Einführende Beispiele zu Ableitungen

In diesem Artikel werden wir zunächst einige nützliche Formeln für die Arbeit mit Ableitungen zeigen und dann versuchen, die Ableitungen einiger Funktionen zu lösen - sowohl einfache als auch komplexe. Wenn Sie nicht nach gelösten Beispielen suchen, sondern die Definition einer Ableitung erklärt haben möchten, lesen Sie den Artikel Ableitungen einer Funktion.

Ableitung von Polynomen

Zunächst werden wir einige Formeln erwähnen, die wir benötigen, um die Ableitung einer Funktion in Polynomform zu bestimmen. Auf der linken Seite steht die elementare Funktion, die wir ableiten wollen, und auf der rechten Seite die Funktion, die sich nach der Ableitung ergibt. Zur Erinnerung: c ist eine Konstante (die erste Zeile ist also eine konstante Funktion) und wir leiten von x ab.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&c\cdot x^{c-1} \end{eqnarray}$$

Einige konkrete Beispiele:

$$f(x)=5$$

Dies ist eine konstante Funktion, wir wenden also die erste Formel an und erhalten:

$$f^\prime(x)=0.$$

Dielineare Funktion f(x) = x hat eine Ableitung gemäß der zweiten Formel.

$$f^\prime(x)=1,$$

Hier gibt es nichts weiter zu untersuchen. Versuchen wir also, die Funktion abzuleiten

$$f(x)=x^5.$$

Wir wenden die letzte Formel an, wobei wir nach c den Exponenten einsetzen, also c = 5.

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Die Formel würde auch für einen negativen Exponenten funktionieren, wenn wir also die Funktion zderivieren wollen

$$f(x)=x^{-7},$$

erhalten wir:

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Für weitere Spiele benötigen wir Formeln für die Addition und Multiplikation von Funktionen. Und wenn wir aus der zderivierten Funktion die ursprüngliche Funktion zurückgewinnen wollten, würden wir Integrale verwenden.

Wir werden die Integrale benutzen, um die Ableitung der Addition zu erhalten.

Wenn wir die Ableitungen einer Funktion berechnen wollen, die einige Terme in der Summe enthält, berechnen wir einfach die Ableitungen der inneren Terme und addieren die Zwischenergebnisse. Wir schreiben das so:

$$(f_1(x)+f_2(x))^\prime=f_1^\prime(x)+f_2^\prime(x)$$

Als einfaches Beispiel betrachten wir die Funktion f(x) = x + 5. Die Ableitung dieser Funktion wäre:

$$f^\prime(x)=x^\prime+5^\prime=1+0=1.$$

Wir haben die Funktion in zwei Funktionen zerlegt, wie folgt:

$$\begin{eqnarray} f_1(x)&=&x\\ f_2(x)&=&5 \end{eqnarray}$$

und wir haben sie einfach in die Formel eingesetzt. Das heißt, wir haben die Ableitungen der Funktion f₁ und f₂ berechnet und die Ergebnisse addiert. Dies funktioniert genauso bei der Subtraktion. Ein etwas komplizierteres Beispiel:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Auch hier leiten wir einfach die drei Terme ab und lassen sie in der Summe stehen:

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime+x^\prime-8^\prime=3x^2+1+0$$

Ableitung des Produkts

Leider ist das Produkt nicht mehr so einfach zu lösen wie die gewöhnliche Addition, wir müssen eine etwas komplizierte Formel für das Produkt zweier Funktionen verwenden:

$$(f(x)\cdot g(x))^\prime=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime (x)$$

Eine triviale Funktion, die die Multiplikation beinhaltet, ist zum Beispiel die Funktion

$$s(x)=5\cdot x^2$$

In der Formel für die Multiplikation haben wir zwei Funktionen, die wir aus dieser einen Funktion s(x) wie folgt erhalten: f(x) = 5 und g(x) = x². Nun addieren wir sie einfach ein wenig:

$$s^\prime(x)=5^\prime\cdot x^2+5\cdot (x^2)^\prime=0\cdot x^2+5\cdot2x=10x$$

Wir sehen, dass wir, wenn wir eine Funktion der Form

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

haben, dann erhalten wir nach dem Kollabieren

$$(a\cdot x^c)^\prime=a\cdot (x^c)^\prime=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Wir können diese Regel weiter verallgemeinern und eine beliebige Funktion anstelle des Polynoms einsetzen. Also für jede Funktion f(x)

$$(a\cdot f(x))^\prime=a\cdot f^\prime(x).$$

Versuchen wir also als Beispiel, diese Funktion abzuleiten:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Zu Beginn der Ableitung wenden wir zunächst die Summenregel an:

$$f^\prime(x)=(5x^3)^\prime-(7x^2)^\prime+10^\prime=$$

Wir zerlegen die Terme im Produkt nach der zuletzt genannten Formel:

$$=5(x^3)^\prime-7(x^2)^\prime+10^\prime=$$

Wir leiten die Ausdrücke in den Klammern nach der Ableitungsregel x^c ab.

$$=5\cdot3x^2-7\cdot2x+0=$$

Schließlich multiplizieren wir einfach die Koeffizienten:

$$=15x^2-14x.$$

Ableitung des Quotienten

Die Ableitung des Quotienten ist wieder etwas komplizierter als die Ableitung des Produkts. Formel:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}$$

Aber ansonsten ist das Verfahren analog zu dem des Produkts. Daher nun ein Beispiel:

$$\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)^\prime=$$

Der Zähler des Bruches steht für die Funktion f(x), der Nenner für die Funktion g(x). Und jetzt setzen wir das einfach in die Formel ein:

$$=\frac{(x^2+3x+1)^\prime(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1)^\prime}{(2x-1)^2}=$$

Im Nenner haben wir den Nenner zum Quadrat und im Zähler haben wir den Bruch, der nach der Formel zerlegt wird. Jetzt kombinieren wir die erste und die letzte Klammer. Auch hier haben wir wieder die Summenregel, ich überspringe sie und schreibe das Ergebnis direkt:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1)^2}=\ldots$$

Wir können diesen Ausdruck noch irgendwie vereinfachen, aber das ist in diesem Kapitel nicht wichtig.

