Systeme von Gleichungen

In der Praxis kommt es oft vor, dass wir nicht nur eine Gleichung, sondern zwei Gleichungen auf einmal (oder sogar mehr) berechnen müssen. Wir werden zunächst zeigen, wie man ein solches Gleichungssystem mit der Additionsmethode löst. Um Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen zu lösen, lesen Sie den Artikel Systeme linearer Gleichungen.

Die Grundlagen

Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, die wir gemeinsam lösen. Da in einem Gleichungssystem in der Regel mehr als eine Variable vorkommt, wird versucht, eine Zahlenkombination zu finden, die beim Einsetzen aller Variablen alle Gleichungen sinnvoll macht.

Ein Beispiel für ein Gleichungssystem könnte dieses System sein:

$$\begin{array}{ccccc} a&+&b&=&0\\ 2a&+&b&=&10 \end{array}$$

Das Ergebnis dieses Systems sollte ein Paar (oder eine Reihe von Paaren) von Zahlen sein, die wir nach den Variablen a und nach b einsetzen, wobei beide Gleichungen gültig bleiben. Wir können gewissermaßen mit dem Auge sehen, dass die Variable a gleich −b sein muss, damit die Gleichung a + b = 0 erfüllt ist. Wenn wir dieses Wissen haben, dann können wir aus der zweiten Gleichung leicht erkennen, dass a = 10 und b = −10. Nach der Substitution erhalten wir:

$$\begin{array}{ccccc} 10&-&10&=&0\\ 2\cdot10&-&10&=&10 \end{array}$$

So, wir haben nach Augenmaß gelöst, nun wollen wir uns mit einigen funktionalen Algorithmen zur Lösung von Gleichungssystemen beschäftigen.

Die Additionsmethode

Bei der Substitutionsmethode drücken wir eine der Unbekannten in einer Gleichung aus und setzen dieses Ergebnis dann in die andere Gleichung ein. Für den Anfang brauchen wir also ein System. Wie dieses hier:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$

Dies ist ein einfaches System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Unsere Aufgabe ist es, die Variablen x und y so auszudrücken, dass beide Gleichungen einen Sinn ergeben. Aus der ersten Gleichung isolieren wir y. Wir nehmen also einfach die erste Gleichung und isolieren y.

$$4x+2y=6$$

Als Erstes subtrahieren wir 4x:

$$2y=6-4x$$

Dividieren Sie durch zwei:

$$y=3-2x$$

Jetzt wissen wir, was y entspricht. Dieses Ergebnis können wir in der zweiten Gleichung nach der Variablen y einsetzen. In der zweiten Gleichung schreiben wir also anstelle von y 3 − 2x . Was bewirkt das? Wir erreichen, dass wir in der zweiten Gleichung nicht mehr zwei Variablen haben, sondern nur noch eine, weil wir einen Ausdruck einsetzen, der nur die Variable x anstelle der Variable y enthält. Wir werden also addieren:

$$\begin{array}{lllll} 5x&-&3y&=&13\quad/y=3-2x\\ 5x&-&3(3-2x)&=&13 \end{array}$$

Jetzt multiplizieren wir einfach die Klammern und addieren, was wir können:

$$\begin{array}{rrrll} 5x&-&3(3-2x)&=&13\\ 5x&-&(9-6x)&=&13\\ 5x&-&9+6x&=&13\\ &&11x-9&=&13\\ &&11x&=&22\\ &&x&=&2 \end{array}$$

Jetzt kennen wir den Wert von x, der gleich zwei ist. Nun müssen wir noch den Wert von y berechnen. Dazu setzen wir den bereits bekannten Wert von x in eine Gleichung ein, die sowohl die Variablen x als auch y enthält. Wir könnten zum Beispiel die allererste Gleichung wählen. Wir fügen wie folgt ein:

$$\begin{array}{rrcll} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2\\ 4\cdot2&+&2y&=&6\\ &&2y&=&6-8\\ &&2y&=&-2\\ &&y&=&-1\\ \end{array}$$

Damit ist das System gelöst. Das Gleichungssystem hat eine einzige Lösung, nämlich x = 2 und y = −1. Wenn Sie dieses Ergebnis überprüfen wollen, addieren Sie einfach zu beiden Gleichungen. Setzen Sie also in die erste Gleichung ein:

$$\begin{array}{rrrcl} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2, y=-1\\ 4\cdot2&+&2\cdot(-1)&=&6\\ 8&-&2&=&6\\ &&6&=&6 \end{array}$$

