Das Gewicht eines Dreiecks

Die Hypotenuse eines Dreiecks ist die Linie, die den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Ein Dreieck hat genau drei Schwerpunktslinien, deren Schnittpunkt den Schwerpunkt des Dreiecks bildet.

Auszug aus

Betrachten Sie das folgende Dreieck mit den eingezeichneten Schwerelinien: Die Schwerelinien sind rot markiert. Wie bei den Höhen des Dre iecks bezeichnen wir die Schwerelinien mit einem Kleinbuchstaben t und einem tiefgestellten Buchstaben, der angibt, zu welcher Seite und welchem Scheitelpunkt die Schwerelinie gehört. Da wir gegenüber dem Scheitelpunkt A die Seite a haben, wird die Schwerelinie auch t_a genannt.

Die Hypotenuse halbiert ein gegebenes Dreieck in zwei Dreiecke mit demselben Inhalt. Anders als die Höhe eines Dreiecks sehen die Gewichtslinien bei allen Dreiecksarten gleich aus.

Der Mittelpunkt eines Streckenabschnitts

Die drei Punkte S_a, S_b und S_c stellen die Mittelpunkte der gegebenen Seiten der gegebenen Geradenabschnitte dar. Sie können den Mittelpunkt mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals grafisch berechnen. Man kann zum Beispiel den Mittelpunkt der Seite AB finden, indem man zwei gleich große Kreise zeichnet, deren Mittelpunkt die Scheitelpunkte A und B sind. Diese Kreise müssen einen Radius haben, der größer ist als die halbe Länge des Linienabschnitts AB - aber dieser Radius muss für beide Kreise gleich groß sein! Entweder schätzt man dies, oder man zeichnet einen Kreis mit einem Radius, der der Länge der Seite AB entspricht. Diese beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Verbinde diese Punkte mit einer Linie, und dort, wo diese Linie die Seite AB schneidet, befindet sich der Mittelpunkt der Seite AB.

Der Schwerpunkt des Dreiecks, d. h. der imaginäre Mittelpunkt des Dreiecks, ist in der Abbildung grün hervorgehoben.

Der Mittelpunkt der Schwerkraft

Alle Schwerkraftlinien schneiden sich immer in einem Punkt. So wissen Sie, ob Sie richtig gezeichnet haben. Wenn sie sich irgendwo anders kreuzen, haben Sie entweder ungenau oder völlig falsch gezeichnet. Der Schwerpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks, im Gegensatz zum orthogonalen Mittelpunkt, der außerhalb des Dreiecks liegen kann.

Der Schwerpunkt ist der imaginäre Mittelpunkt des Dreiecks. Wenn Sie das Dreieck an den Bleistiftspitzen festhalten wollen, sollten Sie den Bleistift genau unter dem Schwerpunkt platzieren, damit das Dreieck nicht herunterfällt.

Der Schwerpunkt wird durch die Länge der Briefbeschwerer im Verhältnis 1:2 geteilt. Das bedeutet, dass sich zwei Drittel der Länge des Briefbeschwerers auf einer Seite des Schwerpunkts befinden und das restliche Drittel auf der anderen Seite. Der längere Teil der Gewichtslinie befindet sich immer in Richtung der "Spitze" des Dreiecks. Der kürzere Teil befindet sich hingegen "nahe der Seite". Sehen Sie sich die Abbildung an:

Die Länge des Liniensegments AT (blaue Linie) ist doppelt so lang wie die Länge des Liniensegments TS_a (grüne Linie). Die Abschnitte AD, DT und TS_a sind gleich lang. Ähnliches gilt für die anderen dicken Linien.

Die mittlere Transversale

Die Mitteltransversale ist das Liniensegment, das die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks als seine Extrempunkte hat. Betrachten Sie die Abbildung:

Die Punkte S_a, S_b und S_c sind die Mittelpunkte der Seiten, dies bleibt dasselbe wie beim Briefbeschwerer. Um die mittlere Teilung zu erstellen, haben wir die beiden Punkte einfach mit jeweils einem Liniensegment verbunden. Wir bezeichnen die mittleren Teilungen mit s zusammen mit dem tiefgestellten Punkt, an den wir den gegenüberliegenden Scheitelpunkt setzen. Das entstehende Dreieck wird als transversales Dreieck bezeichnet. Interessanterweise ist der Schwerpunkt dieses transversalen Dreiecks derselbe wie der des ursprünglichen Dreiecks. In unserem Fall ist es der Punkt T.

Berechnung der Länge der Schwerpunktslinie

Mit Hilfe des Satzes von Apollonius können wir die Länge der Schwerelinie berechnen. Nehmen wir an, dass a, b, c die Längen der entsprechenden Seiten des Dreiecks sind, und dass t_a, t_b und t_c die Längen der Schwerelinien sind:

$$\begin{eqnarray} t_a&=&\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ t_b&=&\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ t_c&=&\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}} \end{eqnarray}$$