Fortgeschrittene Beispiele zu Ableitungen

Einige Beispiele für komplexere Ableitungen als grundlegende Formeln. Wenn Sie die Definition einer Ableitung erklärt haben möchten, gehen Sie zum Artikel Ableitung einer Funktion.

Erstes Beispiel

Beginnen wir mit etwas, das noch nicht allzu schwierig ist.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Aus den Funktionsableitungsmustern wissen wir, dass die Ableitung der Funktion e^x wiederum e^x ist. Leider können wir dieses einfache Verfahren in diesem Beispiel nicht direkt anwenden, da der Exponent nicht nur x, sondern auch −x enthält, so dass wir die Funktion als zusammengesetzte Funktion behandeln müssen. Dennoch müssen wir sie im ersten Schritt mit Hilfe der Produktformel zerlegen.

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Wir leiten das linke Polynom mit der klassischen Formel ab und lassen den Rest unverändert:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Nun müssen wir die letzte Funktion ableiten. Wie wir bereits besprochen haben, handelt es sich um eine zusammengesetzte Funktion, also müssen wir sie nach der Regel für zusammengesetzte Funktionen ableiten:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Die Ableitung unserer Funktion würde also so aussehen:

$$(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$$

Der Ausdruck e^−x bleibt gleich, denn die Ableitung von e^x ist wiederum e^x, und im ersten Schritt der Formel leiten wir die äußere Funktion ab und lassen die innere Funktion unteraktiviert. Im zweiten Schritt multiplizieren wir unser Zwischenergebnis mit der Ableitung des Funktionsarguments, also der Funktion −x. Die Ableitung der Funktion −x ist −1. Nun setzen wir unser Ergebnis einfach in den vorherigen Ausdruck ein:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Das zweite Beispiel

Wir geben das zweite Beispiel ein:

$$f(x)=\frac{\ln(\cos x)}{\tan x}$$

Hier haben wir einen Bruch, mit einer Funktion im Zähler und einer anderen Funktion im Nenner. Im ersten Schritt leiten wir also nach der Formel für die Division ab. Nachdem wir die Formel angewendet haben, erhalten wir:

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot(\tan x)^\prime}{\tan^2 x}$$

Vom Ende her betrachtet, leiten wir zuerst den Tangens ab, da wir ihn einfach durch die Grundformel ableiten können. Es ist wahr, dass

$$(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}.$$

Nach der Anwendung dieser Formel im Zähler des Bruches erhalten wir

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}$$

Nun müssen wir den Logarithmus ableiten. Leider haben wir eine weitere verschachtelte Funktion innerhalb des Logarithmus, so dass wir eine zusammengesetzte Funktion erhalten und den Logarithmus auf kompliziertere Weise als zusammengesetzte Funktion ableiten müssen. Die Ableitung des Logarithmus selbst ist 1/x, wobei wir das Argument des Logarithmus, d. h. den Kosinus, nach x setzen. Dann müssen wir noch mit der Ableitung des Arguments multiplizieren, also mit der Ableitung des Kosinus. Die Ableitung des Logarithmus sieht also wie folgt aus:

$$(\ln(\cos x))^\prime=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)^\prime=-\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Wir haben einen hübschen Bruch erhalten. Wenn du dich gut an die Goniometrie erinnerst, weißt du, dass dieser Bruch gleich dem Tangens ist. Wir können also schreiben, dass die ganze Sache gleich minus dem Tangens ist:

$$(\ln(\cos x))^\prime=-\tan x$$

Wir setzen das in das vorherige Ergebnis ein:

$$=\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=\frac{-\tan x\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=$$

Wir haben das Doppelte des Tangens im Zähler, also können wir ihn einfach zum Quadrat faktorisieren. Wir können den Logarithmus in den Zähler des nächsten Bruches verschieben.

$$=\frac{-\tan^2 x-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=$$

Jetzt können wir den Zähler teilen und erhalten zwei Brüche

$$=-\frac{\tan^2x}{\tan^2x}-\frac{\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2x}=$$

Im ersten Bruch ist der Zähler gleich dem Nenner, also erhalten wir eine Eins. Im zweiten Bruch können wir den Bruch im Zähler loswerden, indem wir den Bruch mit dem Ausdruck cos²x erweitern.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\cdot\tan^2x}=$$

Wir können nun den Tangens zum Quotienten sin(x)/cos(x) erweitern. Aber da wir den Tangens zum Quadrat haben, erhalten wir auch den Zähler und den Nenner zum Quadrat im Bruch. Dann können wir sofort cos²x abkürzen.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=-\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}-1.$$

Dies ist das Endergebnis der Ableitung.

Das dritte Beispiel

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

$$f(x)=x^{(x^{\frac12})}.$$

Falls Sie es nicht deutlich sehen können - es sind alles Exponenten, also "x zum Quadrat". Im ersten Schritt nehmen wir zunächst eine Anpassung gemäß der Formel vor:

$$x=e^{\ln x}$$

Verwenden Sie diese Formel, um die erste x in unserem Beispiel zu zerlegen:

$$f(x)=(e^{\ln x})^{x^{\frac12}}$$

Nun wenden wir die Formel für das Arbeiten mit Potenzen an:

$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$

Wir entfernen die Klammern und setzen das Produkt aus dem höchsten Exponenten mit dem Logarithmus ein:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}$$

Jetzt haben wir eine Funktion in einer Form, die sich leichter ableiten lässt. Dies ist eine zusammengesetzte Funktion und wir werden sie als solche ableiten. Die erste Funktion ist e^x, wobei wir den gesamten Exponenten nach x setzen und die zweite Funktion im Exponenten steht. Durch Zerlegung erhalten wir also:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime$$

Wir werden die Klammer als Produkt ableiten, also wenden wir die Formel für das Produkt an.

$$(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime=(\ln x)^\prime\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Die Ableitung des Logarithmus ist 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Nun leiten wir den zweiten Ausdruck ab, indem wir die klassische Formel für die Ableitung von Potenzfunktionen verwenden. Sie gilt also:

$$\left(x^{\frac12}\right)^\prime=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{x^{-\frac12}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Wir setzen dieses Ergebnis in unsere Berechnung ein:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Wir können das erste Produkt noch modifizieren, wiederum mit Hilfe von Formeln, die mit Potenzen arbeiten:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12}=x^{-1}\cdot x^{\frac12}=x^{-1+\frac12}=x^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Wir schreiben den vorherigen Ausdruck mit Hilfe der soeben durchgeführten Berechnung um:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Schließlich wandeln wir den Logarithmus in den Zähler des Bruchs um:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Wir können den ersten Bruch um zwei erweitern und dann die Brüche addieren:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Jetzt können wir zur gesamten Ableitung zurückkehren:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Wir ersetzen e^{ln x} durch x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

So erhalten wir das Endergebnis.