Bände und Inhalte

Zunächst ganz kurz zur Theorie, falls es jemand nicht weiß. Der Umfang eines Körpers ist die Summe der Längen aller seiner Seiten, ausgedrückt in Metern und abgeleiteten Einheiten. Der Umfang wird gewöhnlich mit dem Buchstaben O bezeichnet. Das Volumen eines Festkörpers ist die Größe der Fläche, aus der der Festkörper besteht, es wird in Quadratmetern berechnet, mathematisch wird ein Quadratmeter mit einer Zwei im Hochkomma ausgedrückt: ^m2. Das Volumen ist der Raum, den der Festkörper einnimmt, vereinfacht ausgedrückt, wie viel Wasser man hineinschütten kann. Das Volumen wird in Kubikmetern und abgeleiteten Einheiten berechnet, und Raummaße werden mit der hochgestellten Drei geschrieben: ^m3. Das Volumen wird üblicherweise mit dem Buchstaben V geschrieben. Inhalt und Volumen können auch in anderen (und wahrscheinlich gebräuchlicheren) Einheiten ausgedrückt werden, z. B. ar oder Hektar für Inhalt und Liter für Volumen. Weitere Informationen über Einheiten finden Sie unter units.cz. Inhalt oder Volumen können im Allgemeinen durch Integrale berechnet werden.

Quadrat und Rechteck

Beide Körper sind zweidimensional, so dass hier nur der Umfang und der Inhalt ermittelt werden können. Bei einem Quadrat ist dies am einfachsten, da bei einem Quadrat per Definition alle Seiten gleich lang sind. Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, nehmen wir also einfach eine Seite des Quadrats und multiplizieren sie mit vier (der Anzahl der Seiten): O=4a. Die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ist nur geringfügig komplizierter. Da ein Rechteck immer zwei gleich lange Seiten hat, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder man addiert einfach alle Seiten, oder man nimmt die Längen von zwei verschiedenen Seiten, multipliziert sie mit zwei und addiert sie: O=2a+2b.

Der Inhalt eines Quadrats ist nicht komplizierter als sein Umfang. Man nimmt eine Seite und multipliziert sie mit der anderen Seite. Da alle Seiten des Quadrats gleich lang sind, lautet die Formel: S = a-a = ^a2. Ein Rechteck funktioniert genauso wie ein Quadrat, nur dass bei einem Rechteck nicht alle Seiten gleich lang sind, so dass man zwei verschiedene senkrechte Seiten multiplizieren muss: S = a-b.

Rechteck

Ein Parallelogramm ist eine Figur, die einem Rechteck ähnelt, aber zwei gegenüberliegende Seiten hat, die schräg sind, siehe die Abbildung unter diesem Absatz. Der Umfang eines Parallelogramms ist einfach und im Grunde derselbe wie der eines Rechtecks: O=2a+2b, aber der Inhalt ist ein wenig interessanter. Um den Inhalt eines Parallelogramms zu berechnen, müssen wir es zu einem Rechteck machen, sonst geht es nicht. Und die folgende Abbildung zeigt uns, wie man ein Rechteck daraus macht:

Zuerst schneiden wir den überstehenden Teil des Parallelogramms (den farbigen Teil) ab und fügen ihn der anderen Seite des Parallelogramms hinzu, um ein Rechteck zu erhalten:

Erst jetzt können wir den Inhalt des Parallelogramms leicht berechnen, die Formel ist dieselbe wie für das Rechteck. Die grafische Umrechnung des Parallelogramms ist jedoch nicht bequem, es wird eine einfache Formel verwendet, die auf eben dieser Umrechnung beruht. Die Seite a ist im Falle des Rechtecks und des Parallelogramms identisch, nur die andere Seite ist unterschiedlich. Für das Parallelogramm wird also anstelle der Seite b die Höhe des Parallelogramms berechnet, die gleich der Seite b des modifizierten Rechtecks ist. Dies wird in der folgenden Abbildung deutlich (wir werden die rot markierten Seiten multiplizieren):

Die Formel sieht wie folgt aus: _S=va-a.

Ungerade Zahlen

Der Umfang ist klar, addieren wir also alle Seiten zusammen. Der Inhalt des Trapezes ist eine größere Nuss, die es zu knacken gilt. Theoretisch könnten wir dasselbe wie beim Parallelogramm tun, aber wir wissen nicht, ob wir die längere(AB) oder die kürzere(CD) Seite nehmen sollen.

Deshalb wenden wir einen Trick an - wir berechnen die durchschnittliche Länge der beiden parallelen Seiten und rechnen damit. Wir addieren also die Länge der Seiten AB und CD, teilen durch zwei und berechnen dann das Gleiche wie beim Parallelogramm - multiplizieren mit der Höhe und wir haben den Inhalt. S=(a+c)/2 -_va.

