Inhalt des Dreiecks
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Wir können den Inhalt eines Dreiecks auf zwei Arten herausfinden. Entweder wir fügen das Dreieck zum Parallelogramm hinzu und berechnen den Inhalt dieses Parallelogramms oder wir verwenden die Heronsche Formel. Sie können sich den Artikel auch als Video auf YouTube ansehen!
Vervollständigen eines Parallelogramms
Schauen wir uns zunächst an, wie wir den Inhalt eines Dreiecks berechnet haben, wenn es ein rechtwinkliges Dreieck war. Wir haben das Dreieck zum Rechteck hinzugefügt, den Inhalt des Rechtecks berechnet und das Ergebnis durch zwei geteilt. Dies wird in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt:
Wir können ein Dreieck, das kein rechtwinkliges Dreieck ist, nicht einfach zu einem Rechteck hinzufügen. Aber wir können es zu einem Parallelogramm addieren. Wir haben also das folgende Dreieck ABC:
Wir vervollständigen dieses Dreieck zu einem Parallelogramm, indem wir vom Punkt C aus eine Linie ziehen, die parallel zur Linie AB verläuft und auch die gleiche Länge hat. Dann ziehen wir vom Punkt A eine Linie, die parallel zur Linie BC verläuft und die gleiche Länge hat. Wir erhalten dieses Parallelogramm:
Die Frage ist, wie wir den Inhalt dieses Parallelogramms berechnen können. Wir können nicht zwei benachbarte Seiten multiplizieren, wie es bei einem Rechteck der Fall ist. Wir können jedoch leicht ein Rechteck aus diesem Parallelogramm machen, das den gleichen Inhalt wie das Parallelogramm hat. Die folgenden rot markierten Dreiecke haben denselben Inhalt:
Wenn wir das Dreieck AED an die Stelle des Dreiecks BFC verschieben, erhalten wir ein Rechteck mit demselben Inhalt:
Dies ist bereits ein Rechteck und sein Inhalt ist somit gleich dem Produkt der Längen der beiden benachbarten Seiten. Aber wie lang ist die Seite AE oder BF? Wenn Sie sich das ursprüngliche Dreieck ABC, fett hervorgehoben, genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die Länge der Seite AE genau der Länge der Höhe des Dreiecks vom Scheitelpunkt C entspricht. Was können wir also über den Inhalt dieses Rechtecks schreiben? Dass der Inhalt gleich ist:
$$S_{\square}=|v_c|\cdot|AB|.$$
wobei vc die Höhe vom Scheitelpunkt C ist. Der Inhalt des Dreiecks ist dann gleich der Hälfte dieses Inhalts:
$$S_{\triangle}=\frac{|v_c|\cdot|AB|}{2}.$$
Die endgültige Formel
Natürlich können wir die Formel aus dem letzten Kapitel auf jede der drei Seiten verallgemeinern:
$$\begin{eqnarray} S_{\triangle}&=&\frac{|v_a|\cdot|a|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_b|\cdot|b|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_c|\cdot|c|}{2}. \end{eqnarray}$$
Dabei bezeichnen va, vb und vc die Höhen zu den Seiten a, b und c.
Die Heronsche Formel
Wenn man die Länge einer Höhe in einem Dreieck nicht kennt, aber die Längen aller Seiten, kann man den Inhalt mit der Heronschen Formel berechnen. Es ist wahr, dass:
$$S_{\triangle}=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)},$$
wobei
$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$