✖

Kontinuität einer Funktion

Die Kontinuität einer Funktion sagt uns intuitiv, ob die Funktion an einem bestimmten Punkt kontinuierlich ist oder ob sie irgendwie disjunkt ist. Wir definieren und berechnen die Stetigkeit mit Hilfe von Grenzwertfunktionen, wenn Sie diese nicht kennen, werden sie sich nicht durchsetzen.

Definition der Stetigkeit einer Funktion

Die Kontinuität ist erstaunlich einfach zu definieren und leicht zu verstehen, wenn man die Grenzwerte kennt. So die Definition der Kontinuität einer Funktion:

Eine Funktion f(x) heißt kontinuierlich in einem Punkt a des Definitionsbereichs einer Funktion f, wenn:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) $$

Wir können immer noch linke und rechte Kontinuität definieren, wenn wir links oder rechts nach Grenzwert ersetzen. Beachte:

  • Wir haben bisher nur die Definition der Stetigkeit der Funktion f an einem Punkt definiert. Wenn die Funktion f über alle Punkte ihres Definitionsbereichs stetig ist, dann können wir sagen, dass die Funktion f über den gesamten Definitionsbereich stetig ist.
  • Der Punkt a in der Definition der Stetigkeit muss ein Massenpunkt sein.
  • Damit eine Funktion im Punkt a stetig ist, muss f(a) existieren (der Wert von a muss aus dem Definitionsbereich der Funktion stammen), der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ muss existieren, und beide müssen gleich demselben Wert sein.
  • Eine Funktion, die an einem Punkt stetig ist, ist an diesem Punkt von links und rechts stetig. Eine Funktion kann, wie es bei den Grenzwerten der Fall war, nur an einem Punkt von links oder von rechts stetig sein. Wenn der Grenzwert links und rechts unterschiedlich ist, ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.

Was sagt uns die Definition? Zunächst einmal muss die Funktion in dem Punkt definiert sein. Wenn eine Funkton an einem bestimmten Punkt nicht definiert ist, ist sie an diesem Punkt sicher nicht stetig. Wenn sie definiert ist, betrachten wir die Grenzwerte. Nähert sich die Funktion dem Funktionswert an einem bestimmten Punkt von rechts und von links, dann ist die Funktion an diesem Punkt stetig. Wenn die Grenzwerte nicht mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion an diesem Punkt diskontinuierlich.

Ein einfaches Beispiel: Im Artikel über den Grenzwert einer Funktion wurde uns die Funktion $f(x)=\frac{x}{3}$ gezeigt, die eine einfache lineare Funktion ist. Für jeden Punkt a∈ ℝ gilt, dass

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a). $$

Die Funktion f ist also über ihren gesamten Definitionsbereich stetig. Wenn wir zum Beispiel die Zahl 6 hinter a setzen, dann haben wir:

\begin{eqnarray} f(6) &=& 2\lim_{x\rightarrow 6} \frac{x}{3} &=& 2\end{eqnarray}

Zeichne die Funktion f(x)=\frac{x}{3}

Unstetigkeitsstellen

Wenn eine Funktion an einem Punkt a nicht stetig ist, bedeutet dies, dass sie an diesem Punkt unstetig ist. Dies ist keine große Überraschung. Es gibt jedoch verschiedene Arten von Unstetigkeitsstellen, je nachdem, wie sehr wir den Graphen der Funktion verändern müssten, um die Funktion stetig zu machen.

Es gibt drei grundlegende Arten von Unstetigkeitsstellen:

Ein Punkt der entfernbaren Diskontinuität

Als Punkt der entfernbaren Diskontinuität bezeichnen wir einen Punkt, für den beide einseitigen Grenzwerte existieren, die gleich sind, d. h. die Funktion hat an diesem Punkt einen Grenzwert, aber dieser Grenzwert unterscheidet sich vom Funktionswert oder die Funktion ist an diesem Punkt nicht definiert. Wenn a der Punkt der entfernbaren Diskontinuität der Funktion f(x) ist, dann:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x), \quad \mbox{ Aber }\quad \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne f(a) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Als Beispiel zeigen wir die Absolutwertfunktion aus dem Vorzeichen x. Wir wollen wissen, ob die Funktion im Punkt a = 0 stetig ist. Der Graph folgt:

Zeichne die Funktion |sgn(x)|

Wir sehen, dass die Funktion fast vollständig stetig ist, nur am Punkt Null gibt es eine Lücke, weil der Funktionswert hier Null und nicht Eins ist. Dennoch sind die Grenzwerte auf der linken und rechten Seite an diesem Punkt gleich eins. Diese Unstetigkeit wird als entfernbar bezeichnet, weil wir durch einfache Neudefinition dieses einen Punktes eine kontinuierliche Funktion erhalten. Dieser Unstetigkeitspunkt ist also leicht entfernbar.

