Thalet's Kreis
Kapitoly: Kreise, Thalet's Kreis
Der Satz von Thalet besagt, dass alle Dreiecke, deren Mittelpunkt des umschriebenen Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks liegt, rechtwinklige Dreiecke sind.
Beschreibung des Thaletschen Kreises
Ein gewisser Thales von Milet entdeckte vor langer Zeit eine interessante Eigenschaft des Dreiecks. Zeichnen wir ein Dreieck, dessen Kreis so umschrieben ist, dass der Mittelpunkt des Kreises die Hypotenuse (längste Seite) des Dreiecks halbiert. Betrachten wir die folgende Abbildung:
In der Abbildung haben wir einen Kreis k, dessen Mittelpunkt im Punkt S liegt. Dieser Kreis ist die Hypotenuse des Dreiecks ABC, d.h. er geht durch alle Eckpunkte des Dreiecks. Die wichtige Eigenschaft ist, dass die Hypotenuse durch den Mittelpunkt des Kreises geht, und zwar durch den Punkt S.
Dann hat der Innenwinkel ABC immer die Größe $90^{\circ}$, er ist ein rechter Winkel.
Egal, wohin wir den Scheitelpunkt B auf dem Kreis verschieben, wir erhalten immer einen rechten Winkel an diesem Scheitelpunkt. Ein paar weitere Beispiele:
Beweis
Wir werden ableiten, warum ein Dreieck in einem Thalet-Kreis immer rechtwinklig ist. Verändern wir die erste Abbildung ein wenig:
Es ist richtig, dass die Dreiecke SCB und ASB gleichschenklig sind, weil sie immer zwei gleich lange Seiten haben. Für das Dreieck SCB sind die Seiten SC und SB, weil ihre Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Für das andere Dreieck sind die Seiten SA und SB.
Daher sind der Winkel BCS und der Winkel SBC gleich groß, was in der Abbildung durch den Buchstaben β dargestellt ist. Dasselbe gilt für das zweite Dreieck, dort wird es durch den Buchstaben α angezeigt.
Wir wissen auch, dass die Summe der Winkel im Dreieck immer $180^{\circ}$ ergeben muss. Nun drücken wir die Summe der Winkel im Dreieck ABC mit den Winkeln α und β aus. Es muss gelten
$$ \alpha + \beta + \alpha + \beta = 180. $$
Der eine Winkel α ist für den Winkel CAB da, der andere Winkel α für den Winkel ABS. Das Gleiche gilt für den Winkel β. Wir werden die vorherige Gleichung noch etwas abändern:
$$ 2\alpha+2\beta = 180 $$
Teilen Sie die Gleichung durch zwei:
$$ \alpha+\beta = 90 $$
Und der Beweis ist vollständig. Wir wissen, dass die Summe der Winkel α + β gleich 90 ist, und wir wissen, dass die Summe der Winkel α und β den Innenwinkel ABC ergibt.