Gerade und ungerade Funktionen

Bei Funktionen können wir ihre Parität bestimmen, das heißt, wir können feststellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist. Im Extremfall kann sie gleichzeitig gerade und ungerade sein, aber in den meisten Fällen ist sie weder gerade noch ungerade.

Geradheit

Eine Funktion ist geradzahlig, wenn sie eine einfache Regel erfüllt: Wenn man das Element x in die Funktion einsetzt und dann die Umkehrung von −x, dann muss die Funktion denselben Ergebniswert zurückgeben. Eine typische gerade Funktion ist die Funktion f(x) = x². Wenn man sie mit den Argumenten 6 und −6 aufruft, erhält man: f(6) = 36 und f(−6) = 36. Das Argument unterscheidet sich nur im Vorzeichen, das Ergebnis ist also dasselbe.

Eine formale Definition könnte wie folgt aussehen. Wenn die Funktion f gerade ist, dann muss sie folgende Bedingungen erfüllen

$$\forall x\in D(f): f(x)=f(-x)$$

Für alle x aus dem Bereich der Funktionsdefinition muss gelten, dass auch dann, wenn wir die Funktion mit dem inversen Argument, also −x, aufrufen, die Funktionswerte gleich sein müssen.

Wie wird eine gerade Funktion im Diagramm dargestellt? Wenn wir x und −x einsetzen, dann erhalten wir in der Funktion den gleichen y. Man kann sich das so vorstellen: x und −x sind auf der x-Achse gleich weit vom Ursprung entfernt und haben die gleiche y-Koordinate. Das bedeutet, dass der Graph der geraden Funktion entlang der y-Achse symmetrisch ist. Zur Veranschaulichung: der Graph der Funktion x²:

Zu den klassischen Funktionen gehören die geraden Funktionen: Kosinusfunktionen, Funktionen der Form f(x) = x^a, wobei a eine gerade Zahl ist. Ein absoluter Wert, zum Beispiel f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|, macht aus einer ursprünglich ungeraden Funktion eine gerade Funktion.

Eine ungerade Funktion

Eine ungerade Funktion muss ähnliche Regeln erfüllen wie eine gerade Funktion. Die Funktion f ist also ungerade, wenn sie diese Regel erfüllt:

$$\forall x\in D(f): f(-x)=-f(x)$$

In der Praxis bedeutet dies, dass die ungerade Funktion, wenn sie zum Punkt [a, b] gehört, auch zum Punkt mit inversen Koordinaten gehören muss, d. h. [−a, −b]. Ein Beispiel für eine ungerade Funktion ist die Funktion f(x) = x³. Wenn wir eine 2 nach x setzen, erhalten wir:

$$f(-x)=f(-2)=(-2)^3=-8$$

Im zweiten Ausdruck würden wir erhalten

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Wie zeigt sich dies in der Grafik? Muss die Funktion zu dem Punkt [a, b] und gleichzeitig zu [−a, −b] gehören? Wenn Sie dies aufzeichnen, werden Sie feststellen, dass ein solcher Graph symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems ist, d. h. zum Punkt [0, 0]. Der Graph der Funktion f(x) = x³ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Unter den klassischen Funktionen sind die folgenden ungerade Funktionen: f(x) = x^a, wobei a ungerade ist, f(x) = ax, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist (es handelt sich also um eine lineare Funktion ohne einen absoluten Term). Dann gibt es noch f(x) = a/x oder Sinus.

Prüfung der Geradheit

Wie kann man prüfen, ob eine Funktion gerade ist? Das müssen wir per Definition. So zum Beispiel die bekannte Funktion f(x) = x². Wir prüfen per Definition. Sie besagt, dass f(x) = f(−x). Wenn die Funktion gerade ist, muss sie erfüllen:

$$x^2=(-x)^2$$

Minus x zum Quadrat, das können wir nach den Regeln des Zählens mit Potenzen wie folgt aufschlüsseln:

$$x^2=(-1)^2\cdot x^2$$

Minus eins zum Quadrat ist eins, also erhalten wir nur x² zurück.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Ist die folgende Funktion gerade?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Ergänzen wir die Definition:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Wir können diese Brüche neu anordnen, indem wir den Absolutwert in den Zähler und den Nenner statt in den ganzen Bruch verschieben.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Wir ändern den Nenner des zweiten Bruches, da sicherlich |x| = |−x| aus der Definition des absoluten Wertes gilt.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Jetzt erhalten wir Gleichheit.

Überprüfen der Ungeradheit

Wie kann man prüfen, ob eine Funktion ungerade ist? Auch hier müssen wir die Definition heranziehen. Sie besagt, dass eine Funktion f ungerade ist, wenn

$$f(-x)=-f(x)$$

Beginnen wir mit der Funktion f(x) = x³. Setzen wir sie in die Definition ein:

$$(-x)^3=-x^3$$

Wir können die linke Seite wie im vorherigen Beispiel aufschlüsseln:

$$(-1)^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus eins von drei ist minus eins:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Wir haben also Gleichheit:

$$-x^3=-x^3$$

Die Funktion ist ungerade.

Ist die Funktion ungerade?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Ergänzen wir die Definition:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Hier gibt es nicht viel zu ändern, wir setzen einfach das Minuszeichen im ersten Bruch vor den ganzen Bruch, so dass wir Gleichheit erhalten:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Die Funktion ist ungerade.

Weder gerade noch ungerade

Die Funktion muss weder gerade noch ungerade sein. Wahrscheinlich gibt es die meisten solcher Funktionen. Ein Beispiel ist die lineare Funktion f(x) = x + 1. Wir wollen versuchen, sie in die Definition der Geradzahligkeit einzupassen:

$$x+1=-x+1$$

Isolieren wir x:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&-x+1\\ 2x+1&=&1\\ 2x&=&0 \end{eqnarray}$$

Die Gleichheit gilt nicht für alle x, sondern nur für einige, also ist die Funktion nicht gerade. Nun zur Ungeradheit:

$$\begin{eqnarray} -x+1&=&-(x+1)\\ -x+1&=&-x-1\\ 0x&=&-2 \end{eqnarray}$$

Diese Gleichung hat niemals eine gerade Lösung, also ist die Funktion nicht ungerade.

Gerade und ungerade

Gibt es eine Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist? Gibt es einen Graphen einer Funktion, der gleichzeitig entlang der y-Achse und dem Ursprung symmetrisch ist? Die Antwort lautet: Ja. Es gibt genau eine Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, und zwar eine konstante Funktion f(x) = 0. Der Graph der Funktion folgt genau der Achse x.

Man beachte, dass es tatsächlich unendlich viele solcher Funktionen gibt, denn wir können eine Funktion g(x) definieren, die dieselbe Vorschrift hat, nur auf einem anderen Definitionsbereich definiert ist. Wir können zum Beispiel eine Funktion g(x) = 0 definieren, die nur den Definitionsbereich der natürlichen Zahlen hat. Diese Funktion unterscheidet sich von der Funktion f(x), die über die reellen Zahlen definiert ist. Die Verschreibung ist jedoch immer die gleiche.

Zusammengesetzte Funktionen

Eine interessante Situation entsteht, wenn wir zwei Funktionen haben, die ungerade oder gerade sind, und wir versuchen, sie zu addieren, zu multiplizieren, usw. Wenn man zum Beispiel zwei gerade Funktionen addiert, erhält man wieder eine gerade Funktion. Es gibt viele Regeln und Kombinationen, die zusammenfassende Tabelle finden Sie in dem Buch meines Kollegen (Kapitel Zusammengesetzte Funktionen).