Linie

Eine Gerade ist die zweiteinfachste geometrische Figur und ist eindimensional (sie scheint nur eine Länge zu haben). Eine Gerade ist, einfach ausgedrückt, eine unendlich lange gerade Linie, die weder ein Ende noch einen Anfang hat.

Grundlegende Eigenschaften

Eine Gerade wird in der Regel mit Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. a. Eine Gerade wird in der Regel durch zwei Punkte gegeben, da jeder der beiden Punkte durch eine einzige Gerade gezeichnet werden kann. Es gibt auch eine Halbgerade, die einer Geraden ähnlich ist, nur dass sie einen Anfang (aber noch kein Ende) hat. Zum Beispiel bestehen die Schenkel von Winkeln aus Halbgeraden.

Schreiben einer Linie in der Ebene

Wenn wir uns in einer Ebene befinden, können wir eine Gerade mit Hilfe einer linearen Funktion schreiben, deren Graph immer eine Gerade ist. Leider versagt diese Methode im Raum, weil man die dritte Dimension nicht mit einer linearen Funktion bestimmen kann. In der Ebene ist es jedoch am einfachsten, eine lineare Funktion zu schreiben, um eine Linie zu schlafen, die nicht parallel zur Achse y verläuft. Wenn Sie eine Funktion angegeben haben, können Sie sicherlich leicht eine Linie daraus zusammensetzen, aber der umgekehrte Fall kann ein Problem darstellen. Nehmen wir also eine Linie wie diese:

Die Vorschrift für die lineare Funktion sieht so aus: y = ax + b. Zuerst finden wir b, den absoluten Term. Der einfachste Weg, ihn zu finden, ist, aus dem Graphen abzulesen, wo die Linie die y schneidet, wenn x Null ist. Wir sehen, dass es zwei ist, also b = 2. Das liegt daran, dass, wenn ax gleich Null ist, die einzige Möglichkeit, eine Zwei nach y in der y = ax + b Regel zu erhalten, darin besteht, den absoluten Term gleich zwei zu machen.

Jetzt müssen wir herausfinden, was a gleich sein wird. Es ist bequemer, wenn wir das absolute Glied a für einen Moment weglassen und annehmen, dass es Null ist. Die Gerade bewegt sich dann zum Ursprung des Koordinatensystems a und wir können a leichter bestimmen:

Wir können deutlich sehen, dass im Punkt x = 6 y den Wert 2 hat. Wir setzen diese Information in die Vorschrift der Funktion ein: 6a + 0 = 2. Daraus können wir leicht berechnen, dass $a=\frac26=\frac13$. Wir haben nun den Wert von a gefunden und können die gesamte Vorschrift der Funktion, also der Geraden, schreiben: y=1/3x+2.

$$ y=\frac{x}{3}+2 $$

Die relativen Positionen der Linien

Zwei Geraden in der Ebene können verschiedene relative Positionen einnehmen. Beginnen wir also mit den relativen Positionen in der Ebene.

Wenn zwei Geraden übereinander liegen und in eine einzige übergehen, die sich in allen Punkten schneiden, nennt man sie kongruente Geraden. Schneiden sich die Linien in einem einzigen Punkt, nennt man sie divergente Linien. Schneiden sich die Linien in keinem Punkt, werden sie als parallele Linien bezeichnet. Parallele Linien werden in der Regel mit zwei solchen kurzen Kommas auf jeder Linie gekennzeichnet, siehe die letzte Abbildung. Dies wird in den folgenden Abbildungen übersichtlich zusammengefasst:

Wie man die relativen Positionen von Linien findet, steht in einem separaten Artikel in der Analytischen Geometrie. In der gleichen Kategorie finden Sie auch ein Verfahren zur Ermittlung der allgemeinen Gleichung einer Linie, der parametrischen Gleichung einer Linie oder der Richtungsform einer Linie.