Integral

Der Prozess der Integration einer Funktion ist das Gegenteil des Prozesses der Ableitung einer Funktion.

Primitive Funktionen

Beginnen wir mit einem einfachen Problem. Betrachten wir die Funktion f(x) = 2x. Nun wollen wir eine Funktion F finden, die, wenn sie abgeleitet wird, gleich der Funktion f ist. Formal ausgedrückt suchen wir nach einer Funktion F, so dass $F^{\prime}=f$ gilt.

Aus den grundlegenden Formeln zur Berechnung von Ableitungen wissen wir, dass dies die Funktion F(x) = x² ist. Die Ableitung der Funktion x² ist gerade gleich 2x. Die Frage ist, ob diese Funktion die einzige ist, die die Bedingung erfüllt.

Die Antwort ist, dass dies nicht der Fall ist - wenn wir der Funktion x² eine beliebige reelle Konstante hinzufügen, erhalten wir nach der Ableitung wieder die Funktion 2x, da die Ableitung der Konstante Null ist. Jede Funktion der Form x² + c, wobei c eine reelle Konstante ist, kann als die gesuchte Funktion F angesehen werden.

Wir können dieses Problem verallgemeinern. Geben wir eine reelle Funktion f, so finden wir eine solche Funktion F, für die $F^{\prime}(x) = f(x)$ für alle x von D(f) gilt, möglicherweise aus einem Intervall im Definitionsbereich. Diese Funktion muss nicht eindeutig gegeben sein, aber andererseits muss eine solche Funktion auch gar nicht existieren.

Wir nennen diese Funktion F eine primitive Funktion zur Funktion f. Wir schreiben:

$$ F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Die Funktion f wird als Integrand bezeichnet, der Prozess der Suche nach der primitiven Funktion wird Integration genannt. Der Ausdruck dx gibt an, über welche Variable integriert wird. Wenn wir das Beispiel wie folgt schreiben

$$ \int 4x^3 \mbox{ d}x, $$

Wir wollen die primitive Funktion der Funktion 4x³ finden, indem wir durch die Variable x integrieren. Das Ergebnis kann eine Funktion x⁴ sein, die nach der Ableitung einfach 4x³ entspricht. Natürlich können wir zu dieser Funktion jede reelle Konstante hinzufügen.

Es kann gezeigt werden, dass die primitive Funktion entweder nicht existiert oder immer die Form F(x)+c hat, wobei c eine reelle Konstante ist - und dann gibt es unendlich viele davon, da wir unendlich viele reelle Konstanten haben. Wenn wir also die Funktion F(x) finden, sind wir in der Lage, alle primitiven Funktionen zu erzeugen. Gleichzeitig ist jede Funktion, die wir auf diese Weise nicht erzeugen würden, nicht mehr primitiv für die gesuchte Funktion.

Noch ein paar Worte zu dem Ausdruck dx. Er sieht sehr kryptisch aus, aber er gibt nur an, über welche Variable wir integrieren. Wenn wir zum Beispiel ein Integral haben

$$ \int a\cdot b+c \mbox{ d}b, $$

haben, bedeutet dies, dass wir über die Variable b integrieren und die anderen Buchstaben a und c als Konstanten fungieren. Das heißt, sie verhalten sich genauso, als ob es Zahlen wären.

Integrieren elementarer Funktionen

Wir können leicht Formeln für die Berechnung der primitiven Funktionen einiger elementarer Funktionen herleiten. Im gesamten Kapitel gehen wir davon aus, dass c ∈ ℝ.

Wir beginnen mit der Funktion f(x) = 0, der Nullfunktion. Welche Funktion wird nach der Ableitung gleich Null sein? Jede Funktion, die nur eine Konstante enthält:

$$ \int 0 \mbox{ d}x = c $$

Als Nächstes die Funktion f(x) = 1. Es gilt, dass $x^{\prime}=1$, also das Integral von eins gleich ist

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x + c $$

Die nächste Funktion in der Reihenfolge ist die Funktion f(x) = x. Welche Funktion müssen wir zderivieren, um x als Ergebnis zu erhalten? Wenn wir x² zderivieren, erhalten wir 2x. Das ist fast das Ergebnis, das wir erreichen wollen. Einfach durch zwei dividieren. Wenn wir (x²)/2 zderivieren, erhalten wir nur x.

$$ \int x \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2}+c $$

Wenn wir dies auf die Funktion xⁿ verallgemeinern, wobei n ∈ ℕ, erhalten wir die Formel:

$$ \int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c $$

Beachten Sie, dass diese Formel nicht auf n = −1 anwendbar ist, da wir durch Null dividieren würden, und das ist nicht schön. Wenn wir also n = −1 haben, erhalten wir die Funktion f(x) = x⁻¹, die die Funktion 1/x ist. Welche Funktion müssen wir ableiten, um 1/x zu erhalten? Es ist ein Logarithmus.

