Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist vielleicht das berühmteste mathematische Theorem überhaupt. Sie können an anderer Stelle über Pythagoras von Samo lesen. Kommen wir nun zu den Dreiecken.

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Inhalt des Quadrats über der Seite eines Dreiecks

Der Satz des Pythagoras sagt uns eine nützliche Beziehung zwischen den Inhalten von Quadraten, die wir über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruieren. Stellen Sie sich vor, Sie haben dieses rechtwinklige Dreieck:

Das quadratische Gitter im Hintergrund gibt uns die Abmessungen des Dreiecks an. Die Länge der Seite AC ist gleich 4 und die Länge der Seite BC ist gleich 3. Aber wie lang ist die Seite AB, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks? Wir können die Länge nicht auf einen Blick herausfinden. Aber wir können versuchen, sie zu berechnen.

Zuerst konstruieren wir ein Quadrat über die Hypotenuse BC. Damit meinen wir, dass wir ein Quadrat konstruieren, bei dem die Länge aller seiner Kanten gleich der Länge der Seite BC ist, also drei. Wir würden es in der Abbildung wie folgt zeichnen:

Wir haben ein Quadrat BCDE erstellt, bei dem die Länge aller Kanten gleich 3 ist. Was ist der Inhalt eines solchen Quadrats? Wir berechnen den Inhalt des Quadrats, indem wir die Längen der beiden Kanten des Quadrats multiplizieren, so dass der Inhalt des Quadrats BCDE gleich 3 · 3 = 9 ist. Zeichnen Sie in der Abbildung ein Quadrat oberhalb der zweiten Tangente, oberhalb der Tangente AC. Dieses Quadrat wird eine Kantenlänge von 4 haben.

Dieses Quadrat wird den Inhalt 4 · 4 = 16 haben. Zeichnen Sie nun das letzte Quadrat, oberhalb des Überhangs AB:

Wir wissen noch nicht, was der Inhalt dieses neuen Quadrats sein wird, weil wir die Kantenlänge von AB nicht kennen. Aber jetzt können wir uns den Satz des Pythagoras zunutze machen. Er besagt nämlich, dass der Inhalt dieses letzten Quadrats ABHI gleich der Summe der Inhalte der beiden vorherigen Quadrate ist. Die ersten beiden Quadrate hatten also einen Inhalt von 9 und 16, und das letzte Quadrat hat - gemäß dem Satz des Pythagoras - den Inhalt 9 + 16 = 25. Zeichnen wir die Figur ein:

Und nun bleibt noch die letzte Frage zu beantworten: Wenn das Quadrat ABHI den Inhalt 25 hat, wie lang sind dann die Seiten dieses Quadrats? Sie muss die Quadratwurzel aus 25 sein, also ist die Seitenlänge von AB gleich $\sqrt{25}=5$. Wenn wir zurückgehen und den Inhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge 5 berechnen, erhalten wir den Inhalt von 5 · 5 = 25. Und nun können wir uns mit Zahlen und Definitionen beschäftigen.

Die Definition von

Der Satz des Pythagoras lautet in etwa so: "Der Inhalt des Quadrats über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Inhalte der Quadrate über seinen Schenkeln". Mathematisch wird dieser Satz normalerweise wie folgt geschrieben

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

wobei a und b die Längen der Zweige des Dreiecks sind und c die Länge der Hypotenuse ist.

Was besagt nun der Satz des Pythagoras und wie hängt diese Schreibweise mit der vorherigen Abbildung zusammen? Der Inhalt eines Quadrats über einer Seite eines Dreiecks bedeutet, dass wir ein Quadrat nehmen, dessen Seitenlänge gleich der Länge der gegebenen Seite ist, und seinen Inhalt berechnen. Wir berechnen den Inhalt des Quad rats, indem wir eine Seitenlänge mit der anderen Seitenlänge multiplizieren. Wenn also eine Seite die Länge c hat, ist der Inhalt von S gleich: S = c · c, was wir als S = c² mit Potenzen von 1 schreiben können.

So kann die Notation c² = a² + b² einfach gelesen werden als "der Inhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge c ist gleich der Summe der Inhalte der Quadrate mit den Kantenlängen a und b".

Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass der Satz nur für ein rechtwinkliges Dreieck gilt, nicht für ein allgemeines Dreieck. Der Satz des Pythagoras wird klassischerweise verwendet, wenn man die Größe von zwei Seiten kennt und die Länge der verbleibenden Seite berechnen muss. Wenn wir also die Länge der beiden Zweige a und b kennen und die Länge der Hypotenuse c ermitteln wollen, dann berechnen wir den Inhalt über die Zweige, d. h. wir berechnen a² + b². Dies ergibt den Inhalt des Quadrats über der Hypotenuse c, d. h. wir erhalten c². Um die Seitenlänge c zu erhalten, subtrahieren wir einfach den berechneten Inhalt. Dies ergibt die Formel:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

Dabei ist c die Länge der Hypotenuse und a, b die Länge der Offsets. Wenn wir hingegen die Länge der Hypotenuse und eines der Schenkel kennen und die Länge des verbleibenden Schenkels berechnen wollen, würden wir dies auf die gleiche Weise tun, aber wir würden zunächst einen der Schenkel in der gegebenen Gleichung isolieren. Wenn wir also c und b kennen und a berechnen wollen, dann isolieren wir in Gl.

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

a² isoliert, indem b² subtrahiert wird:

$$c^2 - b^2 = a^2,$$

Wir vertauschen die linke und die rechte Seite:

$$ a^2=c^2-b^2 $$

und schließlich subtrahieren:

$$ a=\sqrt{c^2-b^2} $$

Beispiel eins

Betrachten wir das Dreieck ABC, für das wir die Längen von zwei Seiten kennen: a = 3 und b = 4. Dies ist dasselbe Dreieck, das wir am Anfang hatten. Die Frage ist, wie lang die verbleibende Seite ist, die Seite c? Versuchen wir, sie mit Hilfe der obigen Formel zu berechnen. Das Dreieck ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Wir sehen, dass wir die Längen der beiden Schenkel kennen und uns die Länge der Hypotenuse fehlt. Daher verwenden wir die erste, unveränderte Formel:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Wir addieren die Längen der Seiten nach den Variablen a und b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

In der Formel haben wir den quadrierten Term - zur Erinnerung: Es gilt die folgende Beziehung:

$$a^2=a\cdot a\quad\rightarrow\quad4^2=4\cdot4=16$$

Nachdem wir die Quadratwurzel berechnet haben, erhalten wir also:

$$\begin{eqnarray} c&=&\sqrt{3^2+4^2}\\ c&=&\sqrt{9+16}\\ c&=&\sqrt{25}\\ c&=&5 \end{eqnarray}$$

Daraus ergibt sich, dass die Seitenlänge von c gleich fünf ist.

Das zweite Beispiel

In diesem Beispiel wollen wir versuchen, die Länge eines der Schenkel zu berechnen, wenn wir einen Schenkel und die Länge der Hypotenuse kennen. Wir haben also ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen |AB| = 10 und |BC| = 6. Das Dreieck ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Hypotenuse, die längste Seite, nicht die Seite |AB| ist. Wir müssen die Länge der Seite |AC| berechnen. Wir setzen die zweite Formel ein, um die Länge des Zweigs zu berechnen:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Um den Satz des Pythagoras richtig anzuwenden, müssen wir nun verstehen, wofür die einzelnen Variablen stehen. In dieser Formel ist die Variable a die Länge der Seite, die wir berechnen wollen, in diesem Fall die Seite |AC|. Die Variable c ist die Länge der Hypotenuse, der längsten Seite, in diesem Fall die Seite |AB|. Und die Variable b ist die Länge des Astes, dessen Länge wir kennen, in diesem Fall |BC|. Daher setzen wir die Formel wie folgt ein:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2-|BC|^2}$$

Wir addieren die spezifischen Seitenlängen, die wir kennen:

$$|AC|=\sqrt{10^2-6^2}$$

Berechne die Potenzen und subtrahiere:

$$|AC|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Und schließlich subtrahieren wir:

$$|AC|=8$$

Die Länge der Seite |AC| ist gleich acht.

Das Wortproblem

Stell dir vor, du gehst auf einem geraden Weg zum Haus deines Freundes. Der Weg ist 250 Meter lang. Nach diesem Viertelkilometer biegst du links ab und gehst noch 100 Meter weiter, bis du am Haus deines guten Freundes ankommst. Die Frage ist, wie viel kürzer der Weg ist, wenn du den geraden Weg über das Feld nimmst.

