Ableitung einer Funktion

Die Ableitung ist ein grundlegendes Konzept in der Differentialrechnung, sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung des Verlaufs einer Funktion, zum Beispiel, und ist einerseits bei Schülern verhasst, andererseits kann die Ableitung von einem richtig trainierten Affen berechnet werden. In diesem Artikel werden nur die Definition der Ableitung und die damit verbundenen Konzepte beschrieben und erklärt. Gelöste Beispiele finden Sie in den nebenstehenden Artikeln: einfache Beispiele zur Ableitung und komplexere Beispiele. Der umgekehrte Vorgang zur Ableitung ist die Integration.

Was ist Ableitung?

Bevor wir überhaupt zur Definition der Ableitung kommen, sollten wir darüber sprechen, was wir mit der Ableitung überhaupt berechnen und wofür sie anschließend gut sein kann.

Wenn wir eine Funktion ableiten, erhalten wir die Richtlinie einer Tangente. Das sind wahrscheinlich eine Menge schmutziger Wörter, also von Anfang an. Einfach ausgedrückt, ist eine Tangente eine Linie, die einen gegebenen Graphen in genau einem Punkt berührt. Das ist keine exakte Definition, das kannst du zum Beispiel bei Wikipedia nachlesen, aber es reicht in etwa aus. Schauen Sie sich nun die folgende Abbildung an:

Die schwarze Kurve ist der Graph der Funktion y = x². Die blaue Linie ist die Tangente an diese Funktion in dem rot markierten Punkt D = [1,1]. Der grün markierte Winkel α ist der Winkel, den die Tangente mit der Achse x - genauer gesagt mit der positiven Halbachse x- einschließt. Definieren wir nun den Begriff der Richttangente. Die Richtlinientangente in dieser Abbildung ist der Tangens des Winkels alpha. Der Tangens ist eine klassische goniometrische Funktion, mit der wir zum Beispiel die Winkel und Seitengrößen in einem Dreieck berechnen können. Die Tangens-Richtlinie ist also der Tangens des Winkels, den die gegebene Tangente mit der positiven Halbachse x bildet. Und wir erhalten diese Richtlinie einfach durch Ableitung.

Wir unterscheiden auch zwischen den Begriffen der Ableitung einer Funktion in einem Punkt und der Ableitung einer Funktion. Die Ableitung einer Funktion in einem Punkt ist einfach die Ableitung der Tangente in diesem Punkt. Die Ableitung einer Funktion ist dann eine andere Funktion, die eine Richtlinie für ein allgemeines Argument x vorgibt. Es folgt ein Beispiel.

Motivation

Mit Hilfe der Ableitung können wir also die Tangentenrichtwerte berechnen. Wozu kann das gut sein? Schauen Sie sich die folgende Abbildung an:

Die Abbildung zeigt wieder die Funktion y = x² und die vier markierten Tangens. Zwei grüne und zwei blaue. Beachten Sie, dass die Funktion y = x² auf dem Intervall (−∞,0) absteigend ist, während sie auf dem Intervall (0,∞) ansteigend ist. Aber was gilt auch für ihre Tangenten, oder den Winkel, den sie mit der positiven Halbachse bilden? Die blauen Tangenten, d. h. die Tangenten, die durch die Punkte des Intervalls verlaufen, in dem die Funktion zunimmt, bilden einen Winkel von weniger als 90 Grad mit der Achse. Die grünen Tangenten bilden einen Winkel mit der Achse, der größer als 90 Grad ist. Wie lässt sich dies auf die Tangentenrichtlinien übertragen?

