basis eines Vektorraums

Betrachten wir den Vektorraum V. Ferner sei B ⊆ V. Wir sagen, dass B die Basis des Vektorraums V ist, wenn:

1. <B> = V
2. B eine linear unabhängige Menge von Vektoren ist.

Die Basis ist eine unabhängige Menge von Vektoren, deren Überdeckung der Raum V ist. Die Basis ist also eine minimale Menge von Vektoren, deren Überdeckung der Raum V ist. Es gilt, dass, wenn wir ein Element aus der Basis entfernen, die Überdeckung nicht mehr der Raum V wäre. Wenn wir einen Vektor hinzufügen, wäre dieser Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren.

Wenn wir uns im Raum ℝⁿ befinden, dann bildet die Menge n-tic [1,0,…,0], [0,1,0,…,0], …, [0,0,…,0,1] die Basis des Raums ℝⁿ, und diese Basis wird Standardbasis genannt. Für ℝ³ würden wir zum Beispiel die Standardbasis [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] erhalten. Der Vektor [a,b,c] würde sich dann als Kombination von

$$ a \cdot \left[1{,}0,0\right] + b \cdot \left[0{,}1,0\right] + c \cdot \left[0{,}0,1\right] $$

Wenn wir den Vektor [0,1,0] entfernen würden, wäre er keine Umhüllung dieser neuen Menge ℝ³. Wenn wir den Vektor [14,−2,5] hinzufügen würden, wäre dieser Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren mit den Koeffizienten a = 14, b = −2, c = 5.

Grundlegende Eigenschaften des Basisvektorraums

• Jeder lineare Raum V hat eine Basis mit Ausnahme des Trivialraums {0} - ein Raum, der einen einzigen Nullvektor enthält. Jede linear unabhängige Menge B₀ ⊆ V ist entweder eine Basis des Raums V, oder kann der Basis hinzugefügt werden. Wenn B₀ keine Basis ist, d.h. <B₀>≠ V, dann gibt es einen Vektor x₀∈ V ∖ <B₀>. Dieser Vektor ist keine Kombination der Vektoren von B₀. Wenn wir ihn zur Menge B₀ hinzufügen, erhalten wir eine neue Menge B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Auch hier können wir sagen, dass B₁ entweder eine Basis ist oder zu einer Basis hinzugefügt werden kann. Wenn der Raum V eine endliche Basis hat, dann erhalten wir in einer endlichen Anzahl von Schritten die Menge der unabhängigen Vektoren B_n, die die Basis des Raums V sein wird.

• Die Basis des Raumes ist nicht eindeutig bestimmt, es gibt immer mehrere Basen.

• Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Anzahl von Elementen/Vektoren oder sind unendlich. Zum Beispiel haben alle Basen des Raums ℝ² zwei Vektoren, keine Menge von drei Elementen oder Menge von einem Element ist eine Basis des Raums ℝ².

• Wenn wir eine Basis B = {e₁, …, e_n} des Raumes V haben, dann können wir jeden Vektor x des Raumes V als Linearkombination der Vektoren der Basis ausdrücken, d.h. es gibt reelle Koeffizienten a₁, …, a_n, so dass

  $$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$

  Dabei sind diese Koeffizienten eindeutig. Das heißt, wenn es für die Koeffizienten von b₁, … b_n wahr wäre, dass

  $$ \mathbf{x}=b_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{e}_n $$

  dann muss es bedeuten, dass a₁ = b₁, …, a_n = b_n.

Referenzen und Quellen

• O. Krupková: Lineare Algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineare Algebra