Berechnen Sie zunächst die Länge des Weges, wenn Sie entlang der Straße gehen. Du gehst zuerst 250 Meter geradeaus und dann 100 Meter nach links. Das sind insgesamt 250 + 100 = 350 Meter. Nun ist es an der Zeit, die Länge des Weges über das Feld zu berechnen. Dazu brauchen wir ein Bild.

Ein Teil des Bildes steht für 50 Meter. Wie würde ein gerader Weg über das Feld aussehen? Es wäre eine Linie vom Punkt |A| zum Punkt |C|. Zeichnen wir sie in der Abbildung rot ein.

Jetzt sehen wir, dass wir nur den Satz des Pythagoras anwenden müssen, um die Länge des Weges über das Feld zu berechnen. Wir suchen die Länge der Hypotenuse und kennen die Länge der beiden Äste, also verwenden wir die erste Formel und fügen sie wie folgt hinzu:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|CB|^2}$$

Wir addieren die Längen:

$$|AC|=\sqrt{250^2+100^2}$$

Erweitern:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Subtrahieren und Runden:

$$|AC|=269$$

Die Länge des Weges über das Feld beträgt 269 Meter. Das ist noch nicht das Ende des Beispiels, die Frage war, wie viel kürzer der Weg über das Feld ist. Ziehen Sie also die Längen voneinander ab und markieren Sie die Differenz r:

$$r=350-269=81$$

Die Antwort lautet, dass der Weg um etwa 81 Meter kürzer ist.

Die Seitenlänge des Quadrats

Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats mit einer Diagonale von zehn? Wie hilft uns der Satz des Pythagoras bei dieser Frage? Wir müssen ein rechtwinkliges Dreieck im Quadrat finden, mit dem wir die Seitenlänge des Quadrats berechnen können. Zur Erinnerung: Ein Quadrat hat vier gleiche Seitenlängen. Zeichnen wir die aktuelle Situation:

Wir können sehen, dass es plötzlich zwei rechtwinklige Dreiecke im Quadrat gibt, die wir zur Berechnung der Seitenlänge verwenden können. Betrachten wir zum Beispiel das Dreieck BCD. Die Seite DB ist die Hypotenuse, die anderen beiden sind die Hypotenuse. Wir kennen die Längen der Hänger nicht, aber wir kennen die Länge der Hypotenuse. Diese Zweige haben die gleiche Länge, also |BC| = |CD|. Wir verwenden den einfachen Satz des Pythagoras:

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2$$

Da die Ableger gleich lang sind, brauchen wir nur das Quadrat eines Ablegers zu berechnen und dieses mit zwei zu multiplizieren - wir brauchen nicht das Quadrat der beiden Ableger zu berechnen, da sie gleich lang sind und wir das gleiche Ergebnis erhalten würden. Wir können also schreiben:

$$|BD|^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Wir kennen die Länge der Seite BD, das ist die Hypotenuse. Die Länge ist gleich zehn. Wir setzen sie in die Gleichung ein:

$$10^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Wir multiplizieren mit zehn:

$$100=2\left(|BC|^2\right)$$

Teilt durch zwei:

$$\frac{100}{2}=|BC|^2$$

Wir kürzen den Bruch ab:

$$50=|BC|^2$$

Jetzt sind wir fast am Ziel. Wir wissen, dass die quadrierte Seitenlänge des Quadrats gleich 50 ist. Um die Seitenlänge zu ermitteln, müssen wir die Gleichung also noch quadrieren, was wir uns leisten können, da wir uns in den positiven Zahlen befinden:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC|^2}$$

Wir belassen die Quadratwurzel aus fünfzig in dieser Form, aber wir können die Quadratwurzel und die Potenz auf der rechten Seite der Gleichung streichen, weil sie sich gegenseitig aufheben.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Wenn du willst, kannst du die Quadratwurzel aus dem Fünfzigsten ziehen, wenn du willst. In runden Zahlen ausgedrückt, käme man auf sieben:

$$7=|BC|$$

Die Länge der Seite des Quadrats ist also ungefähr sieben, genau die Quadratwurzel aus fünfzig.