Das Bogenmaß eines Winkels

Der Bogenmaß ist - wie das Grad - eine Einheit zur Messung der Größe von Winkeln. Er ist auf dem Einheitskreis definiert und seine Größe entspricht dem zentralen Winkel eines Bogens, dessen Länge gleich dem Radius des Bogens ist.

Definition

Um das Bogenmaß zu definieren, benötigen wir einen Einheitskreis. Auf diesem Kreis legen wir zwei Punkte A und B so, dass der Bogen, den sie bilden, die Länge 1 hat, d. h. die Länge des Bogens ist gleich dem Radius dieses Kreises. Wenn wir den Mittelpunkt des Kreises mit dem Punkt S markieren, dann hat der Winkel ASB einen Betrag von nur einem Radiant.

Die Linie AS stellt den Radius des Kreises dar, sie ist rot gefärbt. Die andere rote Linie, der Bogen AB, muss die gleiche Länge haben. Wichtig ist, dass wir uns nicht direkt für den Abstand zwischen den Punkten A und B interessieren, also nicht für die Linie AB, sondern wirklich für die Länge dieses Bogens.

Wie hoch ist der Wert von Bogenmaß in Grad? Ungefähr $57^\circ 17^{\prime} 45^{\prime\prime}$. Den genauen Wert können wir nicht beziffern. Die Frage ist also, wozu eine solche Einheit gut ist.

Praktische Berechnung mit Bogenmaß

Die erste Frage, die es zu beantworten gilt, ist, wie viele Bogenmaßeinheiten einem ganzen Kreis entsprechen, d. h. wie viele Bogenmaßeinheiten 360 Grad entsprechen. Wir wissen, dass die Bogenlänge eines Bogens nur der Radius des Kreises ist. Wie viele solcher Bögen passen auf einen ganzen Kreis? Der ganze Kreis hat eine Länge (d. h. einen Umfang) von nur

$$o=2\pi r.$$

Unser Bogen hat eine Länge von r. Um herauszufinden, wie oft der Bogen auf den Kreis passt, müssen wir obvod / polomer teilen, was uns ergibt:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Die Antwort ist also, dass wir solche Bögen auf den ganzen Kreis 2π passen können. Das ist eine ziemlich schöne Zahl. Wir können also schreiben, dass

$$360^\circ=2\pi \mbox{ rad}\quad\mbox{ a }\quad180^\circ=\pi\mbox{ rad}.$$

Wir lassen auch oft die Einheit rad selbst weg und schreiben einfach einen Winkel der Größe, zum Beispiel 2π.

Die folgende Abbildung zeigt drei Winkel mit einer Größe von einem Bogenmaß, das sind der Alpha-, Beta- und Gamma-Winkel. Sie können sehen, dass die Summe der Winkelgrößen fast 180 Grad beträgt. Da wir aber π im Bogenmaß benötigen, um auf 180 Grad zu kommen, und π einen ungefähren Wert von 3,1415… hat, fehlt uns noch ein bisschen.

Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt

Die meisten Instrumente und Programme, die goniometrische Funktionen berechnen, arbeiten standardmäßig mit dem Bogenmaß. Das ist ein kleines Problem, wenn Sie einen Winkel in Grad angegeben haben. Sie haben zwei Möglichkeiten: Wenn Sie können, schalten Sie das Instrument auf die Zählung in Grad um oder konvertieren Sie Grad in Bogenmaß.

Die Internetsuchmaschine Google hat beispielsweise einen eingebauten Taschenrechner, mit dem Sie den Wert der Sinusfunktion berechnen können. Wenn wir also versuchen, sin(30) zu berechnen, erhalten wir nicht das richtige Ergebnis 0,5, weil Google es nicht als dreißig Grad, sondern als dreißig Bogenmaß versteht. Wenn wir jedoch das Wort "Grad" (das ist das englische Wort für "degree") nach der Zahl hinzufügen, wird das Ergebnis bereits korrekt berechnet: sin(30 Grad). Die meisten Taschenrechner haben dann nur zwei Modi, einen für Grad und einen für Bogenmaß. Normalerweise befindet sich dies unter einer Schaltfläche mit der Aufschrift rad und deg. Rad ist die Abkürzung für Radiant, deg ist einfach Grad.

Wenn es keinen Rest gibt, muss man Grad in Bogenmaß umrechnen oder umgekehrt. Beginnen wir mit dem ersten Schritt: der Umrechnung von Grad in Bogenmaß. Wir wissen bereits, dass die Gleichung $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$ gilt. Wir möchten wissen, welcher Teil eines Bogenmaßes einem Grad entspricht, also teilen wir die Gleichung durch 180:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}$$

Wir wissen bereits, wie viele Radiant ein Grad sind. Wenn wir z. B. dreißig Grad berechnen müssen, multiplizieren wir diesen Bruch mit dreißig:

$$30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}.$$

Das Gleiche gilt für andere Gradzahlen.

Nun der umgekehrte Fall, die Umrechnung von Bogenmaß in Grad. Auch hier gehen wir von der Gleichung $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$ aus. Wenn wir 2π im Bogenmaß haben, erhalten wir doppelt so viele Grad, also 360. Umgekehrt, wenn wir nur die Hälfte π Bogenmaß haben, erhalten wir die Hälfte der Gradzahl - 90. Also teilen wir zunächst unseren Wert in Bogenmaß durch π, um herauszufinden, welches Vielfache von 180 Grad der Winkel darstellt. Dann multiplizieren wir den Wert mit 180, und wir haben den Winkel in Grad. Wenn wir also einen Winkel der Größe 3π/2 im Bogenmaß haben, erhalten wir nach dem Dividieren:

$$\frac{3\pi}{2}:\pi=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac32$$

Multipliziert man dieses Ergebnis mit 180, so erhält man den Winkel in Grad: 3/2 · 180 = 270. Hat man zwei Bogenmaß, so erhält man:

$$2\mbox{ rad} = \frac{2}{\pi}\cdot180=\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ = 114{,}59\ldots^\circ$$

Die grundlegende Beziehung zwischen dem Wert im Bogenmaß und dem Wert in Grad wird durch diese Formel dargestellt (rad ist der Wert im Bogenmaß, deg ist der Wert in Grad):

$$deg=rad\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Geschichte

Das Konzept des Bogenmaßes wurde wahrscheinlich erstmals von Roger Cotes im Jahr 1714 entwickelt. Zu dieser Zeit hieß seine Einheit noch nicht "Bogenmaß", aber die anderen Definitionen und Eigenschaften waren identisch. Der Begriff "Bogenmaß" tauchte erstmals am 5. Juni 1873 in einem Artikel von Jameson Thomson auf. Die Einheit konnte noch "radial" oder einfach "rad" genannt werden (Quelle: wiki).

Tabelle der grundlegenden Umrechnungsbeziehungen

Da einige Winkel häufig verwendet werden, gibt die folgende Tabelle die Werte in Grad und ihr Äquivalent in Bogenmaß an:

$$ \LARGE \begin{matrix} \mbox{deg: }&0&30&45&60&90&180&270&360\\ \mbox{rad: }&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi \end{matrix} $$