Allgemeine Gleichung einer Linie

Die allgemeine Geradengleichung erhält man aus der parametrischen Geradengleichung, indem man den Parameter t entfernt.

Motivation

Erinnern Sie sich an die lineare Funktion? Sie hat nur eine gerade Linie als ihren Graphen. Die Grundform einer linearen Funktion ist y = ax + b. Betrachten wir die Gerade p, die durch die Punkte A[0,3], B[2,7] verläuft:

Bestimmen Sie die lineare Funktion, deren Graph diese Gerade ist p. Diese lineare Funktion hat die Form y = ax + b, aber die Tatsache, dass die Linie durch den Punkt A[0,3] geht, sagt uns, dass die Funktion im Punkt x₁ = 0 den Funktionswert y₁ = 3 hat. Die Gleichung a · 0 + b = 3 muss also gelten. Da die Gerade durch den Punkt B[2,7] verläuft, hat die Funktion im Punkt x₂ = 2 den Funktionswert y₂ = 7, so dass die Gleichung a · 2 + b = 7 ebenfalls gelten muss. Wir suchen die Koeffizienten von a, b und erhalten ein System von Gleichungen:

$$\begin{eqnarray} a \cdot 0 + b &=& 3\\ a \cdot 2 + b &=& 7 \end{eqnarray}$$

Aus der ersten Gleichung a · 0 + b = 3 erhalten wir leicht den Koeffizienten b, der somit gleich b = 3 ist. Dieses Ergebnis setzen wir in die zweite Gleichung ein, das heißt, wir setzen die Zahl drei nach b in die Gleichung a · 2 + b = 7 ein:

$$\begin{eqnarray} a \cdot 2 + b &=& 7\\ a \cdot 2 + 3 &=& 7\\ a \cdot 2 &=& 4\\ a &=& 2 \end{eqnarray}$$

Und wir haben beide Koeffizienten: a = 2, b = 3 Die Funktion, die die vorhergehende Linie beschreibt, hat die Form y = 2x + 3. Wenn wir x = 1 nach x einsetzen, erhalten wir y = 2 + 3 = 5, was mit dem Graphen der Linie übereinstimmt. Wir können die Form von y = 2x + 3 noch so umschreiben, dass die rechte Seite Null ist, d. h. wir fügen −(2x + 3) zur Gleichung hinzu. Damit erhalten wir die Gleichung:

$$ y-2x-3=0 $$

Diese Gleichung wird die allgemeine Geradengleichung genannt.

Definition der allgemeinen Gleichung einer Geraden

Das vorangegangene Verfahren ist etwas kompliziert und außerdem nicht anwendbar, wenn die Gerade parallel zur Achse y verläuft, d. h. wenn sie vertikal ist, da eine solche Gerade keine Funktion beschreibt. Daher führen wir die allgemeine Geradengleichung auf eine andere Weise ein. Wir werden sagen, dass jede lineare Gleichung der Form

$$ ax + by + c = 0, $$

wobei a,b,c∈ ℝ und mindestens eine der Zahlen a,b ≠ 0 die Gleichung einer Geraden in der Ebene ist. Auf diese Weise kann jede Gerade in der Ebene in dieser Form ausgedrückt werden. Wir nennen diese Gleichung dann die allgemeine Gleichung einer Geraden. Wir können sie leicht aus der parametrischen Form der Geraden ermitteln. Wenn wir eine Linie haben, die durch eine parametrische Gleichung

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ \end{eqnarray}$$

beschrieben wird, finden wir die allgemeine Gleichung, indem wir den Parameter t aus der parametrischen Gleichung entfernen. Beispiel: Bleiben wir bei der vorherigen Linie, die durch die Punkte A[0,3], B[2,7] gegeben ist. Wir finden den Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$ aus dem orientierten Liniensegment $\vec{AB}$.

$$ \vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)=B-A=[2{,}7]-[0{,}3]=[2{,}4] $$

Wir können die Linie p mit dem Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$ wieder aufgreifen:

Drücken wir die Parametergleichung in Bezug auf den Punkt A und den Vektor $\vec{\mathbf{u}}$ aus:

$$\begin{eqnarray} x &=& 0 + t\cdot 2\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

