Goniometrische Funktionen
Kapitoly: Goniometrische Grundfunktionen, Der Einheitskreis, Zyklometrische Arcus-Funktionen, Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, Formeln für goniometrische Funktionen, Graphen von goniometrischen Funktionen, Der Satz von Sinus und Kosinus
In diesem Artikel geht es um goniometrische Funktionen, die manchmal auch als trigonometrische Funktionen bezeichnet werden. Das Wort Goniometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet "Winkel messen", und "trigon" bedeutet übersetzt "Dreieck". Es gibt vier grundlegende goniometrische Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.
Grundlegende Konzepte des Dreiecks
Goniometrische Funktionen arbeiten mit den Winkeln eines Dreiecks, daher werden in diesem Abschnitt die Konzepte im Zusammenhang mit dem Dreieck erläutert.
Die Abbildung zeigt ein Dreieck, das durch die Eckpunkte A, B und C gebildet wird; es handelt sich also um das Dreieck ABC. Hier finden wir drei Seiten: AB, BC, AC. Beachten Sie auch, dass diese Seiten zusätzlich mit Kleinbuchstaben benannt sind. Diese Benennung hat eine Regel - gegenüber dem Scheitelpunkt A haben wir die Seite a. Gegenüber dem Scheitelpunkt B liegt die Seite b, und gegenüber dem Scheitelpunkt C liegt die Seite c. Die gegenüberliegende Seite wird also immer nach dem Scheitelpunkt benannt; die Seite, die nicht durch den Scheitelpunkt gebildet wird.
Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die wir gewöhnlich mit den griechischen Buchstaben alpha α, beta β und gamma γ bezeichnen. Die Summe aller drei Innenwinkel muss immer 180 Grad ergeben. Normalerweise haben wir einen Alpha-Winkel am Scheitelpunkt A, einen Beta-Winkel an B und einen Gamma-Winkel an C.
Obwohl wir goniometrische Funktionen in gewisser Weise für jedes Dreieck verwenden können, arbeiten wir oft nur mit rechtwinkligen Dreiecken. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen rechten Winkel hat, d. h. 90 Grad. Es sieht zum Beispiel so aus:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat speziell benannte Seiten. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt (blaue Seite im Bild). Die beiden kürzeren Seiten werden als Schenkel bezeichnet (rote Seiten). Dies ist das Dreieck, das uns in diesem Artikel am meisten interessieren wird.
Markierung der Zweige in einem Dreieck
Kommen wir nun zur ersten goniometrischen Funktion, der Sinusfunktion. Alle goniometrischen Funktionen zeigen uns die Beziehung zwischen einem bestimmten Winkel in einem Dreieck und dem Verhältnis der Längen der beiden Seiten. In der Regel ist es nicht der rechte Winkel, sondern die beiden anderen. Die Eingabe für die goniometrische Funktion ist also der Betrag des Winkels. Die Ausgabe ist das Verhältnis der beiden Seiten. Die verschiedenen Funktionen unterscheiden sich je nachdem, mit welchen Seiten sie arbeiten.
Die Sinusfunktion arbeitet mit dem Kehrwert der Durchbiegung und der Hypotenuse. Was ein benachbarter und gegenüberliegender Zweig in Bezug auf einen gegebenen Winkel ist, wird in der folgenden Abbildung gezeigt.
