Wurzeln

Eine Quadratwurzel ist eine partielle Umkehrfunktion zu einer Potenz. Meistens arbeiten wir mit der Quadratwurzel, die nach einer Zahl sucht, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt, die wir quadratisiert haben.

Die Quadratwurzel

Für die Quadratwurzel verwenden wir das Zeichen $\sqrt{}$, und um zu vermeiden, dass wir das Argument der Quadratwurzel in Klammern schreiben müssen, wie z. B. $\sqrt{}$(25), machen wir einen horizontalen Strich über dem gesamten Argument (dem Ausdruck, den wir quadrieren wollen), wie folgt: $\sqrt{25}$.

Zu Beginn werden wir uns nur mit der Quadratwurzel einer reellen Zahl beschäftigen. Wir würden sie wie folgt definieren:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$$

Wenn man die Quadratwurzel von a mit der Quadratwurzel von a multipliziert, erhält man die Zahl a. Für die Zahl 9 wäre die Quadratwurzel also 3, da 3 · 3 = 9 gültig ist.

Wir können den vorherigen Ausdruck auch wie folgt schreiben:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

Das ist nur eine andere Schreibweise für die vorherige Multiplikation, nämlich mit einer Potenz.

Wichtig ist, dass diese Gleichung nur für diejenigen x gültig ist, die zum Definitionsbereich der Quadratwurzel gehören. Denn eine negative Zahl kann man nicht mit der Quadratwurzel ziehen. Wir können jede positive Zahl quadrieren, wir können die Null quadrieren, aber eine negative Zahl können wir nicht quadrieren? Warum können wir das nicht tun?

Nehmen wir an, wir wollen die Quadratwurzel von −25 berechnen. Wir haben im Grunde zwei Möglichkeiten, welche Zahl wir wählen. Entweder positiv oder negativ. Wenn wir positiv wählen, erhalten wir 5 · 5 = 25. Wir erhalten 25, aber wir wollen −25. Also versuchen wir, −5 zu wählen; erst nach der Multiplikation erhalten wir wieder 25. Kurz gesagt, wenn Sie zwei negative Zahlen multiplizieren, erhalten Sie eine positive Zahl. Das Gleiche gilt, wenn man zwei positive Zahlen multipliziert. Man müsste −5 · 5 multiplizieren, um −25 zu erhalten, und das kann man nicht, denn man multipliziert zwei verschiedene Zahlen, auch wenn sie sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Daher können Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht berechnen.

Mehrere Quadratwurzeln

Genauso wie man einen Ausdruck mit der zweiten, dritten und vierten Wurzel multiplizieren kann, kann man auch die dritte und vierte und schließlich n-te Quadratwurzel einer reellen Zahl haben. Dies wird in der Regel oberhalb des Schnabels geschrieben, etwa so:

$$\sqrt[5]{32}$$

Diese Schreibweise bezeichnet die fünfte Wurzel aus der Zahl zweiunddreißig. n-te Wurzel wird durch n-te Potenz wie folgt definiert:

$$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a;\qquad n\in\mathbb{N}, a,b\ge0$$

Wenn wir zwei nach n setzen, erhalten wir die Quadratwurzel, wie wir sie gerade definiert haben. Kurz gesagt, wir könnten sie auch so definieren:

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

Die Konvention besagt, dass wir für die Quadratwurzel keine Zwei schreiben müssen, so dass diese Schreibweisen gleichwertig sind:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Für die vierte Wurzel wäre das zum Beispiel so:

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}=a$$

Und ein konkretes Beispiel:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Umgekehrt gilt 4 · 4 · 4 = 64.

Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl

Wir wissen bereits, dass es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt, da a², wobei a eine reelle Zahl ist, niemals negativ sein kann. Bei mehreren Quadratwurzeln wird jedoch nicht mehr nur zweimal multipliziert, so dass es Fälle geben kann, in denen n-te Quadratwurzel einer negativen Zahl existiert. Woran liegt das?

Es hat uns gestört, dass wir eine positive Zahl erhalten, wenn wir eine negative Zahl zweimal multiplizieren. Für das Ergebnis −25 benötigten wir das Produkt −5 · 5. Aber was passiert, wenn wir drei negative Zahlen multiplizieren? Nach der Multiplikation der ersten beiden negativen Zahlen erhalten wir eine positive Zahl. Aber nach der Multiplikation mit der letzten negativen Zahl erhalten wir wieder eine negative Zahl. Wenn wir noch einmal multiplizieren (insgesamt viermal), sind wir wieder bei den positiven Zahlen angelangt.

Die Lektion hier ist, dass, wenn wir n-mal eine negative Zahl multiplizieren, wenn n gerade ist, das resultierende Produkt positiv ist, wenn es ungerade ist, ist das Produkt negativ. Wir schließen daraus, dass es eine n-te Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt, wenn n ungerade ist. Beispiel:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Umrechnung in eine Potenz

Wir können Quadratwurzeln leicht in Potenzen umwandeln und tun dies auch oft, weil es die Arbeit mit Quadratwurzeln erleichtert. Es gilt die folgende Beziehung:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Wenn wir n-die Quadratwurzel von a haben, ist es dasselbe, als wenn wir a mit 1/n multiplizieren. Das kann auch praktisch sein, wenn man irgendwo eine höhere Quadratwurzel als die andere eingeben muss. Oft kann man das nicht direkt tun, aber man kann einen Bruch in den Exponenten eingeben. Um den Graphen der vierten Wurzel aufzeichnen zu lassen, lassen Sie den Graphen der Funktion

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Am häufigsten wird die Umrechnung in Quadratwurzeln verwendet:

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

Formeln für Quadratwurzeln

Da eine Quadratwurzel leicht in eine Potenz umgewandelt werden kann, erben Ausdrücke mit Quadratwurzeln die Formeln für gewöhnliche Potenzen. Es gelten also die folgenden Beziehungen:

$$\Large \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\Large \sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}\qquad a>0$$

Zugleich gelten die folgenden grundlegenden Beziehungen:

$$\Large \sqrt[n]{0}=0$$

$$\Large \sqrt[n]{1}=1$$

$$\Large \sqrt[1]{a}=a$$

Partielle Quadratwurzeln

Die partielle Quadratwurzel ist eine Technik zur Vereinfachung von Quadratwurzeln und verwendet eine der oben genannten Formeln:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

Wir können nämlich einige Ausdrücke unterhalb der Quadratwurzel in ein Produkt zerlegen, dann dieses Produkt in zwei Quadratwurzeln zerlegen und schließlich eine dieser Quadratwurzeln quadrieren. Ein typisches Beispiel könnte dieses sein:

$$\sqrt{4x}$$

Wir können diesen Ausdruck gemäß der vorherigen Formel wie folgt umschreiben:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=$$

Und jetzt können wir die Quadratwurzel aus der Vier ziehen:

$$=2\cdot\sqrt{x}$$

Auf ähnliche Weise können wir eine gewöhnliche Zahl umschreiben, wenn wir die genaue Form beibehalten wollen. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Taschenrechner

Wenn Sie eine Quadratwurzel berechnen müssen, können Sie den Quadratwurzel-Rechner hier benutzen 🧮.