Dazu müssen wir das Verhalten der Tangensfunktion kennen. Aus dem folgenden Diagramm lernen wir, dass der Wert des Tangens positiv ist, wenn der Winkel kleiner als 90 Grad ist (der blau unterlegte Teil); umgekehrt ist der Wert des Tangens negativ, wenn der Winkel größer als 90 Grad, aber kleiner als 180 Grad ist (d. h. kleiner als Pi Radiant). Welche Schlussfolgerung können wir also ziehen? Wenn die Richtlinie (zur Erinnerung: die Richtlinie ist nur der Tangens des Winkels) des Tangens an einem bestimmten Punkt positiv ist, dann ist die Funktion an diesem Punkt steigend; wenn sie negativ ist, dann ist sie fallend.

Definition

Bis zur eigentlichen Definition der Ableitung ist es noch ein weiter Weg. Und dazu brauchen wir den Grenzwert der Funktion. Wenn du dich nicht mit Grenzwerten auskennst, solltest du dich noch einmal damit befassen oder einfach nur die Formeln überfliegen, denn ein weiterer Chat ist wahrscheinlich nicht das Richtige für dich.

Bevor wir zur Tangentenrichtlinie selbst übergehen, halten wir bei der Sekantenrichtlinie an, die einfacher sein wird. Der Achsenabschnitt ist die Linie, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Versuchen wir nun herzuleiten, wie wir diese Richtlinie berechnen würden. Sehen Sie sich das Bild an:

Wir haben den Graphen der Funktion x² + 1 und den Schnittpunkt s, der den Graphen in zwei Punkten schneidet [0,5; 1,25] und [2, 5]. Diese Punkte sind blau markiert. Da wir uns nicht so sehr für bestimmte Werte interessieren, sind diese Werte im Graphen allgemein als a und b und f(a) und f(b) markiert. f(a) ist der Wert der Funktion f am Punkt x = a. Das ist richtig: Der Wert unserer Funktion x² + 1 am Punkt x = 2 ist 2² + 1 = 5.

Nun geht es darum, abzuleiten, wie man den mit alpha bezeichneten Winkel berechnet, d.h. den Winkel, den der Schnittpunkt mit der Achse x bildet. Wir werden die Abbildung zunächst ein wenig modifizieren, um einige Dreiecke hineinzubekommen, damit die Arbeit einfacher wird.

Was haben wir getan? Wir haben die Punkte, an denen sich die Schnittlinie mit dem Graphen der Funktion y = x² + 1 schneidet, mit einem Liniensegment verbunden und ein rechtwinkliges Dreieck ABC gezeichnet. Was haben wir getan, um uns zu helfen? Weil der mit β bezeichnete Winkel genauso groß ist wie der Winkel α (es sind kongruente Winkel). Aber wir kennen die Größe der Seiten AB und BC. Es ist wahr, dass |AB| = b − a (es ist einfach der Abstand des Punktes b von a). Ebenso die Länge von |BC| = f(b)−f(a). Wie berechnet man nun die Größe des Winkels β, bzw. α, ?

Er möchte wissen, wie man den Tangens berechnen kann. Der Tangens ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel, also ist der Tangens des Winkels alpha (beta) gleich dem Verhältnis der Größe der Seite BC zur Größe der Seite AB. Schreiben wir es auf:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Da die Richtlinie der Tangens des Winkels ist, haben wir diese Formel benutzt, um die Richtlinie des Abschnitts zu berechnen. Aber wie hilft uns das, wenn wir die Tangens-Richtlinie berechnen wollen? Stellen Sie sich vor, dass wir die Punkte A und C näher zusammenbringen, bis sie ineinander übergehen. Die Annäherung ist in der Abbildung dargestellt:

Je näher wir den oberen Schnittpunkt an den unteren Punkt heranbringen, desto näher wird die Linie zur Tangente. Der ursprüngliche Schnittpunkt/Abschnittpunkt CA war weit von einer Tangente entfernt. Wenn wir den Punkt C näher an den Punkt A heranbringen, erhalten wir zum Beispiel den Schnittpunkt C₁A, der bereits tangentenähnlicher ist. Der Schrägstrich C₂A ist noch ähnlicher, usw.