In der Abbildung arbeiten wir mit dem Winkel beta, dem Winkel am Scheitelpunkt B. Die schwarze Seite ist die Hypotenuse, an ihr ändert sich nichts. Die rot hervorgehobene Seite c ist der angrenzende Überhang, da sie an den Winkel beta angrenzt. Die blau hervorgehobene Seite b ist die gegenüberliegende Seite des Überhangs, weil sie dem Winkel beta gegenüberliegt. Wichtig ist, dass sich diese Begriffe immer auf einen Winkel beziehen. Wenn wir die Abbildung aus der Perspektive des Gamma-Winkels betrachten, erhalten wir dieses Ergebnis:
Die Sinusfunktion
Der Sinus des Alpha-Winkels ist gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels zur Länge der Hypotenuse. Was bedeutet das? Wenn wir den Sinus des Alpha-Winkels berechnen (z. B. mit einem Taschenrechner), erhalten wir den Wert des Verhältnisses
$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Astes }}{\mbox{ Die Länge der Hypotenuse }}$$
Probieren wir dies an diesem Dreieck und dem Winkel beta aus:
Es ist ein schönes Dreieck, die Seitenlängen sind: |a| = 5, |b| = 3 und |c| = 4. Die dem Winkel beta entgegengesetzte Seite ist die Seite b, die Hypotenuse ist die Seite a. Berechnen Sie den Quotienten b/a, also 3/5, das ist 0,6. Der Sinus des Winkels beta ist dann gleich 0,6. Der Winkel beta ist $36^\circ 52^\prime$, wenn du diesen Winkel in den Taschenrechner einträgst und den Sinus berechnest, erhältst du (nach einer kleinen Rundung) genau 0,6. Du kannst das Ergebnis im Taschenrechner überprüfen , um den Wert der Sinusfunktion zu berechnen.
Wozu das gut ist
Diese Funktion eignet sich, wenn Sie einen Winkel und die Länge einer Seite kennen und die übrigen Seiten berechnen müssen.
Als erstes sollte man aufschreiben, was man eigentlich weiß. Wir kennen den Winkel alpha. Wir wissen, dass der Sinus dieses Winkels gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite (das ist die Seite a) zur Hypotenuse (die Seite b) ist. Mathematisch geschrieben:
$$\sin(\alpha)=\frac{|a|}{|b|}$$
Wir kennen oder können den Sinus des Winkels berechnen; wir kennen die Länge der Seite a. Das einzige, was wir nicht wissen, ist die Länge der Seite b. Wir werden also versuchen, diese Variable zu isolieren. Zuerst multiplizieren wir die Gleichung mit der Seitenlänge b. Wir erhalten
$$|b|\cdot\sin(\alpha)=|a|$$
und nun dividieren wir einfach die Gleichung durch sin(α), um die gewünschte Form mit der Seitenlänge b auf der linken Seite zu erhalten:
$$|b|=\frac{|a|}{\sin(\alpha)}.$$
Wir kennen die Seitenlänge von a, sie ist gleich drei. Der Sinus von dreißig Grad ist gleich einer Hälfte. Addieren:
$$|b|=\frac{3}{0{,}5}=6$$
Die Seite b hat eine Länge von sechs.
Die Kosinusfunktion
Die Kosinusfunktion ist der Sinusfunktion sehr ähnlich. Die Terminologie rund um die Kosinusfunktion ist die gleiche wie im vorherigen Abschnitt, also gehen wir zur Definition über:
Der Kosinus des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels zur Länge der Hypotenuse. Wenn wir also den Kosinus des Winkels alpha mit dem Taschenrechner berechnen, erhalten wir das Verhältnis der
$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{ die Länge des angrenzenden Zweigs }}{\mbox{ die Länge der Hypotenuse }}.$$
Der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus ist in der folgenden Abbildung deutlich zu erkennen:
Beide Funktionen arbeiten mit der Hypotenuse des Dreiecks, die schwarz bleibt. Der Sinus arbeitet dann mit den gegenüberliegenden Offsets, das ist - bezogen auf den Winkel alpha - die rote Seite BC. Der Kosinus arbeitet mit den benachbarten Offsets, das ist die blaue Seite AB.
Kehren wir zu dem im letzten Kapitel beschriebenen Beispiel zurück. Wir mussten die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn wir die Länge der Seite a kannten. Versuchen wir nun, die Länge der Seite c zu berechnen, wenn wir den Winkel alpha und die Länge der Hypotenuse kennen, die wir im vorherigen Beispiel berechnet haben: b = 6.
