Dreieck

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Eckpunkten besteht, die durch drei Linien verbunden sind.

Beschreibung

Schauen Sie sich die folgende Abbildung an: Die Abbildung zeigt ein Dreieck, das durch die Eckpunkte A, B und C gebildet wird; es ist also ein Dreieck ABC. Hier finden wir drei Seiten: AB, BC, AC. Beachten Sie auch, dass diese Seiten zusätzlich mit Kleinbuchstaben benannt sind. Diese Benennung hat eine Regel - gegenüber dem Scheitelpunkt A haben wir die Seite a. Gegenüber dem Scheitelpunkt B liegt die Seite b, und gegenüber dem Scheitelpunkt C liegt die Seite c. Die gegenüberliegende Seite wird also immer nach dem Scheitelpunkt benannt; die Seite, die nicht durch den Scheitelpunkt gebildet wird.

Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die wir gewöhnlich mit den griechischen Buchstaben alpha α, beta β und gamma γ bezeichnen. Die Summe aller drei Innenwinkel muss immer 180 Grad ergeben.

Ein Dreieck hat keine Diagonalen, aber es hat Schwerelinien und Höhenlinien.

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung ist eine wichtige Beziehung, die in einem Dreieck gilt. Sie besagt, dass die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten immer größer ist als die Länge der dritten, verbleibenden Seite. Schreiben Sie dies auf:

$$\begin{eqnarray} |a|+|b|&>&|c|\\ |a|+|c|&>&|b|\\ |b|+|c|&>&|a| \end{eqnarray}$$

Was würde passieren, wenn diese Ungleichung nicht gelten würde? Das heißt, wenn es wahr wäre, dass eine Seite länger ist als die Summe der beiden anderen? Ein Dreieck könnte nicht gebildet werden, weil die beiden Seiten zu kurz wären und sich nicht "erreichen" würden.

Wäre Gleichheit gegeben, d. h. zwei Seiten wären in der Summe genauso lang wie die dritte Seite, dann würden beim Versuch, ein Dreieck zu zeichnen, alle Punkte auf der gleichen Linie liegen:

Die Dreiecksungleichheit wird auch in Definitionen anderer Begriffe verwendet, die oft in irgendeiner Weise mit Entfernungen zu tun haben, wo dieses Prinzip am natürlichsten ist. Wenn es um Entfernungen in der realen Welt geht, dann ist eine direkte Reise (Luftlinie) von Prag nach Brünn sicherlich kürzer als eine Reise von Prag nach Liberec und dann von Liberec nach Brünn.

Arten von Dreiecken

Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken, abhängig von der Länge der Seiten und der Winkel.

• Bei einemgleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge. Gleichzeitig haben alle Innenwinkel eine Größe von 60 Grad.
• Bei einemgleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die dritte Seite hat eine andere Länge. Die gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite als Basis. Der Winkel, den die Schenkel eines solchen Dreiecks mit der Basis bilden, ist immer gleich groß.
• Bei einemspitzen Dreieck ist jeder Innenwinkel spitz, d. h. er ist kleiner als 90 Grad.
• Ein rechtwinkliges Dre ieck hat nur einen rechten Winkel, d. h. einen Winkel von 90 Grad. Ein Dreieck kann nicht zwei rechte Winkel haben, weil die Summe der Innenwinkel gleich 180 ist - der dritte Winkel müsste dann die Größe Null haben, was nicht möglich ist. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der berühmte Satz des Pythagoras. Weitere Informationen finden Sie in einem separaten Artikel über rechtwinklige Dreiecke.
• Einstumpfwinkliges Dre ieck hat nur einen Winkel, dessen Größe größer als 90 Grad ist. Auch hier ist zu beachten, dass ein Dreieck keine zwei Winkel größer als 90 Grad haben kann, so dass die verbleibenden zwei Winkel notwendigerweise spitz sein müssen, d. h. kleiner als 90 Grad.