Dreieck

EinDreieck ist ein zweidimensionaler Körper und als solcher können wir seinen Umfang und seinen Inhalt berechnen, ein Volumen hat es nicht. Wir berechnen den Umfang eines Dreiecks, indem wir alle seine Seiten addieren. Die allgemeine Formel sieht also wie folgt aus: O=a+b+c. Natürlich gibt es Sonderfälle, z. B. ist es klar, dass bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, so dass wir nur die Länge einer Seite kennen und diese mit drei multiplizieren müssen. Dann würde die Formel wie folgt aussehen: O'=3a.

Für den Inhalt des Dreiecks müssen wir eine kleine Anpassung vornehmen. Um den Inhalt eines Dreiecks zu berechnen, müssen wir es in ein Parallelogramm verwandeln (ähnlich wie wir ein Rechteck aus einem Parallelogramm gemacht haben). Die folgende kleine Abbildung zeigt uns, wie man aus einem Dreieck ein Parallelogramm macht:

Anhand dieses Bildes sollte klar sein, wie man den Inhalt eines Dreiecks berechnet - man tut dasselbe, als ob man den Inhalt eines Parallelogramms berechnen würde, teilt das Ergebnis aber durch zwei: S=(_va-a)/2

Kreis

Ein Kreis ist insofern eine besondere Form, als man seinen Umfang oder Inhalt nicht berechnen kann. Zumindest nicht mit einem absolut präzisen Wert. Was auch immer wir mit einem Kreis berechnen wollen, wir kommen vielleicht nie ohne die Konstante Pi - π aus. Der genaue Wert von π ist nicht bekannt, es handelt sich um eine irrationale Zahl, aber der ungefähre Wert, der gewöhnlich verwendet wird (es sei denn, Sie haben den Wert in einem Taschenrechner gespeichert), ist 3,14.

Kommen wir nun zu den Formeln. Frühe Denker haben herausgefunden, wie man den Umfang eines Kreises oder eines Kreises berechnet (ein Kreis ist genau diese Linie, ein Bogen; ein Kreis hat kein Inneres und daher keinen Inhalt, während ein Kreis einen Inhalt hat, weil das Innere des Kreises eingeschlossen ist). Es wurde herausgefunden, dass das Verhältnis zwischen dem Durchmesser eines Kreises (der leicht gemessen werden kann) und dem Umfang eines Kreises immer gleich ist, und im Laufe der Zeit wurde sogar berechnet, wie oft der Umfang eines Kreises größer ist als sein Durchmesser. Und Weltwunder - es ist genau Pi mal. Wir berechnen also den Umfang des Kreises mit O=π-d=2-π-r (die letztere, kompliziertere Formel wird häufiger angegeben, weil wir meist den Radius und nicht den Durchmesser kennen), wobei d der Durchmesser und r der Radius des Kreises ist.

Das Volumen des Kreises ist dann ^S=π-r2, mehr kann ich nicht sagen :-).

Würfel und Quader

Dies sind die ersten räumlichen Körper, also werden wir für sie die Oberfläche und das Volumen bestimmen. Da ein Würfel sechs Flächen hat und alle Flächen Quadrate sind, ist das Verfahren klar: Man berechnet den Inhalt einer Fläche und multipliziert ihn dann mit sechs. ^S=6a2. Bei einem Würfel ist das schon etwas mühsamer, weil er mehrere Wände hat. Im Grunde berechnet man einfach den Inhalt der drei verschiedenen Wände, addiert und multipliziert mit zwei und erhält die Oberfläche des Quaders: S=(a-b + b-c + a-c)-2.

DasVolumen eines Würfels wird genau so berechnet wie das Volumen eines Quadrats, mit dem kleinen Unterschied, dass wir nicht vergessen dürfen, dass wir uns im Raum befinden. Kurz gesagt, man nimmt die Länge der Seite und multipliziert sie mit dem Drittel: ^V=a3. Bei einem Würfel ist es ähnlich, aber wir müssen die drei Seiten separat multiplizieren, da sie unterschiedlich lang sind: V=a-b-c.

Kugeln

DieOberfläche der Kugel (=Kugeloberfläche) wird berechnet als ^S=4-π-r2 und das Volumen der Kugel ist ^V=4/3-π-r3. Wenn Sie eine ziemlich komplizierte Herleitung der Berechnung des Volumens einer Kugel lesen möchten, schauen Sie sich das Cavalieri-Prinzip an. Die Herleitung der Oberfläche einer Kugel ist dann zum Beispiel hier im Forum zu finden.

