Rechtes Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Innenwinkel, d. h. 90 Grad. Dieses Dreieck hat mehrere interessante Eigenschaften, die in diesem Artikel besprochen werden sollen.

Grundlegende Beschreibung

Das rechtwinklige Dreieck wurde bereits teilweise im Hauptartikel über Dreiecke beschrieben. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Innenwinkel von 90 Grad. Die beiden verbleibenden Innenwinkel müssen notwendigerweise kleiner als 90 Grad sein, sonst wäre die Summe der Innenwinkel nicht gleich 180 Grad. Es ist sogar wahr, dass die Summe der beiden verbleibenden Winkel genau 90 Grad beträgt.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat natürlich drei Seiten, von denen zwei als Hypotenuse (die rote Seite) bezeichnet werden - das sind die kleineren Seiten - und die dritte Seite wird als Hypotenuse (die blaue Seite) bezeichnet - das ist die längste Seite. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem Punkt, an dem sich der rechte Winkel befindet.

Satz des Pythagoras

Der wohl berühmteste mathematische Lehrsatz aller Zeiten, der Satz des Pythagoras, gilt für ein rechtwinkliges Dreieck. Der Satz des Pythagoras befasst sich mit der Größe der Seiten eines Dreiecks. Der Satz besagt, dass "der Inhalt des Quadrats über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Summe der Inhalte der Quadrate über seinen Schenkeln ist". Mathematisch geschrieben:

$$c^2=a^2+b^2$$

Satz des Pythagoras in Abbildung: Der Satz wird in einem eigenen Artikel behandelt.

Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist es sehr einfach, den Inhalt zu berechnen, da die Höhen zu den Schenkeln kongruent sind. Stellen Sie sich das rechtwinklige Dreieck in der ersten Abbildung vor. Wie würden wir seinen Inhalt berechnen, ohne die Höhen zu kennen? Wir können das Dreieck zu einem Rechteck vervollständigen. Die Seiten des Rechtecks sind die Zweige des Dreiecks, und die beiden anderen Seiten werden addiert, um ein Rechteck zu bilden: Wir können den Inhalt des Rechtecks bereits berechnen, er ist das Produkt der Längen zweier benachbarter Seiten, in diesem Fall das Produkt der roten Seiten AC und AB. Dies gibt uns den Inhalt des Rechtecks. Die Hypotenuse BC bildet jedoch die Diagonale des Rechtecks, die das Rechteck halbiert. Wenn wir also den Inhalt des Rechtecks durch zwei teilen, erhalten wir den Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Formel würde also wie folgt aussehen:

$$S_\triangle=\frac{b\cdot c}{2},$$

wobei b und c die Längen der Zweige sind.

Die goniometrischen Funktionen Sinus und Kosinus

In einem rechtwinkligen Dreieck gelten die grundlegenden goniometrischen Funktionen und ihre Beziehungen. Goniometrische Funktionen wie Sinus, Kosinus (manchmal auch Cosinus), Tangens und Kotangens drücken das Verhältnis zwischen den Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks aus. Betrachten Sie das erste Dreieck noch einmal, diesmal mit den hervorgehobenen Winkeln.

Um das Verhältnis der Längen der beiden Seiten zu ermitteln, nimmt man die beiden Längen und teilt sie in der angegebenen Reihenfolge. Zum Beispiel erhält man das Verhältnis der Seitenlängen von b:c (lies "bé zu cé"), indem man 3/5 dividiert (Seite b ist 3, Seite c ist 5).

Die Sinusfunktion arbeitet dann mit dem Verhältnis von zwei Seiten und einem Winkel. In unserer Abbildung erhalten wir, wenn wir das Verhältnis der Seiten b:a nehmen, den Wert der Sinusfunktion, der auf den Winkel β angewendet wird. Der Kosinus funktioniert ähnlich, aber für das Verhältnis b:a und denselben Winkel β. Also:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ \cos(\beta)&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Die Sinus- und Kosinusfunktionen funktionieren immer nur mit den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck, die kleiner als 90 Grad sind. In diesem Fall sind das die Winkel β und γ. Innerhalb dieses Bereichs liefern die Sinus- und Kosinusfunktionen immer eine Zahl im Intervall (0, 1), was Ihnen hilft, sich an die Regel zu erinnern, dass Sie immer die kürzere Seite durch die längere Seite dividieren - um eine Zahl gerade aus dem Intervall (0, 1) zu erhalten.

Beide Funktionen arbeiten mit einem Schenkel und der Hypotenuse gleichzeitig, niemals mit zwei Schenkeln gleichzeitig. Da Sie immer die kürzere durch die längere Seite dividieren, steht die Hypotenuse immer im Nenner des Bruchs. Wenn du dir die Muster über dem Absatz ansiehst, ist der Nenner immer a, was die Hypotenuse des Dreiecks ist.

