Quadrat

Ein Quadrat ist eine geometrische Grundfigur mit vier gleichen Seiten, wobei jeder Innenwinkel genau 90 Grad beträgt. Es gibt auch eine Methode, die man die Methode der Vervollständigung eines Quadrats nennt.

Beschreibung

In der folgenden Abbildung ist ein Beispiel für ein Quadrat zu sehen.

Jedes Quadrat besteht aus vier Scheitelpunkten, unseres enthält die Scheitelpunkte A, B, C, D. Sie sind in der Abbildung blau markiert. In diesem Fall handelt es sich um das Quadrat ABCD. Diese Eckpunkte sind durch Linien verbunden, so dass sie die vier Seiten des Quadrats bilden. Die Seiten sind: AB, BC, CD, DA. In der Abbildung sind diese Seiten durch fette Linien gekennzeichnet. Jede dieser Seiten hat die gleiche Länge, nämlich die Länge fünf.

Jede Seite bildet einen rechten Winkel mit ihren Nachbarn, d. h. einen Winkel von 90 Grad.

Die Diagonalen des Quadrats

Die grünen Linien zeigen die Diagonalen an. Jedes Quadrat hat zwei Diagonalen, dieses hier hat die Diagonalen AC und DB. Eine Diagonale ist also eine Linie, die zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Quadrats verbindet. Weitere Fakten über Diagonalen:

• Eine Diagonale ist immer länger als eine Seite eines Quadrats.
• Genauer gesagt: Wenn die Seite eines Quadrats die Länge a hat, dann hat die Diagonale u die Länge $|u|=a\cdot\sqrt{2}$. Das ist nur eine Anwendung des Satzes von Pythagoras.
• Die Diagonalen schneiden sich immer in der Mitte des Quadrats (dem Schwerpunkt).
• Die Diagonale teilt ein gegebenes Quadrat in zwei Hälften. Die beiden Diagonalen teilen dann das Quadrat in vier Viertel.
• Die Diagonalen selbst halbieren sich gegenseitig. Markiert man den Mittelpunkt des Quadrats mit dem Punkt S (wie in der Abbildung), dann ist die Länge der Strecke AS gleich der Länge der Strecke CS.
• Die Diagonale teilt den Winkel zwischen benachbarten Seiten. In der Abbildung beträgt zum Beispiel der Winkel ABC 90 Grad und der Winkel ABD 45 Grad.
• Die Diagonalen bilden einen rechten Winkel zwischen ihnen.

Umfang und Inhalt

Der Umfang ist die Länge der Kante des Quadrats, d. h. die Summe der Längen aller Seiten. Wenn also ein Quadrat die Seitenlänge a hat, dann ist der Umfang gleich 4 · a. Der Inhalt ist die Größe der Fläche, die das Quadrat einnimmt. Man nimmt die Länge einer Seite und multipliziert sie mit der Länge der angrenzenden Seite. Da aber alle Seiten des Quadrats gleich lang sind, kann man einfach mit a · a multiplizieren. Noch einmal in Kürze:

$$\begin{eqnarray} (\mbox{ Stromkreis })\quad o &=&4\cdot a\\ (\mbox{ Inhalt })\quad S&=&a\cdot a=a^2 \end{eqnarray}$$

Das Quadrat in der vorigen Abbildung hat zum Beispiel einen Umfang von 4 · 5 = 20 und einen Inhalt von 5 · 5 = 25.

Die Lage des Quadrats

Ist die folgende Abbildung ein Quadrat?

Die vorherige Abbildung ist ein Quadrat, weil es vier Seiten hat, die alle gleich lang sind, und jede Seite einen rechten Winkel mit jeder benachbarten Seite bildet. Wenn wir das Quadrat drehen, bleibt es ein Quadrat. Aber wenn wir zum Beispiel die Größe der Winkel ändern, ist es kein Quadrat mehr:

Vier Scheitelpunkte, vier gleich lange Seiten, aber alle Winkel sind nicht rechtwinklig, also ist es kein Quadrat.

Wie man ein Quadrat zeichnet

Ein Quadrat ist leicht und einfach zu zeichnen. Sie müssen nur die Länge der Seite kennen. Wenn die Seitenlänge zum Beispiel drei Zentimeter beträgt, ist die erste Linie, die du zeichnest, eine Drei-Zentimeter-Linie. Sie markieren die Extrempunkte als Scheitelpunkte A und B (oder wie immer Sie wollen). Dann müssen Sie mit einem Lineal den rechten Winkel messen und zwei senkrechte Linien von den Punkten A und B in der gewünschten Richtung zeichnen. Die Segmente werden wieder drei lang sein. Markieren Sie die neuen Punkte C und D. Verbinden Sie schließlich die Punkte C und D mit einer Linie.

Kreis nachgezeichnet und einbeschrieben

Einbeschriebener und eingeschriebener Kreis sind zwei Begriffe, die zusammen mit Quadraten vorkommen. Beide Kreise haben ihren Mittelpunkt in der Mitte des Quadrats, d. h. im Schnittpunkt der Diagonalen.

Der Inkreis ist der Kreis, der alle Scheitelpunkte des Quadrats schneidet. Er hat den Radius AS, wobei A der (beliebige) Scheitelpunkt des Quadrats und S der Mittelpunkt ist.

Ein Inkreis ist ein Kreis, der alle Seiten des Quadrats berührt. Er hat den Radius a/2, wobei a die Länge einer Seite des Quadrats ist.

Quadratisches Meter

Mit dem Quadrat verwandt ist die Grundeinheit für den Inhalt, nämlich der Quadratmeter. Was bedeutet dies? Wenn wir sagen, dass etwas eine Fläche von einem Quadratmeter hat, bedeutet das, dass die Fläche den gleichen Inhalt hat wie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter. Wenn Sie einen Raum haben, der 10 Quadratmeter groß ist, bedeutet das, dass Sie zehn Quadrate mit einer Seitenlänge von einem Meter unterbringen können. Beachten Sie, dass damit nicht der Inhalt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 10 Metern gemeint ist! Die folgende Abbildung zeigt dies deutlich:

Nimmt man ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 10 Metern, dann wäre es eine Einheit von ar. Nimmt man ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 100 Metern, dann wäre es ein Hektar.