Und Einsetzen in die zweite Gleichung:

$$\begin{array}{rrrcl} 5x&-&3y&=&13\quad/x=2, y=-1\\ 5\cdot2&-&3\cdot(-1)&=&13\\ 10&+&3&=&13\\ &&13&=&13 \end{array}$$

Die Additionsmethode

Ich bevorzuge diese Methode, aber es kommt natürlich auf das jeweilige Beispiel an. Sie passt nicht immer. Das Prinzip der Additionsmethode ist, dass die Addition von Gleichungen eine gleichwertige Anpassung beim Lösen der Gleichungen ist. Die Addition von Gleichungen erfolgt dann, indem man die linke Seite der einen Gleichung zur linken Seite der anderen Gleichung addiert und dann die rechten Seiten der Gleichungen addiert. Im Allgemeinen haben wir das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rrrcl} f_1(x)&+&g_1(y)&=&a\\ f_2(x)&+&g_2(y)&=&b \end{array}$$

Wenn wir diese Gleichungen addieren, erhalten wir eine einzige Gleichung, die wie folgt definiert ist:

$$f_1(x)+f_2(x)+g_1(y)+g_2(y)=a+b$$

Wir addieren die linken Seiten getrennt und die rechten Seiten getrennt. Aber was ist unser Ziel? Wenn wir die beiden Gleichungen addieren und zwei Variablen übrigbleiben, haben wir nicht viel erreicht. Deshalb versuchen wir, nach der Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwinden zu lassen, das heißt, sie voneinander zu subtrahieren, sich gegenseitig aufzuheben. Wir versuchen also, dass die Summe eines der Funktionspaare, entweder f oder g, gleich Null ist:

$$f_1(x)+f_2(x)=0 \quad\vee\quad g_1(y)+g_2(y)=0$$

Wie können wir das erreichen? Das Gleichungssystem enthält gewöhnliche Gleichungen, auf die wir äquivalente Modifikationen der Gleichungen anwenden können, wie wir sie von gewöhnlichen Gleichungsarten kennen. Wir können also jede der Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren und die Gültigkeit der Gleichung ändert sich nicht. Versuchen wir also, das vorherige Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen. Das Problem ist das gleiche:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$

Wenn wir die Gleichungen sofort addieren würden, hätten wir nur noch die beiden Variablen:

$$4x+5x\ne0,\qquad2y-3y\ne0$$

Daher müssen wir zunächst einige Anpassungen vornehmen. Wir werden versuchen, die Variable y"verschwinden" zu lassen. Dazu muss der Koeffizient vor y in beiden Gleichungen gleich sein, außer dem Vorzeichen - es muss entgegengesetzt sein. Wir suchen also nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, das 6 ist. Ein einfaches Verfahren besteht darin, die Koeffizienten zu multiplizieren: zwei mal drei ist sechs - also ist die Zahl sechs definitiv durch beide Zahlen teilbar (Anmerkung: dieses Verfahren gewährleistet nicht das kleinste gemeinsame Vielfache, aber es findet eine Zahl, die durch beide Koeffizienten teilbar ist).

Jetzt versuchen wir also, in jeder Gleichung eine Sechs vor y zu bekommen. Wir multiplizieren also die erste Gleichung mit drei und die zweite mit zwei:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\quad/\cdot3\\ 5x&-&3y&=&13\quad/\cdot2 \end{array}$$

Wir erhalten:

$$\begin{array}{ccccc} 12x&+&6y&=&18\\ 10x&-&6y&=&26 \end{array}$$

Nun addieren wir die Gleichungen:

$$\begin{eqnarray} 12x+10x+6y-6y&=&18+26\\ 22x+0y&=&44 \end{eqnarray}$$

Damit haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten, die wir leicht lösen können:

$$\begin{eqnarray} 22x+0y&=&44\\ 22x&=&44\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass wir das gleiche Ergebnis wie bei der vorherigen Methode, der Additionsmethode, erhalten. Nun würden wir einfach y wieder in eine Gleichung einsetzen und erhielten das Ergebnis y = −1. Der Test würde auch genau so funktionieren.

Anzahl der Lösungen

Ein Gleichungssystem muss nicht nur eine Lösung haben. Es kann auch unendlich viele Lösungen haben, oder umgekehrt keine Lösungen. Nur kurz dazu, wann dies der Fall ist. Wenn wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten haben und wir eine dieser Gleichungen durch die andere Gleichung ausdrücken können, indem wir sie äquivalent behandeln, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Betrachten wir als Beispiel das System

$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ 2x&+&2y&=&4 \end{array}$$

Wir sehen, dass wir genau die zweite Gleichung erhalten, wenn wir die erste Gleichung mit zwei multiplizieren. Die zweite Gleichung gibt uns also keine "neuen Informationen" über das System, sie ist also praktisch nutzlos. Insgesamt führt dies dazu, dass jede Lösung der Gleichung

$$x+y=2$$

auch eine Lösung des gesamten Systems ist. So sind beispielsweise die Paare (1,1) oder (−3, 5) sowohl Lösungen der ersten Gleichung als auch des gesamten Systems.