Wann wird eine Sekante zu einer Tangente? In dem Moment, in dem die beiden Schnittpunkte zu einem verschmelzen, d. h. wenn für einen bestimmten Punkt C_n gilt, dass C_n = A. In diesem Moment haben wir den Schnittpunkt zu einer Tangente gemacht, was wir ja auch wollten. Die Frage ist, wie wir die Richtlinie berechnen, denn wir können die beiden Punkte nicht einfach subtrahieren, weil sie gleich sind:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00.$$

Das geht nicht, so können wir es nicht berechnen. Nicht umsonst haben wir die Punkte nur näher aneinander gebracht. Wir brauchen einen Grenzwert. Jetzt wollen wir die Tangentenrichtlinie an einem bestimmten Punkt [a, f(a)] berechnen und wir haben die Richtlinien aller möglichen Schnittpunkte (die wir bereits berechnen können). Wir werden also nach und nach die Direktiven der Schnittpunkte berechnen, die wir approximieren werden, um eine Tangente zu erhalten. Wir approximieren also b an a. Wir können die Punkte nicht so approximieren, dass sie gleich sind, aber wir können sie so approximieren, dass ihre Differenz begrenzt gegen Null geht. Vida, limita. Wir werden also b an a annähern, bis sie begrenzt gleich sind. Wir berechnen also den Grenzwert, wenn b sich a nähert:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Wir nennen diesen Grenzwert die Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x = a. Erinnern wir uns daran, dass der Winkel α gleich dem Winkel β ist. Normalerweise verwenden wir die Variablen a und b nicht, sondern suchen die Ableitung im Punkt x₀ und approximieren sie mit dem Punkt x. Wir können dann schreiben:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Bis jetzt haben wir, wie bei der Kontinuitätsfunktion, die Ableitung in einem einzigen Punkt definiert. Wenn wir eine Funktion f(x) haben, die auf dem offenen Intervall I ableitbar ist, dann definieren die Werte dieser Ableitung eine Funktion $f^\prime(x)$, die wir die Ableitung der Funktion nennen.

Wir schreiben die Ableitung mit einem hochgestellten Komma, etwa so:

$$(x^2)^\prime=2x,\qquad f^\prime(x)=,\ldots,\qquad f^\prime(x_0)=,\ldots$$

Sie können auch eine andere Form der Notation finden, nämlich dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^\prime(x)$$

In der Formel, die wir vorhin verwendet haben, können wir also den Tangens durch die Ableitungsschreibweise ersetzen:

$$f^\prime(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Wir können auch eine einseitige Ableitung von rechts oder links definieren, indem wir einseitige Grenzen verwenden. Wir werden das jetzt nicht weiter ausführen, es ist nicht so wichtig.

Eine etwas andere Definition

Eine andere Definition der Ableitung einer Funktion in einem Punkt sieht wie folgt aus:

$$f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Wie kommt man zu einer solchen Definition? Wir müssen nur das Bild, von dem wir ausgegangen sind, ein wenig verändern. Denn wir können den Abstand des Punktes a vom Punkt b als h = b − a ausdrücken. So können wir den Punkt b als a + h schreiben, denn h ist nur der Abstand von b von a. Das Bild würde dann so aussehen:

Unten haben wir die Punkte a und a + h, dann f(a) und f(a + h) auf der Achse y. Jetzt machen wir wieder ein Dreieck und berechnen den Tangens des Winkels beta. Der einzige Unterschied ist, dass wir die Länge der Seite AB bereits berechnet haben, sie ist einfach h.

Richtige und unrichtige Ableitungen

Es gibt auch echte und unechte Ableitungen, genau wie bei den Grenzwerten von Funktionen. Was bedeutet das? Eine Ableitung ist richtig, wenn der Wert der Ableitung in einem Punkt gleich einer reellen Zahl ist. Eine Ableitung ist nicht-eigentümlich, wenn sie gleich plus oder minus unendlich ist. Wie kann man sich das geometrisch vorstellen? Wann ist eine Ableitung "unendlich"? Beginnen wir mit einer einfacheren Frage: Wie sieht eine Tangente aus, deren Ableitung gleich einer großen Zahl ist? Die Tangentengrafik (siehe oben) zeigt, dass der Winkel nahe bei 90 Grad liegt, wenn der Tangenswert hoch ist (wenn wir uns im Intervall (0, 180) befinden).

