Die L'Hospitalsche Regel

Die L'Hospitalsche Regel (lies: Lopitalsche Regel) kann manchmal verwendet werden, um Grenzwerte in Form von Proportionen zu berechnen.

Definition

Wenn wir den Grenzwert einer Funktion in einem Punkt berechnen wollen, können wir unter bestimmten Umständen die Ableitungen zu Hilfe nehmen. Wir haben also eine Anteilsfunktion, d. h. wir haben die Funktionen f(x) und g(x) und suchen den Grenzwert von

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. $$

Wenn die Gleichungen f(x₀) = g(x₀) = 0 gelten und es einen Grenzwert gibt

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, $$

dann gilt die Beziehung:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Wenn der Grenzwert von $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ nicht existiert, dann folgt daraus nicht, dass auch der Grenzwert von $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ nicht existiert. Wenn es keinen Grenzwert mit Ableitungen gibt, müssen wir den ursprünglichen Grenzwert ohne Ableitungen auf andere Weise berechnen.

Beispiel

1. Berechnen Sie den Grenzwert

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} $$

   Können wir dieses Beispiel mit der L'Hospitalschen Regel lösen? Zunächst müssen wir prüfen, ob der Funktionswert der beiden Funktionen (die im Nenner des Bruchs und die im Zähler) an der Stelle x₀ = 3 gleich Null ist. Wir bezeichnen die Funktionen als f(x) = x² − 9 und g(x) = x² − x − 6. Dann:

   $$ \begin{eqnarray} f(3) &=& 3^2 - 9 = 0\\ g(3) &=& 3^2 - 3 - 6 = 0 \end{eqnarray} $$

   Die erste Bedingung ist erfüllt. Man beachte, dass man den Grenzwert nicht einfach berechnen kann, indem man die Zahl drei hinter x setzt, denn die gesamte Funktion ist an der Stelle x₀ = 3 unstetig oder hat dort überhaupt keinen Funktionswert (sie hat keinen Funktionswert, weil man durch Null dividieren müsste, um ihn zu erhalten). Nun können wir versuchen, die L'Hospitalsche Regel anzuwenden und die beiden Funktionen abzuleiten. Man beachte, dass wir nicht nach der Formel für den Quotienten ableiten, sondern die Funktion im Zähler und die Funktion im Nenner getrennt ableiten. Wir erhalten also:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\\ g'(x) &=& 2x - 1 \end{eqnarray} $$

   Anstelle des vorherigen Grenzwerts können wir also diesen Grenzwert lösen:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} $$

   Diese Funktion ist an der Stelle x₀ = 3 stetig, also können wir einfach den Wert von drei nach x einsetzen und den Funktionswert der gesamten Funktion berechnen:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac{2\cdot3}{2\cdot3-1}=\frac65 $$

   Wir können sehen, dass der Grenzwert dieser Funktion existiert, also existiert auch der Grenzwert von $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ und diese Grenzwerte sind gleich. Also:

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac65. $$

2. Berechne den Grenzwert

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} $$

   Wie ist die Situation bei x₀ = 0? Wiederum bezeichnen wir f(x) = x und g(x) = sin x. Es ist wahr, dass f(0) = 0 und g(0) = 0. Wir erhalten den Anteil $\frac00$, die Funktion ist an diesem Punkt unstetig. Wir können versuchen, die L'Hospitalsche Regel anzuwenden. Wir kombinieren die beiden Funktionen:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1\\ g'(x) &=& \cos x \end{eqnarray} $$

   Wir haben die Ableitung der Funktionen, versuchen wir, den Grenzwert zu berechnen

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x} $$

   Wie ist die Situation am Punkt x₀ = 0? Seit cos(0) = 1 erhalten wir den Bruch $\frac11=1$. Am Punkt x₀ = 0 ist die Funktion stetig, also gilt Folgendes

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}=\frac11=1. $$

   Da dieser Grenzwert existiert, gibt es einen Grenzwert $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}$ und diese Grenzwerte sind gleich. Wir erhalten

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} = 1 $$