Äquivalente Modifikationen von Gleichungen

Beim Umstellen von Gleichungen verwenden wir äquivalente Umstellungen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie die Gültigkeit der Gleichung nicht verändern. Der Sinn von äquivalenten Umstellungen ist es, die Gleichung in eine einfachere Form zu bringen, aus der wir das Ergebnis der Gleichung bereits berechnen können.

Was ist eine Gleichung?

Zunächst eine kurze Erläuterung, was eine Gleichung ist und wie wir sie schreiben werden. Wenn wir zwei Funktionen f(x) und g(x) haben, dann können wir sie in eine Gleichung einsetzen und erhalten die Gleichung:

$$f(x)=g(x)$$

In diesem Fall nennen wir f(x) die linke Seite der Gleichung und g(x) die rechte Seite. Wir können uns die abstrakten Funktionen f(x) und g(x) als konkrete Funktionen vorstellen, zum Beispiel f(x) = 3x und g(x) = x + 2. Dann würde die Gleichung wie folgt aussehen:

$$3x=x+2$$

Die Lösung der Gleichung ist dann die Menge (zum Beispiel) S, wobei für jede x in der Menge S die gegebene Gleichung noch gilt, wenn man sie in die Gleichung einsetzt. Die Lösung der Beispielgleichung wäre also die Menge

$$S=\left\{1\right\}.$$

Nach dem Einsetzen in die Gleichung erhalten wir

$$3\cdot1=1+2$$

Eine äquivalente Modifikation der Gleichung ist dann eine Modifikation, die die Gültigkeit der Gleichung nicht verändert. Eine äquivalente Abwandlung wäre also eine Abwandlung, bei der wir die Funktion f₁(x) aus der Funktion f(x) erhalten und die gleiche Abwandlung würde g₁(x) aus der Funktion g(x) ergeben und dennoch würde die Gleichheit bestehen bleiben

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Die erste und einfachste äquivalente Anpassung von Gleichungen (nicht Ungleichungen!) besteht darin, die linke und rechte Seite zu vertauschen. Es ist wahrscheinlich offensichtlich, dass, wenn die

$$f(x)=g(x),$$

dann ist auch das Vertauschen der beiden Seiten gültig

$$g(x)=f(x).$$

Mehr über Gleichungen erfahren Sie in meinem Artikel Was ist eine Gleichung?

Addition

Das einfachste Beispiel ist die Addition eines Ausdrucks auf beiden Seiten einer Gleichung. Wir wenden immer die gleiche Behandlung auf beide Seiten einer Gleichung an. Nehmen wir also diese Gleichung:

$$x-3=1.$$

Wir können diese Gleichung lösen, indem wir auf beiden Seiten die Zahl drei addieren. Wenn wir Gleichungen umstellen, schreiben wir die Umstellung normalerweise nach dem Schrägstrich in die Zeile, in der wir die Umstellung begonnen haben, wie folgt

$$\begin{eqnarray} x-3&=&1\quad /+3\\ 3+x-3&=&1+3\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Im Allgemeinen können wir festhalten, dass wir, wenn wir wieder zwei Funktionen f(x) und g(x) haben, eine dritte Funktion h(x) hinzufügen können, ohne dass sich die Gültigkeit der Gleichung ändert.

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&g(x)\quad/+h(x)\\ f(x)+h(x)&=&g(x)+h(x) \end{eqnarray}$$

Wie Sie sehen, müssen wir nicht nur eine Zahl hinzufügen, sondern können auch eine Funktion hinzufügen:

$$x=2x+6$$

Gewöhnlich wollen wir die Variablen auf der linken Seite haben, was wir erreichen, indem wir −2x zur Gleichung hinzufügen oder 2x subtrahieren.

$$\begin{eqnarray} x&=&2x+6\quad/-2x\\ x-2x&=&2x-2x+6\\ -x&=&6\\ x&=&-6 \end{eqnarray}$$

Natürlich können wir auch Brüche addieren, wenn das praktisch ist.

$$x-\frac12=471$$

Addiere eine Hälfte und du hast das Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} x-\frac12&=&471\quad/+\frac12\\ x-\frac12+\frac12&=&471+\frac12\\ x&=&471{,}5 \end{eqnarray}$$

Das Addieren zu einer Gleichung wird klassischerweise verwendet, wenn man einen Ausdruck von einer Seite der Gleichung auf die andere Seite der Gleichung "umdrehen" will. Wenn Sie eine Gleichung haben

$$3=2x+17,$$

haben, wie kommt dann der Ausdruck mit der Variablen, also 2x, auf die linke Seite der Gleichung? Man addiert einfach −2x zur gesamten Gleichung. Dadurch erhält man auf der rechten Seite der Gleichung anstelle von 2x die Null, weil 2x − 2x = 0. Und auf der anderen Seite erhält man −2x:

$$\begin{eqnarray} 3&=&2x+17\quad/-2x\\ 3-2x&=&2x-2x+17\\ 3-2x&=&17 \end{eqnarray}$$

