Grenzwert einer Funktion
Kapitoly: Grenzwert einer Funktion, Nicht korrekter Grenzwert im richtigen Punkt, Der korrekte Grenzwert am nicht korrekten Punkt, Ein Eigenlimit an einem Eigenpunkt, Einseitiger Grenzwert, Die L'Hospitalsche Regel
Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe in der mathematischen Analyse. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes und ermöglicht es uns zum Beispiel, die Stetigkeit einer Funktion zu definieren. Der Grenzwert einer Funktion hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Punkten zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.
Die Umgebung eines Punktes
Wir beginnen mit der Definition der Epsilon-Nachbarschaft eines Punktes in der Menge der reellen Zahlen. Sei r ∈ ℝ. Dann sagen wir, dass die Epsilon-Nachbarschaft dieses Punktes für ε > 0 das offene Intervall (r−ε, r+ε) ist. Die reduzierte Epsilon-Nachbarschaft ist die gleiche, nur dass sie den Punkt r nicht enthält. Die reduzierte Nachbarschaft ist (r−ε, r) ∪ (r, r+ε). Wir bezeichnen die Epsilon-Nachbarschaft des Punktes a mit U(a, ε) und die reduzierte Nachbarschaft mit R(a, ε).
Betrachten wir als Beispiel die Zahl fünf und ihre 2-Nachbarschaft. So berechnen wir U(5, 2), das das Intervall (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7) ist. Die reduzierte Nachbarschaft wäre R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Die gleiche Nachbarschaft, nur ohne den Punkt fünf. Grafisch dargestellt durch 2- die Nachbarschaft des Punktes 5:
Die reduzierte 2-Nachbarschaft würde genauso aussehen, nur dass der blaue Punkt 5 nicht enthalten wäre.
Großer Punkt
Als nächstes müssen wir die Definition eines Hauptpunktes einer Menge kennen. Ein Element a ∈ ℝ ist ein Massenpunkt einer Menge M ⊆ ℝ, wenn gilt, dass es in jeder noch so kleinen reduzierten Nachbarschaft einen Punkt der Menge M gibt. Genauer gesagt:
$$\forall \epsilon > 0: R(a, \epsilon) \cap M \ne \emptyset$$
Beispiele: jede reelle Zahl ist ein Massenpunkt einer Menge von reellen Zahlen. Wenn wir die Zahl 10 wählen, können wir immer eine reelle Zahl in jeder reduzierten Nachbarschaft dieses Punktes finden. Für $\epsilon=\frac{1}{100}$ erhalten wir die reduzierte Nachbarschaft von (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). In beiden Intervallen gibt es eine reelle Zahl - genauer gesagt, es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Egal wie klein wir also ε nehmen, wir erhalten immer Intervalle, die unendlich viele reelle Zahlen enthalten.
Wenn wir die Menge der natürlichen Zahlen als M wählen würden, würden wir keinen Schüttpunkt finden. Zum Beispiel ist die Zahl $\frac12$ kein Massenpunkt, denn für $\epsilon=\frac{1}{10}$ erhalten wir die Intervalle (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), von denen keines eine natürliche Zahl enthält.
Motivation für Grenzwerte
Wir beginnen mit der einfachsten Definition - einem Eigenlimit an einem Eigenpunkt. Sehen wir uns zunächst an, was wir eigentlich berechnen wollen. Betrachten wir den folgenden Graphen der Signum-Funktion:
Nehmen wir den Punkt x1 = 3, so ist der Funktionswert an diesem Punkt 1. Das gilt auch für $\mbox{sgn}(3)=1$. Doch für alle "nahen" Nachbarpunkte hat die Funktion den Funktionswert 1, zum Beispiel $\mbox{sgn}(2,5)=1$ oder $\mbox{sgn}(3,5)$. Nähern wir uns dem Punkt x1 = 3 von links oder rechts, so sind die Funktionswerte immer gleich eins.