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln x+c $$

Das Problem ist, dass der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist, so dass diese Formel nicht für alle x von D(f) gilt. Sie gilt jedoch für das Intervall (0, ∞). Für das Intervall (−∞, 0) tauschen wir einfach das Vorzeichen am Argument des Logarithmus: ln −x Zusammengesetzt können wir also schreiben

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln |x|+c $$

Diese Formel gilt für alle x ∈ D(f). Für andere Integrale für goniometrische Funktionen, zum Beispiel, siehe die folgende Tabelle:

$$\begin{eqnarray} \int a^x \mbox{ d}x &=& \frac{a^x}{\ln a}+c\quad\mbox{ Für } a>0, a\ne1\\ \int \sin x \mbox{ d}x &=& -\cos x+c\\ \int \cos x \mbox{ d}x &=& \sin x +c \end{eqnarray}$$

Integral der Summe

Während die Berechnung der Ableitungen einer Funktion in der Regel recht einfach ist und - wie man so schön sagt - sogar ein trainierter Affe sie durchführen kann, weil man die Formeln in der Regel direkt befolgt, ist die Situation bei Integralen anders. Die Verfahren zur Berechnung von Integralen sind recht kompliziert, so dass die Ermittlung des Integrals viel schwieriger ist als die Berechnung der Ableitung. Das liegt vor allem daran, dass wir zwar eine Erwartungsformel für das Integral der Summe haben, aber nicht mehr für das Produkt.

Versuchen wir nun, dieses Integral zu berechnen:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x $$

Wie können wir es berechnen? Wir brauchen eine Funktion, die, wenn wir sie ableiten, x ergibt, und dann eine weitere Funktion, die 1 ergibt. Wir wissen bereits aus den Formeln, dass dies die Funktionen (x²)/2 und x sind. Wenn wir diese Funktionen addieren, erhalten wir f(x) = (x²)/2 + x. Wenn wir diese Funktion ableiten, erhalten wir x + 1. Damit haben wir das Ergebnis:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2} + x + c $$

Wir haben bei der Berechnung eine Eigenschaft benutzt - das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Oder

$$ \int f(x) + g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x + \int g(x) \mbox{ d}x $$

Dies gilt auch für die Subtraktion:

$$ \int f(x) - g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x - \int g(x) \mbox{ d}x $$

Daher hätten wir das vorherige Beispiel auch wie folgt auflösen können:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \int x \mbox{ d}x+\int 1 \mbox{ d}x $$

Ziehen einer Konstante

Ein ähnliches Theorem gilt auch für den Ausschluss der Konstante vor dem Integral. Wenn wir ein Integral der Form haben:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x, $$

wobei a eine reelle Konstante ist, können wir diese Konstante vor das Integral setzen:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x = a\cdot\int f(x) \mbox{ d}x $$

Beispiel

Berechnen Sie das Integral:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x $$

Im ersten Schritt werden wir das Integral in drei Integrale aufteilen:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \int x^2 \mbox{ d}x+\int 6x \mbox{ d}x+\int 42 \mbox{ d}x $$

Wir lösen die Integrale eines nach dem anderen. Das erste Integral können wir direkt mit der Formel für Potenzen von xⁿ lösen:

$$ \int x^2 \mbox{ d}x=\frac{x^3}{3}+c $$

Für das zweite Integral ziehen wir zunächst eine Sechs:

$$ \int 6x \mbox{ d}x = 6\cdot\int x \mbox{ d}x $$

Das Integral x ist bereits wieder ein Tabellenwert, es ist gleich (x²)/2. Wir erhalten also:

$$ 6\cdot\int x \mbox{ d}x = 6\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right) = 3x^2+c $$

Im letzten Integral zeichnen wir ebenfalls zuerst 42:

$$ \int 42 \mbox{ d}x = 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x $$

Und das ist wieder ein Tabellenwert:

$$ 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x = 42x+c $$

Wir addieren diese Teilintegrale, und wir haben das Ergebnis:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c $$

Noch eine Anmerkung - wir haben die Konstante c in jedem Teilintegral erhalten, also sollten wir bei der Addition +3c anstelle von +c in das Ergebnis schreiben. c ist jedoch eine beliebige reelle Konstante, also wird 3c wieder gleich einer reellen Zahl sein. Wir könnten c in den Teilintegralen durch c₁, c₂, c₃ ersetzen und dann c = c₁ + c₂ + c₃ sagen.

Ressourcen

• Primitive Funktionen, Jan Tomeček [PDF]