Ein Unstetigkeitspunkt der ersten Art

Der Unstetigkeitspunkt erster Art heißt a, an dem beide einseitigen Grenzwerte existieren, die ebenfalls endlich, aber nicht gleich sind. Definition:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Wir wollen diesen Unstetigkeitspunkt mit einer einfachen Funktion f(x) = sgn(x) veranschaulichen:

Grafische Darstellung der Funktion sgn(x)

Auch hier sehen wir, dass die Funktion am Punkt a = 0 unstetig ist. Dabei ist der Grenzwert auf der linken Seite gleich −1 und der Grenzwert auf der rechten Seite ist gleich 1:

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-} \mbox{sgn}(x) &=& -1 \lim_{x\rightarrow0^+} \mbox{sgn}(x) &=& 1 \end{eqnarray}

Die Grenzwerte auf der linken und rechten Seite sind nicht gleich, aber sie sind eigen (endlich). Es handelt sich also um eine Unstetigkeitsstelle erster Art.

Für diese Unstetigkeitsstelle definieren wir auch den Begriff des Funktionssprungs an dieser Stelle. Es handelt sich um die Differenz dieser Grenzwerte, der Sprung s der Funktion f am Punkt a ist also der Wert:

$$ s = \lim_{x\rightarrow0^+} f(x) - \lim_{x\rightarrow0^-} f(x) $$

Ein Unstetigkeitspunkt der zweiten Art

Als Unstetigkeitsstelle zweiter Art bezeichnen wir einen Punkt, der mindestens einen nicht korrekten (unendlichen) einseitigen Grenzwert hat, oder wenn mindestens ein Grenzwert nicht existiert. Als Beispiel zeigen wir die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$. Der Unstetigkeitspunkt liegt im Punkt Null:

Zeichne die Funktion f(x)=\frac{1}{x}

Der linke Grenzwert am Punkt Null ist minus unendlich und der rechte Grenzwert am Punkt Null ist plus unendlich. Beide Grenzwerte sind nicht proprietär, es handelt sich also um eine Unstetigkeit der zweiten Art. Diese Unstetigkeit kann nicht auf einfache Weise beseitigt werden.

Kontinuität auf dem Intervall

Wir haben bereits eine definierte Stetigkeit in einem Punkt, aber wir haben keine definierte Stetigkeit auf einem Intervall. Also: Eine Funktion ist auf einem Intervall I stetig, wenn sie an jedem Punkt dieses Intervalls stetig ist. Es ist wichtig, sorgfältig zwischen einem offenen und einem geschlossenen Intervall zu unterscheiden. Wenn wir auf beiden Seiten ein offenes Intervall haben, muss die Funktion an den Extrempunkten nicht stetig sein - einfach nach dem Prinzip, dass ein offenes Intervall keinen Extrempunkt haben muss. Wenn wir jedoch ein geschlossenes Intervall haben, muss die Funktion an diesen Extrempunkten links oder rechts stetig sein.

Eine Signumfunktion haben wir schon lange nicht mehr gehabt. Nehmen wir also eine Vorzeichenfunktion. Auf einem offenen Intervall (0, ∞) ist die Funktion stetig. Die Vorzeichenfunktion hat zwar einen Unstetigkeitspunkt bei Null, aber die Offenheit des Intervalls macht Null von der Prüfung ausgenommen. Auf dem Intervall <0, ∞) ist die Funktion nicht mehr stetig, da sie im Punkt 0 nicht rechtsstetig ist.

Und warum ist sie nicht rechtsstetig? Weil der Grenzwert von rechts gleich eins ist, der Funktionswert aber gleich null. Die Werte sind nicht gleich, also ist die Funktion an diesem Punkt von rechts nicht stetig.

Wir nennen eine Funktion stückweise stetig, wenn sie eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen der ersten Art (oder eine entfernbare Unstetigkeit) enthält. Enthält sie also unendlich viele Unstetigkeitsstellen, ist sie nicht stückweise stetig; dies ist zu beachten.

In der Praxis findet man die Stetigkeit einer Funktion, indem man die Ableitung der Funktion verwendet. Eine Funktion, die an einem Punkt ableitbar ist, ist auch an diesem Punkt stetig.