Nimmt man aber den Punkt x2 = 0, dann gilt $\mbox{sgn}(0) = 0$, während alle umliegenden Punkte einen anderen Funktionswert haben! Zum Beispiel $\mbox{sgn}(-\frac12)=-1$ oder $\mbox{sgn}(\frac12)=1$. Die Funktionswerte von rechts nähern sich dem Wert 1, während die Funktionswerte von links sich dem Wert −1 nähern. Schließlich erhalten wir am Punkt x2 = 0 den Funktionswert 0. Verrat. Diese Werte, denen sich die Funktion in dem Punkt nähert, werden dann als die Grenzen der Funktion in dem Punkt bezeichnet.
Definition der Eigengrenzen in einem Punkt
Sei f eine Funktion, x0 ∈ ℝ ein Hauptpunkt des Definitionsbereichs der Funktion f. Dann sagen wir, dass L ∈ ℝ der Grenzwert der Funktion f am Punkt x0 ist, wenn
$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$
Was bedeutet nun diese Definition? Ein echter Punkt bedeutet in diesem Fall, dass der Punkt eine reelle Zahl ist. Später werden wir uns mit Grenzwerten an Nicht-Eigenpunkten befassen, was Unendlichkeit bedeutet. Versuchen wir nun, diesen Grenzwert zu berechnen:
$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = ?. $$
Für so einfache Funktionen ist der Grenzwert der Funktion an einem Punkt x0 gleich dem Funktionswert an diesem Punkt: f(x0) Später werden wir genau definieren, was "einfache Funktion" bedeutet. Tragen wir nun alles in die Abbildung ein:
Die schwarze Linie stellt den Graphen der Funktion $f(x)=\frac{x}{3}$ dar, der rote Punkt x0 stellt den Punkt dar, an dem wir den Grenzwert suchen, und der grüne Punkt L stellt den resultierenden Grenzwert dar. Beachten Sie, dass wir den Grenzwert auf der Achse y auftragen.
Wir gehen wie unten definiert vor. Am ersten Punkt der Definition ist $(\forall \epsilon > 0)$ und später wird ε in |f(x)−L|<ε verwendet - dies ist eine mathematische Notation, so dass wir wollen, dass alle f(x) weniger als ε von L entfernt sind. Wir suchen also ε- die Nachbarschaft des Punktes L auf der Achse y. Gemäß der Definition können wir jeden ε > 0 wählen, wir wählen zum Beispiel $\epsilon = \frac{3}{10}$. Wir finden die Punkte auf der Achse y, die nur ε vom Punkt L entfernt sind:
Alle Punkte auf der Achse y, die zwischen diesen grünen Linien liegen, befinden sich in ε- rund um den Punkt L. Dies sind die Punkte, von denen die Definition spricht.
Die Definition wird mit dem Ausdruck $(\exists\delta>0)$ fortgesetzt, der in dem Ausdruck 0<|x − x0|<δ weiter verwendet wird. Wir sagen, dass eine Differenz x − x0 kleiner als δ sein soll. Da x, x0 auf der Achse x liegt, stellen wir auch den Wert von δ auf der Achse x dar. Dabei sagt uns der Ausdruck 0<|x − x0|<δ wiederum, dass wir alle x, die kleiner als δ, aber auch größer als Null sind, von x0 nehmen sollen, d.h. x ≠ x0 Das bedeutet, dass wir mit dieser Schreibweise die reduzierte δ-Umgebung des Punktes x0 erhalten. Wir können also die Definition des Grenzwertes mit Hilfe der Nachbarschaft von Punkten äquivalent umformulieren:
$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(x\in R(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in U(L, \epsilon))$$
Wir kehren zur vorherigen Definition zurück und zeichnen die Figur weiter: Um dies zu veranschaulichen, benötigen wir den nächsten Teil der Definition:
$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$
Für alle x der reduzierten δ Nachbarschaft des Punktes x0 muss also Folgendes gelten... irgendeine Bedingung. Fügen wir die reduzierte δ-Umgebung des Punktes x0, zum Beispiel für $\delta=\frac{3}{2}$, dem Bild hinzu:
Alle x, die zwischen den rot gestrichelten Linien liegen, gehören zur δ-Umgebung x0, mit Ausnahme des Punktes x0 selbst. Wir betrachten wieder die vorherige Bedingung:
$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$
Für alle x aus der reduzierten δ -Umgebung des Punktes x0 muss gelten, dass alle Funktionswerte von f(x) in der ε-Umgebung des Punktes L liegen. Wir nehmen also alle x aus der reduzierten δ-Umgebung des Punktes x0 und berechnen die Funktionswerte. Diese funktionalen Werte werden in der folgenden Abbildung durch die blaue Linie dargestellt:
Der Punkt x0 liegt nicht in der reduzierten Umgebung, daher der Kreis an diesem Punkt. Die Definition besagt, dass für alle diese blauen Punkte gelten muss, dass sie sich in der ε-Umgebung des Punktes L befinden. Um es in den Farben der Abbildung auszudrücken: alle blauen Punkte müssen sich zwischen den grünen Linien befinden, die die ε-Umgebung darstellen. Ist das gültig?