Ableitung von elementaren Funktionen

Wir geben nun, ohne weitere Ableitung, einige Formeln zur Berechnung der Ableitung von gewöhnlichen Funktionen an.

Potenzen und Logarithmen:

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_ax)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln a};\quad a>0\wedge a\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Beachten Sie, dass die Ableitung der Funktion e^x wiederum e^x ist, kein Tippfehler, sondern eine nette Eigenschaft, die die Grundlage für viele, viele Witze geworden ist.

Goniometrische Funktionen:

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan} x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x} \end{eqnarray}$$

Ein einfaches Beispiel:

$$(3\sin x + 2\ln x)^\prime=$$

Die beiden Ausdrücke sind in der Summe, also müssen wir nur die Ableitungen der beiden Ausdrücke addieren. Jeder Ausdruck enthält am Anfang eine Konstante, die die nachfolgende Funktion multipliziert - wir wissen, dass wir an dieser Stelle nur die Funktion ableiten und die Konstante nicht ändern müssen. Wir tun dies:

$$=3(\sin x)^\prime+2(\ln x)^\prime=$$

Es handelt sich bereits um Tabellenwerte:

$$=3\cos x+2\frac1x=3\cos x+\frac2x.$$

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Aus den Eigenschaften der Ableitung und ihrer Anwendung zur Untersuchung des Verlaufs einer Funktion wissen wir, dass wir unter bestimmten Bedingungen zwei Funktionen haben können, die ableitbar sind, und wenn wir sie wieder zusammensetzen, erhalten wir eine Funktion, die ableitbar ist. Wir werden zeigen, wie man die Ableitungen einer solchen zusammengesetzten Funktion berechnet.

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist wahrscheinlich das schwierigste Konzept dieser grundlegenden Ableitungen. Wir können Funktionen als solche zusammensetzen. Mehr darüber, was eine zusammengesetzte Funktion ist, können Sie in den Artikeln Was ist eine Funktion oder Der Definitionsbereich einer Funktion nachlesen. Grob gesagt bedeutet dies, dass wir eine andere Funktion als Argument an eine Funktion übergeben. Eine symbolische Notation würde wie folgt aussehen: h(g(x)). Eine bestimmte Funktion könnte zum Beispiel sein

$$f(x)=\sin(2x).$$

Welche zwei Funktionen gibt es? Sinus und dann die verschachtelte Funktion 2x. Wir können nicht einfach die allgemeine Formel sin(x) auf diese Funktion f übertragen, weil sie darauf angewiesen ist, x, nicht 2x, als Argument zu erhalten. Die Berechnung der Ableitung der zusammengesetzten Funktion läuft also folgendermaßen ab:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Das heißt, wir leiten die äußere Funktion ab und lassen sie das gleiche Argument nehmen, und multiplizieren das mit der Ableitung der inneren Funktion. Im Fall des Sinus-Beispiels wäre das Folgende wahr:

$$(\sin(2x))^\prime=\sin^\prime(2x)\cdot(2x)^\prime=$$

Das Komma nur beim Sinus bedeutet, dass wir nur den Sinus selbst ableiten, wir leiten nicht den ganzen Ausdruck ab, wie im Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung. Die Ableitung des Sinus ist also der Kosinus, also schreiben wir anstelle des Sinus einfach den Kosinus. Und die Ableitung von 2x ist 2:

$$=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x).$$

Ein weiteres Beispiel, das etwas komplizierter ist.

$$(\cos(\ln x^2))^\prime=$$

Hier haben wir eine weitere verschachtelte Funktion. Die äußere Funktion ist der Kosinus, die mittlere ist der Logarithmus und die innerste ist die Potenz x². Aber wir folgen wieder der Formel. Lasst uns das aufschlüsseln:

$$=\cos^\prime(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Wir leiten nur den Kosinus ab, wir lassen das Argument des Kosinus so wie es ist, d.h. wir lassen den ganzen Logarithmus drin. Dann multiplizieren wir diesen ganzen Ausdruck mit der Ableitung des Arguments, d. h. der Ableitung des Logarithmus. Leiten Sie den Kosinus ab und Sie haben:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Der Ausdruck auf der rechten Seite hat sich nicht verändert, wir haben nur den Kosinus abgeleitet. Nun wollen wir die Ableitung des Logarithmus vornehmen. Auch hier handelt es sich um eine zusammengesetzte Funktion, also wenden wir die Formel rekursiv auf die zusammengesetzte Funktion an. Wir kopieren einfach den linken Ausdruck:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\ln^\prime x^2\cdot(x^2)^\prime=$$

Wir leiten den Logarithmus ab und lassen das Argument gleich, d.h. x². Aber wir multiplizieren immer noch den ganzen Ausdruck mit der Ableitung des Arguments, d.h. der Ableitung von nur x². Die Ableitung des Logarithmus ist der Bruch 1/x, wobei wir unser Argument x² für x ersetzen und die Ableitungen von x² sind 2x.

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{1}{x^2}2x=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{2}{x}=-\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}.$$