Daraus könnte man schließen, dass, wenn die Funktion an diesem Punkt eine nicht-eigene Ableitung hat, die Tangente rechtwinklig zur Achse x verläuft, also senkrecht zu ihr. Und das tut sie auch. Wie könnte der Graph einer solchen Funktion aussehen, und an welchem Punkt würde die Tangente senkrecht zur Achse x verlaufen? Ein Beispiel ist die Funktion $y=\sqrt[3]{x}$:

Grundlegende Eigenschaften

• Eine Funktion hat eine Ableitung in einem Punkt, wenn die Funktion auch in der Epsilon-Nachbarschaft dieses Punktes definiert ist. Gäbe es diese Nachbarschaft nicht, würde man die Grenze, über die die Ableitung definiert ist, nicht erreichen.

• Die Einzigartigkeit der Existenz (oder Nichtexistenz) von Grenzwerten bedeutet für uns, dass eine Ableitung, die in einem Punkt existiert, einzigartig ist. Keine Funktion hat mehr als eine Ableitung in einem Punkt. Entweder eine oder keine.

• Wenn eine Funktion in einem Punkt eine Ableitung hat, müssen die Ableitungen auf der linken und rechten Seite gleich sein, wie bei einseitigen Grenzwerten.

• Manchmal müssen wir die so genannte zweite Ableitung kennen. Das ist nichts Kompliziertes, wir leiten einfach die Funktion einmal ab und leiten dann das Ergebnis ein zweites Mal ab. Wir kennzeichnen dies mit zwei Kommas: f''(x) = (f'(x))'.

• Eine wichtige Eigenschaft: Wenn eine Funktion in einem Punkt eine Ableitung hat, dann ist die Funktion in diesem Punkt stetig. Dies beruht wiederum auf der Grenzwerteigenschaft. Beachten Sie, dass dies nicht in umgekehrter Weise gilt. Wenn eine Funktion in einem Punkt stetig ist, bedeutet das nicht, dass sie dort ableitbar ist. Ein typisches Beispiel ist die Funktion f(x) = |x|. Der Graph geht zum Scheitelpunkt, man kann die Ableitung der Tangente an diesem Scheitelpunkt nicht berechnen. Sie können versuchen, die Ableitung von links und rechts zu berechnen, sie werden unterschiedlich sein.

  

• Man kann Ableitungen auch verwenden, um die Berechnung einiger Grenzwerte zu lösen, dazu wird die L'Hospitalsche Regel verwendet.

Referenzen

Im nebenstehenden Artikel finden Sie eine Liste von Formeln für die Arbeit mit Ableitungen. Einige weitere finden Sie auf Wikipedia.

Sie können auch gelöste Beispiele für Ableitungen und dann möglicherweise schwierigere Beispiele für Ableitungen sehen. Sie können auch viele gelöste Beispiele im Forum hier finden.

Wenn Sie die Ableitungsberechnung schnell überprüfen wollen, können Sie ein Mathe-Tool wie Wolfram|Alpha verwenden. Geben Sie dort einfach "derive x^2+6x" (zum Beispiel) in das Eingabefeld ein, und Wolfram berechnet die Ableitungen der von Ihnen angegebenen Funktion. Sie können auch das tschechische MAW verwenden.

Mehr Material finden Sie zum Beispiel auf der CTU-Website.

In der literarischen Welt können Sie über Ableitungen in dem Buch The Second Derivative of Desire von Tomas Sedlacek lesen. Aber es wird wahrscheinlich eine andere Ableitung sein :-).