Zylinder

Wir berechnenden Flächeninhalt eines Zylinders als Summe der Inhalte von zwei Grundflächen mit Wandinhalten. Da die Grundfläche ein Normalkreis ist, ist der Inhalt der einen Grundfläche gleich dem Inhalt des Kreises, so dass wir den Inhalt der einen Grundfläche wie folgt berechnen:

$$S_p=\pi\cdot r^2$$

Die Wand des Zylinders ist nichts anderes als ein "aufgerolltes" Rechteck, bei dem die Länge der einen Seite gleich der Höhe des Zylinders (bezeichnet mit v) und die andere gleich dem Umfang des Kreises an der Basis ist. Der Inhalt der Wand ist also gleich:

$$S_s=v\cdot2\pi r$$

Der Oberflächeninhalt des gesamten Zylinders ist also gleich:

$$S=2\cdot S_p+S_s=2\pi r^2+2v\pi r=2\pi r(r+v)$$

Das Volumen des Zy linders ist einfach die Höhe multipliziert mit dem Inhalt der Grundfläche. Den Inhalt der Grundfläche haben wir bereits im vorherigen Schritt berechnet. Das Ergebnis:

$$V=v\cdot\pi r^2$$

Nadel und Kegel

DerOberflächeninhalt eines Kegels wird im Allgemeinen als die Summe des Inhalts der Grundfläche und des Inhalts aller Wände berechnet. Eine allgemeine Formel dafür gibt es nicht. Das Volumen des Kegels hat etwas mit der Berechnung des Inhalts eines Dreiecks gemeinsam - man nimmt den Inhalt der Grundfläche und multipliziert ihn mit der Höhe des Kegels. Dann teilt man das Ergebnis durch drei und erhält das Volumen der Pyramide. V = (_Sp - v)/3, wobei _Sp das Volumen der Grundfläche ist.

DieOberfläche des rotierenden Kegels ist gleich der Summe aus dem Inhalt der Basis und dem Inhalt der Schale. Der Inhalt der Grundfläche ist klar, es ist ein gewöhnlicher Kreis, also ^S=π-r2. Der Inhalt der Schale ist etwas komplizierter, man muss sich vorstellen, dass man die Schale auf dem Tisch "auffaltet" und dadurch eine Art kreisförmigen Querschnitt erhält, dessen Inhalt gleich ist: S=π-r-s, wobei s der Radius der Schale ist (der Abstand der Spitze des Kegels vom Rand der Basis, im Grunde so etwas wie der Rand einer Nadel). Das Volumen des Kegels ist V=(π - ^r2 - h)/3, wobei h die Höhe des Kegels ist.

Beispiel für die Volumina

Berechnen Sie den Inhalt der folgenden Abbildung (nehmen Sie an, dass die Maße auf der Achse in Metern angegeben sind):

Auf den ersten Blick stellt man fest, dass es sich bei diesem Körper um eine Art allgemeines Polygon handelt, auf das man keine Formel als Ganzes anwenden kann. Wir müssen ihn also in kleinere Teile zerlegen, die wir bereits berechnen können. Am einfachsten ist es, den unteren Teil zu einem Dreieck und den oberen Teil zu einem Trapez zu machen. Die Aufteilung ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Berechnen Sie nun den Inhalt des Dreiecks ABE mit der Formel S = (a -_va)/2. Die Seite a ist in diesem Fall die Seite AE und die Höhe zu dieser Seite ist die Seite EB. Wir sehen, dass |AE|=3 m und |EB|=1 m. Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir: S=(3 - 1)/2=1,5^m2.

Im zweiten Schritt berechnen wir den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel S=(a+c)/2 -_va. In unserem Fall wird die Seite a die Seite AE und die Seite c die Seite DC sein. Die Höhe lässt sich wiederum leicht aus der Abbildung ablesen, sie ist die Länge des Liniensegments EC. Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir: S=(3+2)/2 - 2=5^m2.

Wir addieren die beiden vorherigen Teilergebnisse und erhalten das Volumen des Festkörpers. S = 1,5 m + 5 m = 6,5^m2.

Berechnen Sie den Inhalt der folgenden Abbildung (gehen Sie davon aus, dass die Maße auf der Achse in Metern angegeben sind):

Auch hier ist wahrscheinlich auf den ersten Blick ersichtlich, dass ein Muster nicht ausreicht und dass wir das Muster in irgendeiner Weise abändern müssen. Wir berechnen es folgendermaßen: Wir berechnen den Inhalt des "Quadrats", addieren dazu drei Viertel des Inhalts des Kreises und subtrahieren das kleine Dreieck unten links:

Wir berechnen den Inhalt des Quadrats einfach: _S1 = 2 - 2 = 4^m2. Im zweiten Schritt berechnen wir den Inhalt des Kreises. Wieder setzen wir ihn einfach in die Formel ein und berechnen _S2 = π -¹² - 3/4 = 3π/4. Nun müssen wir nur noch den Inhalt des Dreiecks DEI berechnen und vom Inhalt des Quadrats abziehen. Die Seite EI und ihre Höhe DI haben die gleiche Länge von 1 m, so dass der Inhalt des Dreiecks _S3 = ½ ist.

Im letzten Schritt werden die Teilergebnisse addiert und subtrahiert: S =_S1 +_S2 - _S3 = 3,5^m2 + 3π/4^m2.