Inverse Funktionen

Eine Umkehrfunktion ist eine Funktion, die Elemente "in umgekehrter Weise" der ursprünglichen Funktion zuordnet.

Einführendes Beispiel

Betrachten wir zu Beginn eine einfache lineare Funktion f(x) = 2x. Wie sehen die Funktionswerte dieser Funktion aus? Für die ersten natürlichen Zahlen sehen die Funktionswerte zum Beispiel so aus:

$$\begin{eqnarray} f(1)&=&2\\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&6\\ f(4)&=&8\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Wir können sehen, dass die Funktion eine Vier zurückgibt, wenn wir eine Zwei in die Funktion einsetzen. Was sollte die Umkehrfunktion zu dieser Funktion tun? Sie sollte andersherum funktionieren - wir sollten eine Vier eingeben und die Funktion sollte eine Zwei zurückgeben. Die Umkehrfunktion, die mit f⁻¹ bezeichnet wird, sollte die Elemente in umgekehrter Reihenfolge anzeigen, d. h. so:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(2)&=&1\\ f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(6)&=&3\\ f^{-1}(8)&=&4\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Wie macht man das? Wenn die ursprüngliche Funktion das Doppelte des Parameters x zurückgibt, sollte die Umkehrfunktion wiederum die Hälfte des Parameters x zurückgeben. Wenn wir eine Drei einsetzen, haben wir nach der Verdoppelung eine Sechs. Wenn wir die Hälfte der Sechs nehmen, erhalten wir eine Drei zurück. Die Umkehrfunktion hätte dann die folgende Schreibweise:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definition

Definieren wir nun die Umkehrfunktion richtig. Wir haben also eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D(f) und dem Wertebereich H(f). Aus der Definition der Funktion ergibt sich, dass es für alle Elemente x des Definitionsbereichs D(f) ein Element y des Wertebereichs H(f) gibt, für das f(x) = y gilt.

Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann die Funktion, für die sie gilt:

$$f(x)=y\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x.$$

Was sagt uns diese Definition? Wenn wir die Funktion f mit dem Argument x aufrufen und den Wert y erhalten, dann muss die Umkehrfunktion mit dem Argument y aufgerufen werden und den Wert x zurückgeben.

Wir zeigen das alles in den Abbildungen. Die erste Abbildung stellt die ursprüngliche Funktion f dar, die das Doppelte des übergebenen Wertes zurückgibt. Der linke Kreis stellt den Definitionsbereich dar, die Menge, aus der wir Werte für x auswählen. Der rechte Kreis stellt den Wertebereich dar, die Menge der Werte, die der Funktionswert annehmen kann. Die Pfeile zeigen dann an, welche Eingabe für welche Ausgabe angezeigt wird. Natürlich sollte es unendlich viele Pfeile geben, dies ist nur ein kleiner Teil der Funktion.

Das folgende Bild zeigt die Umkehrung der Funktion. Die umgekehrte Funktion sieht sehr ähnlich aus, insbesondere ändert sich die Richtung der Pfeile und der Definitionsbereich und der Wertebereich ändern sich. Diese sind ebenfalls vertauscht.

Wir sehen, dass die ursprüngliche Funktion von D(f) bis H(f) reicht, die Umkehrfunktion jedoch umgekehrt von H(f) bis D(f). Somit ist der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion gleich dem Wertebereich der Umkehrfunktion, und der Wertebereich der ursprünglichen Funktion ist gleich dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

Die Existenz der Umkehrfunktion

Zunächst einmal ist es möglich, dass die Umkehrfunktion aufgrund einer grundlegenden Eigenschaft der Funktion nicht immer existiert. Nimmt man zwei identische Elemente des Definitionsbereichs a = b, dann muss die Funktion immer dasselbe Ergebnis f(a) = f(b) zurückgeben. Wenn wir auf die Funktion zurückgehen, die zweimal zurückgegeben hat, dann muss es immer wahr sein, dass f(5) = 10. Es kann nicht sein, dass die Funktion zum Beispiel dreizehn zurückgibt: f(5) = 13 - das darf bei einer Funktion per Definition nicht vorkommen.