Um die allgemeine Gleichung zu erhalten, müssen wir die beiden Gleichungen addieren, um den Parameter t zu eliminieren. Wir multiplizieren also die erste Gleichung mit −2 und lassen die zweite unverändert:

$$\begin{eqnarray} -2x &=& 0 - t\cdot 4\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

Nun addieren wir die beiden Gleichungen, um eine Gleichung zu erhalten:

$$\begin{eqnarray} y-2x &=&3 +t \cdot 4 - t \cdot 4\\ y-2x &=&3\\ y-2x-3 &=&0 \end{eqnarray}$$

Dies ist die resultierende allgemeine Gleichung der Geraden p. Wir sehen, dass wir genau die gleiche Gleichung wie im vorherigen Verfahren erhalten haben.

Was ist die allgemeine Gleichung einer Geraden?

Die allgemeine Gleichung gibt uns alle Punkte an, aus denen die Gerade besteht. Wenn wir reelle Zahlen nach den Unbekannten x,y in die allgemeine Gleichung der Form ax + by + c = 0 einsetzen, so dass die Gleichung einen Sinn ergibt, dann ist [x,y] ein Punkt auf dieser Geraden. Kehren wir zu der vorherigen Geraden zurück, die durch die allgemeine Gleichung y − 2x − 3 = 0 beschrieben wird. Wenn wir die Werte x = 1, y = 5 nach x,y einsetzen, erhalten wir die Gleichung:

$$\begin{eqnarray} 5-2\cdot1-3&=&0\\ 5-2-3&=&0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$

Das bedeutet, dass der Punkt [1,5] auf der Geraden liegt. Wenn wir versuchen, x = 2, y = 3 zu ersetzen, erhalten wir die Gleichung:

$$\begin{eqnarray} 3-2\cdot2-3&=^?&0\\ 3-4-3&=^?&0\\ -4&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Die Gleichung ergibt keinen Sinn, der Punkt [2,3] liegt nicht auf der Geraden p. Wir können dies sogar in der Abbildung überprüfen:

Die senkrechte Linie

Wir haben bereits festgestellt, dass wir die allgemeine Gleichung der vertikalen Linie p mit dem im ersten Kapitel beschriebenen Verfahren nicht erhalten können, weil die vertikale Linie keine Funktion beschreibt. Aber auch eine solche Gerade hat eine allgemeine Gleichung, die wir mit dem im vorherigen Kapitel beschriebenen Verfahren erhalten.

Wir werden dies anhand einer Linie demonstrieren, die durch die Punkte A[4,2], B[4,8] verläuft. Der Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$ hat die Form:

$$ \vec{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[4{,}8]-[4{,}2]=[0{,}6] $$

Abbildung:

Die Parametergleichung in Bezug auf den Punkt A und den Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$ würde wie folgt aussehen:

$$\begin{eqnarray} x &=& 4 + t\cdot 0\\ y &=& 2 + t\cdot 6\\ \end{eqnarray}$$

Jetzt sollten wir den Parameter t entfernen. Die erste Gleichung hat uns aber schon einiges an Arbeit erspart, es gibt keinen Parameter t in der ersten Gleichung, bzw. er ist immer Null, so dass wir diese ganze Gleichung als allgemeine Gleichung der Geraden p verwenden können. Die Gerade p hat also die allgemeine Gleichung

$$ x-4=0 $$

Somit sind die Koeffizienten a,b,c in der Gleichung ax + by + c = 0 gleich a = 1, b = 0, c = −4.

Die horizontale Linie

Zeigen wir ein weiteres Beispiel, mit einer horizontalen Linie, die durch die Punkte A[2,1], B[5,1] verläuft. Der Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$ ist gleich :

$$ \vec{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[5{,}1]-[2{,}1]=[3{,}0] $$

Abbildung:

Die parametrische Gleichung der Linie in Bezug auf den Punkt A würde wie folgt aussehen:

$$\begin{eqnarray} x &=& 2 + t\cdot 3\\ y &=& 1 + t\cdot 0\\ \end{eqnarray}$$

Auch hier sehen wir, dass wir den Parameter t nicht zu eliminieren brauchen, da er in der zweiten Gleichung Null ist. Somit können wir die zweite Gleichung direkt als die allgemeine Gleichung der Geraden p verwenden:

$$ y-1=0 $$

Referenzen und Ressourcen

• J. Polák: Überblick über die Mathematik in der Oberstufe