Multiplizieren von

Wir können die Gleichung auch mit einer Funktion multiplizieren. Die einzige Bedingung ist, dass die Funktion nicht Null sein darf. Wir können weder die Gleichung mit Null multiplizieren, noch können wir sie mit einer Funktion multiplizieren, die zu Null modifiziert werden kann, wie z. B. f(x) = x − x. Wenn wir also eine Gleichung haben

$$3x=7,$$

haben, können wir sie mit zwei multiplizieren:

$$\begin{eqnarray} 3x&=&7\quad/\cdot2\\ 2\cdot3x&=&2\cdot7\\ 6x&=&14 \end{eqnarray}$$

Das macht wahrscheinlich nicht viel Sinn, die Multiplikation wird zum Beispiel verwendet, wenn man Brüche loswerden will:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Wenn wir diese Gleichung mit dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung multiplizieren, verkürzt sich der Ausdruck 5x aufgrund der Eigenschaften von Brüchen sehr schön.

$$\begin{eqnarray} 3&=&\frac{2}{5x}\quad/\cdot5x\\ 5x\cdot3&=&5x\cdot\frac{2}{5x}\\ \end{eqnarray}$$

Jetzt multiplizieren wir den Bruch 5x, wodurch 5x im Zähler des Bruchs steht, und dann können wir den Ausdruck 5x abkürzen, da er sowohl im Nenner als auch im Zähler steht.

$$\begin{eqnarray} 15x&=&\frac{5x\cdot2}{5x}\\ 15x&=&2\\ \end{eqnarray}$$

Ich habe zu Beginn dieses Abschnitts gesagt, dass wir nicht mit Null multiplizieren dürfen. Jetzt haben wir mit dem Ausdruck 5x multipliziert - nur dass dieser Ausdruck eine Variable enthält, und wenn wir zu dieser Variable Null addieren, kommt die ganze Variable auch mit Null heraus, und siehe da, wir multiplizieren bereits mit Null. Was ist zu tun?

Die Lösung dieses Problems besteht darin, die Bedingungen festzulegen, unter denen wir diese Anpassung vornehmen können. An dieser Stelle müssen wir also schreiben, dass wir 5x nur unter der Bedingung multiplizieren können, dass x von Null verschieden ist. Aber schauen wir uns jetzt noch einmal die Gleichung an, mit der wir multipliziert haben. Der Ausdruck 5x ist bereits vorhanden, und zwar im Nenner des Bruchs. Was bedeutet das? Wir können nicht durch Null dividieren, also schließt der Definitionsbereich der Funktion 5x aus, dass x gleich Null sein kann.

Also noch einmal: Die Gleichung enthält einen Bruch mit dem Ausdruck 5x im Nenner. Da wir nicht durch Null dividieren können, macht die Gleichung nur unter der Annahme Sinn, dass x von Null verschieden ist. Daher können wir die gesamte Gleichung einfach mit 5x multiplizieren, da die notwendigen Bedingungen bereits durch den Definitionsbereich der Funktion im Nenner erfüllt sind.

Multiplikation mit komplexeren Ausdrücken

Nun noch ein wichtiger Hinweis: Wenn wir eine Gleichung mit einem Ausdruck multiplizieren, müssen wir immer die gesamte rechte Seite und die gesamte linke Seite multiplizieren. Nehmen wir zum Beispiel diese Gleichung:

$$x+2=x-4$$

Wenn wir sie mit zwei multiplizieren wollten, müssten wir die ganze Seite multiplizieren, etwa so:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot(x+2)&=&2\cdot(x-4)\\ 2x+4&=&2x-8 \end{eqnarray}$$

Es wäre ein Fehler, die Klammern nicht zu setzen, weil wir dann das falsche Ergebnis erhalten würden:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot x+2&=&2\cdot x-4\\ 2x+2&=&2x-4 \end{eqnarray}$$

Sie sehen, dass das Ergebnis anders ist als im vorherigen Fall. Ähnlich verhält es sich, wenn man mit einem komplexeren Ausdruck multipliziert, muss man die gesamte Gleichung multiplizieren. Nehmen wir als Beispiel die Gleichung

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Wir multiplizieren diese Gleichung mit dem Ausdruck x + 3, um die Variable im Nenner auf der rechten Seite loszuwerden.

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&\frac{2}{x+3}\quad /\cdot(x+3)\\ (x+3)(2x+1)&=&(x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3} \end{eqnarray}$$

Wir haben einen Bruch in einer Form, in der wir ihn schön mit dem Ausdruck x + 3 abkürzen können:

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&2 \end{eqnarray}$$

Nun können wir noch die linke Seite der Gleichung multiplizieren und schließlich zwei subtrahieren, um zwei auf die linke Seite zu "verschieben", so dass wir auf der rechten Seite Null erhalten.