Natürlich nicht, z.B. für $x=\frac{16}{10}$ erhalten wir offensichtlich einige blaue Punkte, die nicht zwischen den grünen Linien liegen, d.h. nicht in der ε-Umgebung von L.
Aber das macht nichts, die Definition sagt uns, dass es für jede ε -Umgebung des Punktes L eine δ-Nachbarschaft geben muss, so dass ... der Rest der Bedingung. Das heißt, es reicht uns, wenn es eine solche δ-Umgebung gibt. $\delta=\frac{3}{2}$ Offensichtlich war dies keine gute Wahl, aber wir könnten es mit einer anderen δ versuchen, zum Beispiel $\delta=\frac12$. Das Bild würde sich so verändern:
Wieder schauen wir, ob alle Funktionswerte für alle x des reduzierten δ-Umgebungspunktes x0 im ε-Umgebungspunkt L liegen. Kurz gesagt, wenn alle blauen Punkte zwischen den roten Linien liegen. Ja, das sind sie jetzt, hurra.
Bedeutet das, dass L der Grenzwert der Funktion im Punkt x0 ist? Nicht notwendigerweise, denn die Definition besagt, dass $(\forall \epsilon > 0) \ldots$. Wir haben die Definition bisher für einen bestimmten ε überprüft, es gibt noch ... unendlich viele mehr zu tun.
Mit anderen Worten: Damit $\lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1$ wirklich gilt, müssten wir für jede ε-Umgebung eine δ-Umgebung finden, in der die vorherige Bedingung gilt. Aus der Abbildung können wir ersehen, dass wir immer eine solche δ-Umgebung finden können, zum Beispiel wenn wir ε auf $\epsilon=\frac{1}{10}$ reduzieren, dann können wir δ auf $\delta=\frac{2}{10}$ reduzieren und es wird funktionieren:
Egal wie klein wir ε nehmen, wir müssen immer δ so finden, dass wir die Funktionswerte in die ε-Umgebung der Grenzwerte der Funktion L bekommen können.
Beweis des Eigenlimits am Eigenpunkt
Versuchen wir nun, den obigen Grenzwert tatsächlich zu beweisen. Aus der Abbildung wissen wir bereits, dass wir wahrscheinlich
$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1, $$
Nun wollen wir versuchen, ihn mathematisch zu beweisen. Aus der Abbildung können wir ableiten, dass es funktionieren könnte, wenn wir für δ immer den gleichen Wert wie für ε nehmen. Setzen wir also δ = ε ein. Jetzt müssen wir beweisen.