Die letzte Regel besagt, dass der Sinus mit der gegenüberliegenden Abszisse arbeitet, während der Kosinus mit der benachbarten Abszisse arbeitet. Was bedeutet das? Wenn wir einen Winkel β haben, dann ist der benachbarte Zweig der Zweig, der vom Punkt B ausgeht, der Zweig c. Der gegenüberliegende Zweig ist der andere Zweig, der Zweig b. In der Formel ist also die Seite b die Seite des Sinus und die Seite c die Seite des Kosinus.

Zusammengefasst: Der Sinus liefert das Verhältnis der gegenüberliegenden Traufe zur Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis der benachbarten Traufe zur Hypotenuse. Wie können wir uns das zunutze machen? Wenn wir die Winkel im Dreieck und die Länge der Hypotenuse oder der Traufe kennen, können wir die Längen der übrigen Seiten berechnen. Beispiel:

Für das vorherige Dreieck:

$$|AC|=b=3,\quad|AB|=c=5,\quad\beta=30{,}96^\circ$$

Was ist die Länge der Seite a? Das wissen wir:

$$\sin(\beta)=\frac{b}{a}$$

Wir kennen den Wert des Sinus, wir kennen auch die Länge der Seite b, wir finden die Länge der Seite a. Wir isolieren a durch äquivalente Modifikationen:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ a\cdot\sin(\beta)&=&b\\ a&=&\frac{b}{\sin(\beta)} \end{eqnarray}$$

(Wir haben zuerst a mit der Gleichung multipliziert und dann die Gleichung durch den Sinus dividiert.) Auf der rechten Seite haben wir bereits alle bekannten Werte, also addieren wir. Wir berechnen den Wert des Sinus mit dem Taschenrechner.

$$a=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{3}{0{,}514}=5{,}83.$$

Die Seite a ist 5,83 lang. Wenn du den Sinus mit dem Taschenrechner berechnest, solltest du darauf achten, dass du den Gradmodus aktiviert hast. Das Problem besteht nämlich oft darin, dass Sie mit Bogenmaß rechnen, was ein anderes Winkelmaß ist. Es gilt jedoch die Umrechnungsbeziehung:

$$rad=\frac{\pi}{180}\cdot deg,$$

Dabei ist deg Ihr Wert in Grad.

Goniometrische Funktionen Tangens und Kotangens

Diese beiden Funktionen können Sie leicht in einem rechtwinkligen Dreieck verwenden. Auch hier arbeiten Sie immer mit Winkeln kleiner als 90 Grad. Im Gegensatz zu Sinus und Kosinus arbeiten diese Funktionen jedoch nicht mit der Hypotenuse des Dreiecks, sondern nur mit den Schenkeln. So ist der Tangens eines Winkels gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel, und der Kotangens ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden Schenkel.

Bei dem vorstehenden Dreieck ist dies der Fall:

$$\begin{eqnarray} \tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ \mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b} \end{eqnarray}$$

Versuchen wir, die Länge der Seite AC (Seite b) im vorherigen Dreieck zu berechnen, indem wir den Winkel β verwenden. Wir kennen seine Größe aus dem vorherigen Beispiel. Wir wissen das:

$$\tan(\beta)=\frac{b}{c}$$

Isolieren wir die Seite b:

$$\begin{eqnarray} \tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ c\cdot\tan(\beta)&=&b\\ b&=&c\cdot\tan(\beta) \end{eqnarray}$$

(Wir haben die Gleichung einfach mit c multipliziert und die Seiten vertauscht.) Jetzt wissen wir alles, was wir brauchen, um die Länge der Seite b zu berechnen. Wir addieren:

$$b=c\cdot\tan(\beta)=5\cdot\tan(30{,}96)=5\cdot0{,}6=3$$

Aus der Abbildung können wir schon sehen, dass wir die richtige Lösung haben. Achten Sie noch einmal darauf, dass der Tangens in der Formel ein Wert in Grad ist, während der Taschenrechner den Winkel in Bogenmaß verlangt.

Zur Veranschaulichung können wir die gleiche Seite mit dem Kotangens berechnen:

$$\begin{eqnarray} \mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b}\\ b\cdot\mbox{cotan}(\beta)&=&c\\ b&=&\frac{c}{\mbox{cotan}(\beta)} \end{eqnarray}$$

Addieren Sie die Werte:

$$b=\frac{5}{\mbox{cotan}(30{,}96)}=\frac{5}{1{,}666\ldots}=3$$

Auch hier erhalten wir das richtige Ergebnis.