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&2\\ 2x^2+x+6x+3&=&2\\ 2x^2+7x+3&=&2\quad/-2\\ 2x^2+7x+1&=&0 \end{eqnarray}$$

Dividieren

So wie wir eine Gleichung multiplizieren können, können wir sie auch dividieren. Dabei gilt die gleiche Einschränkung wie bei der Multiplikation - wir dürfen nicht durch Null dividieren. Tatsächlich können wir die Division einfach in eine Multiplikation umwandeln. Wenn wir eine Gleichung durch einen Ausdruck w dividieren wollen, ist es dasselbe, als ob wir die Gleichung mit einem Bruch 1/w multiplizieren würden. Die Division wird häufig in Beispielen wie diesem verwendet:

$$12x=7$$

Mit dieser Art von Gleichung können wir nicht viel anfangen, wir können nur die ganze Gleichung durch zwölf dividieren, um den Wert x zu erhalten.

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/:12\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Wir würden das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir die Gleichung mit 1/12 multiplizieren würden:

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/\cdot\frac{1}{12}\\ 12x\cdot\frac{1}{12}&=&7\cdot\frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}&=&\frac{7}{12}\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Potenzierung

Wir können beim Ändern von Gleichungen auch Potenzen verwenden, allerdings mit einigen Einschränkungen. Zunächst sollten wir unser Wissen über Potenzen auffrischen. Ist diese Gleichheit gültig?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Wenn Sie eine Zahl mit dem Quadrat multiplizieren und dann eine Quadratwurzel ziehen, erhalten Sie dann die ursprüngliche Zahl zurück? Das ist eine knifflige Frage, und die Antwort lautet nicht immer. Stellen Sie sich vor, Sie setzen nach x eine negative Zahl ein, zum Beispiel minus drei:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2}&=&-3\\ \sqrt{9}&=&-3\\ 3&\ne&-3 \end{eqnarray}$$

Wie Sie sehen können, ist die Gleichung plötzlich nicht mehr gültig, denn wenn Sie die negative Zahl quadrieren, erhalten Sie eine positive Zahl. Wenn wir aber die positive Zahl zurückziehen, erhalten wir wieder eine positive Zahl. Wann würde diese Gleichheit gelten? In dem Fall, in dem wir wissen, dass wir nur mit positiven oder nicht negativen Zahlen arbeiten. Wir können es uns also leisten, die Gleichung stärker zu machen, wenn wir wissen, dass wir mit positiven Zahlen arbeiten.

In der Geometrie berechnen wir zum Beispiel oft Gleichungen, die die Längen einiger Linienabschnitte enthalten, und an dieser Stelle können wir sicher multiplizieren, weil die Länge selbst nicht negativ sein kann. Auch beim Multiplizieren oder Subtrahieren gilt die Regel, dass wir die gesamte Gleichung multiplizieren müssen. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Angenommen, wir befinden uns nur in den positiven Zahlen, so dass wir es uns leisten können, die ganze Gleichung zum Quadrat zu multiplizieren:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x+2}&=&x+4\quad/^2\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2&=&(x+4)^2\\ x+2&=&x^2+8x+16\\ x^2+7x+14&=&0 \end{eqnarray}$$

Wir haben eine quadratische Gleichung, die wir mit den in diesem Artikel beschriebenen Mitteln lösen können.

Wie würden Sie eine Gleichung lösen, bei der Sie zum Quadrat multiplizieren müssen, aber nicht sicher sein können, dass Sie sich nur in den positiven Zahlen befinden? Man multipliziert einfach und führt dann den Test durch, denn durch die Multiplikation kann man Ergebnisse erhalten, die nicht die richtigen Ergebnisse der Gleichung sind. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Wir werden nun die Gleichung zum Quadrat multiplizieren:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\quad/^2\\ \left(\sqrt{x}\right)^2&=&(x-2)^2\\ x&=&x^2-4x+4\\ x^2-5x+4&=&0 \end{eqnarray}$$

Auch hier erhalten wir eine quadratische Gleichung, die wir mit einer geeigneten Technik lösen, z. B. durch Zerlegung (das genaue Verfahren finden Sie in dem verlinkten Artikel):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Wir sehen, dass das eine Ergebnis 1 und das andere 4 ist. Wir wissen jedoch, dass wir eine nicht-äquivalente Anpassung vorgenommen haben, also müssen wir noch einen Test durchführen. Wir setzen diese Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfen, welches Ergebnis ein gültiges Ergebnis der ursprünglichen Gleichung ist. Zuerst setzen wir eins ein:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{1}&=&1-2\\ 1&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Bei der Überprüfung haben wir festgestellt, dass eins keine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Was ist mit der Vier?

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{4}&=&4-2\\ 2&=&2 \end{eqnarray}$$

Vier ist die Lösung der ursprünglichen Gleichung, wir haben das Ergebnis gefunden.