Winkel

Wenn du einen Winkel hast und diesen Winkel irgendwo anders hin kopieren willst, kannst du die Methode der Winkelübertragung verwenden.

Was ist ein Winkel?

Die Definition eines Winkels ist nicht ganz einfach, und es gibt verschiedene Versionen. Für unsere Zwecke dürfte jedoch diese Version genügen: Ein Winkel ist ein Teil einer Ebene, der durch zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Ursprung begrenzt wird. Wichtig an dieser Definition ist, dass der Winkel nicht nur aus den beiden Schenkeln besteht, sondern aus der gesamten Fläche, der gesamten Ebene, die von den beiden Schenkeln umschlossen wird. Siehe die folgende Abbildung:

Das vorherige Bild war jedoch nicht ganz richtig, weil wir nicht angegeben haben, welchen Winkel wir meinen. Auf den ersten Blick könnten wir uns die genannte Fläche als den Winkel ABC vorstellen, aber wir könnten uns genauso gut den anderen Teil der Ebene vorstellen:

Wenn wir also Winkel schreiben, sollten wir unterscheiden, ob wir einen konvexen Winkel (einen, der kleiner als $180^{\circ}$ ist) oder einen nicht-konvexen Winkel (einen, der größer als $180^{\circ}$ ist) meinen. Dies kann zum Beispiel mit einem orientierten Winkel ausgedrückt werden.

Ein Winkel kann entweder positiv oder negativ orientiert sein. Bei positiver Orientierung gehen wir gegen den Uhrzeigersinn vor und bei negativer Orientierung im Uhrzeigersinn. Wenn wir also den Winkel ABC schreiben, wird zuerst der halbdirekte AB und dann der halbdirekte BC genannt. In positiver Richtung schauen wir auf das Semikolon AB und gehen gegen den Uhrzeigersinn vor. In unserem obigen Beispiel würden wir das erste Bild erhalten, einen konvexen Winkel. Wenn wir eine negative Richtung angeben würden, bekämen wir einen nicht-konvexen Winkel, also das zweite Bild. Standardmäßig wird die positive Richtung angenommen, und in diesem Artikel werden die Notationen im positiven Sinne geschrieben.

Ein Winkel besteht also aus den beiden Schenkeln, die den Winkel begrenzen, dem Scheitelpunkt des Winkels, von dem die Winkelhalbierenden ausgehen, und der Fläche, die von den Schenkeln des Winkels begrenzt wird. Bei einem Winkel ABC sind die Schenkel des Winkels AB und BC und der Scheitelpunkt ist B.

Die Größe des Winkels

So wie wir die Länge eines Liniensegments messen können, können wir auch die Größe eines Winkels messen. Diese wird entweder im klassischen Gradmaß gemessen, das Ihnen sicher bekannt ist, oder im Bogenmaß. Das Gradmaß ist einfach: $90^{\circ}$ ist ein rechter Winkel (z. B. sind die Innenwinkel eines Quadrats jeweils $90^{\circ}$), $180^{\circ}$ ist ein rechter Winkel (z. B. durch gegenüberliegende Halbgeraden halbiert), und $360^{\circ}$ ist ein Raumwinkel (durch übereinander liegende Halbgeraden halbiert - ein solcher Winkel besteht aus der gesamten umgebenden Ebene). Ein Grad ist weiter unterteilt in Minuten (bezeichnet mit ′) und Sekunden (bezeichnet mit ″). Ein Grad hat 60 Minuten und eine Minute hat sechzig Sekunden. $1^{\circ} = 60′$ und 1′ = 60″.

Bilder von jedem Winkel:

Das Bogenmaß ist schon etwas schwieriger für die Vorstellungskraft, weil es Bogenmaß zählt, das keinen absoluten Wert hat. Allerdings habe ich die Bogengröße und andere Eigenschaften für goniometrische Funktionen bereits beschrieben, so dass ich mich nicht wiederholen werde.

Winkel können nach ihrer Größe weiter unterteilt werden in spitze Winkel, die weniger als $90^{\circ}$ haben, und stumpfe Winkel, die zwischen $90^{\circ}$ und $180^{\circ}$ liegen. Diese sind eine Art Untermenge der oben gezeigten konvexen Winkel. Mehr als $180^{\circ}$ hat einen nicht-konvexen Winkel, der ihn nicht unterteilt.

Ein Paar von Winkeln

Einige spezifische Winkelpaare haben verschiedene Eigenschaften, über die man Bescheid wissen sollte.

• Scheitelwinkel sind die Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben und deren Schenkel entgegengesetzte Hauptachsen bilden. Scheitelwinkel sind immer kongruent und haben den gleichen Betrag.

• Seitenwinkel sind die Winkel, die einen gemeinsamen Schenkel haben und deren andere Schenkel gegenüberliegende Hauptachsen bilden. Die Summe der Seitenwinkel ist immer gleich $180^{\circ}$, ein rechter Winkel.

• Kongruente Winkel sind Winkel, deren erste Schenkel parallel sind und deren zweiter Schenkel auf der gleichen Linie liegt. Außerdem müssen die Winkel die gleiche Ausrichtung haben. Kongruente Winkel sind kongruent.

Es gibt noch andere Arten von Winkeln, aber dies sind nur Positionen, die sich aus den drei oben beschriebenen Orten ableiten lassen.

Operationen mit Winkeln

Wir können bestimmte elementare Operationen mit Winkeln durchführen. Die grundlegendste ist die Addition. Numerisch gesehen kann man damit nicht viel falsch machen; man addiert normalerweise die Größen der Winkel. Wenn ein Winkel mehr als 360° beträgt, wird er normalerweise in eine einfachere Form umgewandelt, die irgendwo im Intervall $0^{\circ} - 360^{\circ}$ liegt. Kurz gesagt, es ist so, als ob man im Dreihundertsechzehntel-Zahlensystem arbeiten würde. Ähnlich verhält es sich mit Minuten oder Sekunden, die im Beispiel im Hexadezimalsystem (wie bei einer normalen Uhr) berechnet werden müssen.

Zur Veranschaulichung also ein Beispiel. Addieren Sie die folgenden Winkel: $\alpha = 183^{\circ} 51′$ und $\beta = 222^{\circ} 24′$. Zählen Sie zunächst die Minuten $51′ + 24′ = 75′ = 1^{\circ} 15′$ (das Verfahren ist einfach, Sie dividieren 75 durch sechzig. Das Ergebnis gibt die Gradzahl an und der Rest die Anzahl der verbleibenden Minuten). Nun zählen wir die Gradzahl: $183^{\circ} + 222^{\circ} = 405^{\circ}$ Zu diesem Teilergebnis addieren wir das vorherige Ergebnis $405^{\circ} + 1^{\circ} 15′ = 406^{\circ} 15′$. Wir verringern nun diesen Winkel um 360, bis er zwischen 0 und 360 liegt. Wir verkleinern, denn wenn wir einen Winkel der Größe $360^{\circ}$ beschreiben, sind wir wieder am Anfang, der Winkel der Größe $361^{\circ}$ wird auf dem Papier genauso groß sein wie der Winkel der Größe $1^{\circ}$. Wir kommen zu dieser Berechnung: $406^{\circ} 15′ = 46^{\circ} 15′$.

• Wikipedia