$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{ Für alle }\quad x \in (x_0-\delta, \delta)\cup(x_0, x_0+\delta) $$
Da wir δ = ε eingesetzt haben, ändern wir alle δ in ε:
$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{ Für alle }\quad x \in (x_0-\epsilon, \epsilon)\cup(x_0, x_0+\epsilon) $$
Nach L setzen wir 1, und nach x0 setzen wir 3:
$$ 1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon, \quad \mbox{ Für alle }\quad x \in (3-\epsilon, \epsilon)\cup(3, 3+\epsilon) $$
Nun müssen wir alle Ungleichungen beweisen. Da die Funktion $\frac{x}{3}$ steigend ist, brauchen wir nur die Extrempunkte 3−ε und 3+ε zu überprüfen. Beginnend mit 3−ε - werden wir den Wert ε − 3 in die Funktion $\frac{x}{3}$ einsetzen und zeigen, dass dieser Wert immer die Ungleichung 1 − ε < f(x) < 1 + ε erfüllt:
\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{3-\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &1-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ -\epsilon\ &-\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\ \end{eqnarray}
Dasselbe gilt für 3+ε:
\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{3+\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &1+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ -\epsilon\ < &\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\ \end{eqnarray}
Falsche Grenze
Skizzieren wir nun, was passieren würde, wenn wir dächten, dass der Grenzwert der Funktion für x, die sich der Drei nähert, die Hälfte wäre. Wir würden eine kleine Nachbarschaft von epsilon wählen:
Und an diesem Punkt können wir keine solche Delta-Nachbarschaft des Punktes x0 mehr finden, dessen Funktionswerte alle zwischen diese grünen Linien passen würden. Wir sehen, dass für die gewählte δ -Nachbarschaft, alle blauen Punkte außerhalb der grünen Linien liegen. Wenn wir die δ-Nachbarschaft vergrößern, erhöhen wir nur die Anzahl der blauen Punkte, die nicht zwischen die grünen Linien passen.
Limita signum
Signum ist eine nette Funktion, die Ihnen wahrscheinlich den Kopf verdrehen wird. Das Diagramm folgt:
Das Diagramm ist nicht ganz klar, daher eine verbale Beschreibung: Wenn x negativ ist, dann ist signum minus eins, wenn es positiv ist, dann ist es plus eins, und wenn x null ist, dann ist signum auch null. Wir modifizieren den Graphen, indem wir den Absolutwert von f(x) = |sgn(x)| verwenden, um sgn(0) = 0 zu erhalten, für die anderen Fälle sgn(x) = 1. Graph:
Die Frage ist, was ist der Grenzwert?
$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=?$$
Die Funktion ist im Punkt Null definiert und der Funktionswert ist ebenfalls gleich Null. Dies sagt jedoch nicht aus, dass der Grenzwert ebenfalls gleich Null ist. Der Grenzwert kann sich vom Funktionswert an diesem Punkt unterscheiden.
Die einzige Möglichkeit, den Grenzwert so zu wählen, dass die Definition richtig ist, besteht darin, den Grenzwert bei Eins zu wählen. Wir können uns auch mit Intuition helfen: Was ist der Funktionswert, wenn x sich von links der Null nähert? Er nähert sich ständig der Eins. Dass er schließlich auf Null springt, stört uns nicht. Ähnlich verhält es sich bei x, das sich von rechts der Null nähert.
$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=1$$
Wenn wir die Funktion in ihrer ursprünglichen Form belassen, d. h. f(x) = sgn(x), dann hat die Funktion bei Null keinen Grenzwert, sondern zwei verschiedene einseitige Grenzwerte. Von links nähert sich x dem Wert minus eins und von rechts nähert sie sich dem Wert plus eins. Sie können versuchen, dies per Definition zu beweisen.
Nicht existierende Grenzwerte
Wir werden noch ein paar Beispiele zeigen, bei denen es keine Grenzwerte gibt.
Das einfachste Beispiel für einen nicht existierenden Grenzwert ist die Berechnung des Grenzwerts an einem Punkt, der nicht der Scheitelpunkt von D(f) ist. Es gibt also keinen Grenzwert:
$$\lim_{x\rightarrow-1}\ln x$$
Graph:
Periodische Funktionen haben oft keinen Grenzwert im Unendlichen (gilt nicht für alle!). Typisch sind goniometrische Funktionen wie der Sinus. Der Graph folgt:
Der Grenzwert im Unendlichen existiert einfach nicht, der Wert von sin schwankt ständig zwischen eins und minus eins, so dass der Grenzwert nicht berechnet werden kann.