Das System hat dann keine Lösung, wir haben einige widersprüchliche Gleichungen im System, die nicht gleichzeitig gültig sein können. Zum Beispiel:

$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ x&+&y&=&4 \end{array}$$

Es kann nicht wahr sein, dass die Summe von x + y gleichzeitig gleich zwei und vier ist, daher hat das System keine Lösung. Ein paar weitere Beispiele:

Das erste Beispiel

Berechnen Sie das folgende System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

$$\begin{array}{rrrcl} 7x&+&3y&=&21\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$

Nach einem Blick auf das System sehen wir, dass es die Additionsmethode beherrscht. Der Koeffizient u x in der zweiten Gleichung ist doppelt so groß wie der in der ersten Gleichung, und der Koeffizient u y in der zweiten Gleichung ist dreimal so groß. Multiplizieren Sie also einfach die erste Gleichung entweder mit minus zwei oder minus drei und addieren Sie die Gleichungen. Versuchen wir zum Beispiel, die Variable y zu subtrahieren, so multiplizieren wir die erste Gleichung mit −2. Wir erhalten:

$$\begin{array}{rrrcl} -14x&-&6y&=&-42\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$

Addieren Sie die beiden Gleichungen und Sie erhalten

$$\begin{eqnarray} 14x-14x+9y-6y&=&-42\\ 3y&=&-42\\ y&=&-14 \end{eqnarray}$$

Wir haben das erste Ergebnis unseres Systems. Wenn wir dieses Ergebnis in eine andere Gleichung einsetzen, können wir es wieder in die erste Gleichung einsetzen:

$$\begin{eqnarray} 7x+3y&=&21\quad/y=-14\\ 7x+3\cdot(-14)&=&21\\ 7x-42&=&21\\ 7x&=&63\\ x&=&9 \end{eqnarray}$$

Wir haben also das Ergebnis des Gleichungssystems, x = 9 und y = −14.

Das zweite Beispiel

Berechnen Sie das folgende System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

$$\begin{array}{rcl} (x + 4)(y - 2)& =& (x - 2)(y + 13)\\ (x - 1)(y - 3) &= &(x + 2)(y - 5) \end{array}$$

Das sieht ein bisschen wild aus, aber es wird funktionieren. Zunächst einmal müssen wir die Klammern ausmultiplizieren, ohne das kommen wir nicht weiter.

$$\begin{eqnarray} xy - 2x + 4y - 8 &=& xy + 13x - 2y - 26\\ xy - 3x - y + 3 &=& xy - 5x + 2y - 10 \end{eqnarray}$$

Jetzt müssen wir die Gleichungen in eine brauchbarere Form bringen, indem wir die Variablen auf die linke Seite der Gleichung und die absoluten Terme auf die rechte Seite übertragen und dann subtrahieren, was wir können.

$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 2x &-& 3y& =& -13 \end{array}$$

Jetzt haben wir aus diesen hässlich aussehenden Gleichungen ein ziemlich brauchbares Gleichungssystem gemacht und können einige der klassischen Verfahren anwenden. Zum Beispiel können wir die zweite Gleichung mit zwei multiplizieren und zur ersten Gleichung addieren. Nachdem wir die zweite Gleichung mit zwei multipliziert haben, erhalten wir:

$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 4x &-& 6y& =& -26 \end{array}$$

Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen mit der klassischen Additionsmethode:

$$\begin{eqnarray} 4x-15x+6y-6y&=&-18-26\\ -11x&=&-44\\ 11x&=&44\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Toll, jetzt kennen wir ein Ergebnis. Wir setzen dieses Ergebnis in eine der Gleichungen ein und berechnen y. Zum Beispiel können wir 2x− 3y = −13 in die Gleichung einsetzen und erhalten:

$$\begin{eqnarray} 2x - 3y &=& -13\quad/x=4\\ 8 - 3y &=& -13\\ -3y &=& -21\\ -y &=& -7\\ y&=&7 \end{eqnarray}$$

Wir haben nun das vollständige Ergebnis des Gleichungssystems - es hat eine Lösung, wenn x = 4 und y = 7.