Kreise

Ein Kreis ist eine Kurve, die immer den gleichen Abstand zu einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, hat. Kreise werden auch als Koniks bezeichnet.

Beschreibung eines Kreises

Betrachten Sie das Bild eines Kreises:

Ein Kreis wird gewöhnlich mit dem Kleinbuchstaben k oder l bezeichnet.

• Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt, der mit S bezeichnet wird.
• Alle Punkte eines Kreises haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt S, das ist der Radius des Kreises und wird mit r bezeichnet. In der Abbildung ist es das Liniensegment AS.
• Die Linie, die zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis verbindet, wird Bogensehne genannt. In der Abbildung ist es das Liniensegment FG.
• Die Sehne, die durch den Mittelpunkt von S verläuft, wird Durchmesser des Kreises genannt und mit d bezeichnet. Es gilt 2r = d.

Als nächstes sprechen wir über die inneren und äußeren Bereiche des Kreises. Der innere Bereich ist die Menge aller Punkte, die einen geringeren Abstand vom Mittelpunkt haben als der Radius des Kreises. Der äußere Bereich ist die Menge aller Punkte, die einen größeren Abstand vom Mittelpunkt haben als der Radius. Wenn wir den Kreis und die innere Region des Kreises vereinen, erhalten wir einen Kreis.

Umfang und Inhalt

Welche Beziehung besteht zwischen dem Durchmesser eines Kreises und dem Umfang eines Kreises? Wie oft ist der Umfang eines Kreises größer als sein Durchmesser? Wenn du einen Kreis nimmst und versuchst, seinen Durchmesser und dann seinen Umfang zu messen, wirst du feststellen, dass er ungefähr dreimal so groß ist. Genauer gesagt das 3,1415-fache und noch genauer das π-fache.

Die Zahl π (lies pi) wird Ludolph-Zahl genannt. Sie ist eine irrationale Zahl, d. h. eine Zahl mit einer unendlichen Dezimalentwicklung ohne Punkt. Wenn man also den Durchmesser eines Kreises auf eine ganze Zahl festlegt, wird man seinen Umfang nie ganz genau bestimmen können. Im praktischen Leben ist es jedoch völlig ausreichend, einen ungefähren Wert zu kennen.

Die Formel für den Umfang eines Kreises sieht so aus:

$$o=\pi d=2\pi r$$

Die Formel für den Umfang eines Kreises:

$$S=\pi r^2$$

Die relative Lage zweier Kreise

• Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt S. Nicht konzentrische Kreise sind also Kreise, die keinen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Die Linie, die ihre Mittelpunkte verbindet, wird als Mittellinie bezeichnet.

• DieKreise k₁ liegen in der äußeren Region von k₂, die Kreise haben keinen gemeinsamen Punkt.

• Die Kreise k₁ liegen in der äußeren Region von k₂, berühren sich aber in einem Punkt.

• Die Kreise kreuzen sich in zwei Punkten.

• Die Kreise k₁ liegen in der inneren Region von k₂ und berühren sich in einem Punkt.

• Der Kreis k₁ liegt in der inneren Region von k₂.

Die Bögen

Jede Sehne, die die Extrempunkte A und B hat, teilt den Kreis in zwei Teile, die Bögen genannt werden. Jeder Punkt des Kreises, mit Ausnahme der Punkte A und B, ist dann ein Innenpunkt eines der Bögen. Ein Bogen wird dann z. B. mit AXB bezeichnet, wobei X ein innerer Punkt eines Bogens ist.

Wenn die Bogensehne auch ein Durchmesser ist, teilt sie den Kreis in zwei kongruente Bögen, die wir Halbkreise oder Halbschalen nennen. Ansonsten wird der Kreis immer in zwei unterschiedlich große Bögen geteilt.

Der zentrale Winkel

Betrachten wir einen Kreis k, dessen Mittelpunkt S ist, und einen Bogen AB. Dann nennen wir den Winkel ASB den zentralen Winkel über dem Bogen AB. Über dem kleineren Bogen befindet sich ein konvexer Zentralwinkel (der Winkel ist kleiner als $180^{\circ}$), und über dem größeren Bogen befindet sich ein nicht konvexer Winkel (größer als $180^{\circ}$).

Der Kreis in der Abbildung hat zwei Bögen mit der Bezeichnung AB. Der größere Bogen hat den Winkel α, der kleinere β.

Der Perimeterwinkel

Betrachten Sie den Kreis k mit dem Mittelpunkt S und dem Bogen AB. Wählen Sie nun einen Punkt V, der nicht zu diesem Bogen gehört, aber auf dem Kreis liegt. Dann wird der Winkel AVB als Kreiswinkel bezeichnet.

In der Abbildung gibt es zwei Umkreiswinkel, AV₁B und AV₂B. Man beachte, dass beide den gleichen Betrag haben - $60^{\circ}$ - und dass dieser Betrag halb so groß ist wie der des zentralen Winkels - $120^{\circ}$.