Was wissen wir nun? Der Winkel Alpha beträgt 30 Grad, die Seitenlänge b ist gleich sechs, und der Kosinus gibt uns das Verhältnis zwischen dem angrenzenden Überhang und der Hypotenuse an. Die angrenzende Traufe ist die Seite c, also die Seite, deren Länge wir finden wollen. Wir schreiben:
$$\cos(\alpha)=\frac{|c|}{|b|}$$
Wir müssen |c| aus der Gleichung isolieren. Dazu multiplizieren wir die Gleichung mit der Länge der Seite b, so dass wir nur noch die Länge der Seite c auf der rechten Seite haben:
$$|b|\cdot\cos(\alpha)=|c|$$
Wir drehen einfach die Seiten um:
$$|c|=|b|\cdot\cos(\alpha)$$
Auf der rechten Seite haben wir Ausdrücke, die wir entweder kennen oder berechnen können. Der Kosinus von dreißig Grad ist ungefähr 0,866(siehe den Rechner zur Berechnung der Kosinusfunktion). Ergänzen Sie die Gleichung:
$$|c|=6\cdot0{,}866=5{,}196$$
Dies ist die Länge der Seite c. Wie wir weiter unten sehen werden, ist der Kosinus von dreißig Grad ein Tabellenwert, der gleich ist
$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0{,}866025\ldots),$$
Wir können also die vorhergehende Länge auf verfeinern:
$$|c|=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$
Tangens und Kotangens (Kotangens)
Es gibt zwei weitere goniometrische Funktionen, den Tangens und den Kotangens. Der Hauptunterschied zu den vorherigen goniometrischen Funktionen besteht darin, dass Tangens und Kotangens nur mit Schenkeln arbeiten, nicht aber mit der Hypotenuse.
Der Tangens des Alpha-Winkels ist gleich dem Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Traufe zur Länge der benachbarten Traufe. Üblicherweise wird der Tangens entweder mit tg oder tan bezeichnet.
$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Astes }}{\mbox{ Die Länge der angrenzenden Traufe }}$$
Der Kotangens des Alphawinkels ist gleich dem Verhältnis zwischen der Länge der benachbarten Traufe und der Länge der gegenüberliegenden Traufe. Wir bezeichnen den Kotangens gewöhnlich mit cot oder cotan.
$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge der angrenzenden Traufe }}{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Astes }}$$
Auch hier ist die Terminologie dieselbe wie in den vorangegangenen Abschnitten, und auch die Arbeit mit Funktionen ist dieselbe. Kehren wir zum vorherigen Beispiel zurück und versuchen wir, die Seitenlänge c zu berechnen, indem wir nur den Betrag des Winkels alpha und die Seitenlänge a kennen, die a = 3 ist.
Der Tangens ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum angrenzenden Schenkel, mathematisch ausgedrückt sieht es also so aus:
$$\tan(\alpha)=\frac{|a|}{|c|}$$
Wir müssen die Seitenlänge c berechnen, also müssen wir den Ausdruck |c| aus dieser Gleichung isolieren. Wir multiplizieren mit |c| und dividieren durch $\tan(\alpha)$, ähnlich wie in den vorherigen Beispielen.
$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{|a|}{|c|}\quad/\cdot |c|\\ |c|\cdot\tan(\alpha)&=&|a|\quad/:\tan(\alpha)\\ |c|&=&\frac{|a|}{\tan(\alpha)} \end{eqnarray}$$
Man addiert zur rechten Seite, wo der Tangens von dreißig Grad ungefähr gleich 0,5773 ist(siehe den Rechner zur Berechnung des Wertes der Tangensfunktion).
$$|c|=\frac{3}{0{,}5773}=5{,}196.$$
Es gibt einen Tabellenwert für den Tangens von dreißig Grad, es ist wahr, dass:
$$\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
So können wir die vorhergehende Berechnung genau durchführen:
$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$
Tabellarische Werte
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens haben schöne resultierende Werte für einige schöne Winkel. Hier ist eine grundlegende Übersicht über sie:
$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$
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