Der korrekte Grenzwert am nicht korrekten Punkt

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe in der mathematischen Analyse. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes und ermöglicht es uns zum Beispiel, die Stetigkeit einer Funktion zu definieren. Der Grenzwert einer Funktion hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Punkten zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Der korrekte Grenzwert an einem nicht korrekten Punkt

Die Situation ist ähnlich wie bei den Grenzwerten einer Folge. Wir suchen nach dem Grenzwert einer Funktion, wenn wir uns dem Unendlichen nähern. Der Grenzwert kann entweder richtig oder nicht richtig sein. Wir beginnen mit dem korrekten Grenzwert.

Sei ∞ der Scheitelpunkt der Funktion f. Dann ist L ∈ ℝ der Grenzwert der Funktion am Punkt ∞, wenn

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x > A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

und im Punkt −∞, wenn

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x < A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Was sagt uns die Definition? Wenn wir eine ε-Umgebung um unseren beabsichtigten Grenzwert L (d. h. auf der y-Achse) wählen, können wir immer einen Punkt A auf der x -Achse finden, so dass, wenn wir einen beliebigen Punkt x rechts von A, d. h. x>A, nehmen, |f(x)−L| < ε gilt, d. h., alle Funktionswerte werden weniger als ε vom Grenzwert L entfernt sein.

Betrachten Sie die Funktion f(x) = (2/x)+1. Graph:

Es ist zu erkennen, dass der Funktionswert von f(x) sich der Eins nähert, wenn der Wert von x sich der Unendlichkeit nähert. Wir wählen also L = 1. Nun beweisen wir, dass L = 1 tatsächlich der Grenzwert dieser Funktion bei plus unendlich ist. Zuerst probieren wir es aus. Wir wählen ein Epsilon, zum Beispiel $\epsilon=\frac12$. Nun versuchen wir, eine A ∈ ℝ zu finden, die so beschaffen ist, dass für alle x, die größer sind als A, der Funktionswert kleiner ist als ε, entfernt von L. Skizzieren wir dies in der Abbildung:

Dass der Funktionswert f(x) weniger weit von L entfernt ist als ε bedeutet, dass die Kurve, die den Graphen der Funktion beschreibt, zwischen diesen roten Linien liegt. Wir müssen nun die Grenze A auf der Achse x finden, ab der diese Bedingung erfüllt ist. Dies muss nicht notwendigerweise die kleinstmögliche Grenze sein, so dass wir zum Beispiel A = 6 wählen können.

Wir sehen, dass die Kurve, die den Graphen jenseits der Grenze A beschreibt, vollständig zwischen den roten Linien liegt, die den ε-Abstand von L markieren. Nun haben wir dies für eine bestimmte ε bewiesen, um zu beweisen, dass L = 1 tatsächlich die Grenze ist, müssen wir in der Lage sein, es für alle ε > 0 zu beweisen.

Nun müssen wir sehen, für welche A diese Beziehung gilt:

$$x > A \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

Nach Erreichen:

$$x > A \Rightarrow \left|\left(\frac{2}{x}+1\right) - 1\right| < \epsilon.$$

Wir können Einsen subtrahieren:

$$x > A \Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right| < \epsilon$$

Als Nächstes können wir annehmen, dass wir nur positive x nehmen (wir sind an Werten von x interessiert, die nahe an plus unendlich liegen), was uns erlaubt, den Absolutwert zu entfernen:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{x} < \epsilon$$

Wir multiplizieren x:

$$x > A \Rightarrow 2 < x\cdot\epsilon$$

Dividieren durch ε:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{\epsilon} < x$$

Durch Anpassung haben wir herausgefunden, dass x größer als 2/ε sein muss. Wenn wir also nach A eine Zahl wählen, die größer als 2/ε ist, dann finden wir die gesuchte Grenze.

Im vorherigen Experiment haben wir $\epsilon=\frac12$ gewählt, also sollten wir eine Zahl nach A wählen, die größer ist als $2/\frac12=4$. Wir haben A = 6 gewählt, was in Ordnung ist.