Versuchen wir nun, die Situation zu analysieren, in der wir zum Beispiel eine quadratische Funktion f(x) = x² haben. Was wird die Funktion zurückgeben, wenn wir sie mit den Argumenten x₁ = 2 und x₂ = −2 aufrufen? Die Funktion wird in beiden Fällen den Wert 4 zurückgeben:

$$\begin{eqnarray} f(2)&=&4\\ f(-2)&=&4 \end{eqnarray}$$

Also gut. Aber wie würde die Umkehrfunktion aussehen? Wenn wir eine Umkehrfunktion zu dieser quadratischen Funktion konstruieren würden, müsste sie auch halten:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(4)&=&-2 \end{eqnarray}$$

Und wir wissen, dass das nicht möglich ist. Die Funktion kann nicht für dieselben Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefern. Wann liegt also eine Umkehrfunktion vor? Wenn die Funktion für keine zwei Eingangsargumente den gleichen Wert zurückgibt. Das ist genau die Definition einer einfachen Funktion:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Eine Umkehrfunktion zur Funktion f existiert genau dann, wenn die Funktion f einfach ist. Anhand der Abbildungen wollen wir erklären, warum es eigentlich keine Umkehrfunktion zu einer Funktion geben kann, die nicht einfach ist. Verwenden wir die Pfeile, um einen Teil der quadratischen Funktion f(x) = x² zu zeigen:

Wenn wir versuchen würden, die Pfeile umzudrehen, würden wir ein Bild wie dieses erhalten:

Wir erhalten ein Bild, in dem zwei Pfeile von einem Punkt zu verschiedenen Zahlen in der anderen Menge führen. Dies entspricht nicht der Definition einer Funktion, so dass es die Umkehrfunktion nicht geben kann.

Grafische Bedeutung

Nimmt man den Graphen einer Funktion, so ist dieser, wenn es eine Umkehrfunktion gibt, achsensymmetrisch mit dem ersten und dritten Quadranten - was auch den Graphen der Funktion f(x) = x darstellt.

Berechnung der Umkehrfunktion

Wenn man eine Funktion erhält und die Aufgabe darin besteht, die Umkehrfunktion zu dieser Funktion zu berechnen, besteht das Verfahren darin, die Funktion in die Gleichung einzubauen und sie aus der Gleichung zu isolieren x. Wir modifizieren also die erste lineare Funktion f(x) = 2x wie folgt:

$$y=2x$$

So fangen wir an. Das Ziel ist es, x relativ zu y auszudrücken. Hier geht es ziemlich schnell, man teilt die Gleichung einfach durch zwei

$$\frac{y}{2}=x$$

und Sie haben die Umkehrung von x ausgedrückt als $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Ein weiteres Beispiel:

$$f(x)=4x-7$$

Setzen Sie x in die Gleichung ein und isolieren Sie :

$$\begin{eqnarray} y&=&4x-7\quad/+7\\ y+7&=&4x\quad/:4\\ \frac{y+7}{4}&=&x \end{eqnarray}$$

Die Umkehrfunktion sieht dann so aus:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Wir können es ausprobieren. Wir berechnen den Funktionswert der ursprünglichen Funktion mit dem Wert drei:

$$f(3)=4\cdot3-7=12-7=5$$

Wenn wir die Umkehrfunktion richtig berechnet haben, sollten wir bei einem Aufruf mit dem Wert 5 die 3 zurückbekommen:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ein weiteres Beispiel:

$$f(x)=x^2+1$$

Isolieren wir x:

$$\begin{eqnarray} y&=&x^2+1\quad/-1\\ y-1&=&x^2\quad /\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}&=&\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$$

Jetzt sind wir in einer heiklen Situation. x² denn wir können nicht einfach die Quadratwurzel aus x ziehen, sondern müssen einen absoluten Wert hinzufügen, d.h.:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Wenn wir ihn zu der vorherigen Gleichung hinzufügen:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Damit erhalten wir aber zwei Ergebnisse, ein positives und ein negatives:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt{y-1}\\ x_2&=&-\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$$

Das Ergebnis ist, dass wir für eine x zwei verschiedene y haben, außer wenn die Quadratwurzel Null ist. Wir können jedoch die Umkehrfunktion in einem bestimmten Intervall finden. Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen:

finden wir, dass die Umkehrfunktion auf dem Intervall <0,∞) existieren könnte. Wir können also einfach die Isolation für x₁ nehmen. An diesem Punkt erhalten wir die Funktion, deren Graph Sie in der Abbildung sehen:

Wir können also sagen, dass die Umkehrfunktion auf dem Intervall existiert

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$