Gleichungen einer Ebene

Eine Gleichung kann, wie eine Linie, auf verschiedene Arten ausgedrückt werden. Wir beginnen mit dem einfachsten, dem parametrischen Ausdruck einer Ebene.

Der parametrische Ausdruck einer Ebene

Erinnern wir uns zunächst daran, wie wir die parametrische Gleichung der Linie p bestimmt haben. Wir haben einen Punkt A gewählt, der die Linie p kreuzt, und dann einen Richtungsvektor $\vec{\mathbf{u}}$. Wenn wir ein t-Fach des Richtungsvektors zum Punkt A hinzufügen, erhalten wir einen Punkt auf der Linie p. Für jeden Punkt X, der auf der Linie liegt, erhalten wir die Gleichung

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\quad t\in \mathbb{R}. $$

Durch ähnliche Überlegungen können wir die Gleichung der Ebene ermitteln. Um die Ebene zu beschreiben, benötigen wir zwei verschiedene Vektoren ungleich Null, die nicht kollinear sind, d. h. nicht parallel, und natürlich den Punkt A, durch den die Ebene verläuft. Die Vektoren dürfen nicht kollinear sein, weil sie nicht auf der gleichen Linie liegen. Eine Linie definiert nicht eine Ebene, eine Linie kann in unendlich vielen Ebenen enthalten sein.

Wir können es auch anders angehen: Wir können eine Linie mit zwei verschiedenen Punkten A, B definieren. Diese Punkte werden jedoch von unendlich vielen Ebenen gekreuzt - wenn wir jedoch einen bestimmten Punkt zu diesen Punkten C hinzufügen, haben wir eindeutig eine Ebene definiert.

Wenn wir also drei verschiedene Punkte A, B, C haben, können wir zwei verschiedene Vektoren $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ und $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$ konstruieren. Diese beiden Vektoren und z.B. der Punkt A definieren eine Ebene. Erinnern Sie sich an die Addition von Vektoren:

Wir sehen, dass wir durch die Addition zweier Vektoren einen Vektor erhalten können, dessen Koordinaten "zwischen" den beiden Vektoren liegen. Durch aufeinanderfolgende Addition verschiedener Vielfacher der Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ können wir dann die gesamte Ebene ausfüllen. Wir können also einen parametrischen Ausdruck der Ebene schreiben, der durch die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}, \vec{\mathbf{v}}$ bestimmt ist und durch den Punkt A geht:

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}} + s\cdot \vec{\mathbf{v}}, \quad t, s \in \mathbb{R} $$

wobei X ein Punkt in der Ebene ist. Für jeden Punkt der Ebene können wir solche t und s finden, dass die Gleichung gilt. Wir können diese Gleichung noch in ein Gleichungssystem auflösen. Wir nehmen an, dass X[x, y, z], A[a₁, a₂, a₃], $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2, u_3)$, und $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2, v_3)$.

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\\end{eqnarray}

Beispiel

Bestimmen Sie, ob der Punkt Q[0,3,5] oder der Punkt A[2,3,4], B[3,7,−1], C[−5,4,4] in der durch definierten Ebene liegt.

Dazu muss zunächst die Gleichung der Ebene aufgestellt werden. Bestimmen Sie die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$, mit $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ und $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$. Dies wird wahr sein:

\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}&=&B-A=[3,7,-1]-[2,3,4]=[1,4-5]\\ \vec{\mathbf{v}}&=&C-A=[-5,4,4]-[2,3,4]=[-7,1,0] \end{eqnarray}

Die Gleichung geht durch den Punkt A, also schreiben wir ein Gleichungssystem:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\ end{eqnarray}

Nun finden wir heraus, ob der Punkt Q[0,3,5] durch diese Ebene geht. Dazu setzen wir einfach die Zahlen 0,3,5 nach x,y,z ein und lösen das Gleichungssystem. Wir erhalten also das System:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\\\\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\\\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\ end{eqnarray}

Aus der letzten Gleichung können wir t isolieren:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5 \cdot 5 &=& -1\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Setzen Sie t in die zweite Gleichung ein:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\\\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

Schließlich setzen wir die Werte von t und s in die erste Gleichung ein, um zu sehen, ob die Gleichung Sinn macht:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \cdot 7 \cdot 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \cdot 7 \cdot 0 &=& 2 - \frac{1}{5}=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}=0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Die Gleichung macht keinen Sinn, das ganze System hat dort keine Lösung, der Punkt Q[0,3,5] ist kein Punkt der Ebene.