Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

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Wir können einen Bruch verwenden, um jede rationale Zahl zu schreiben. Ein Bruch besteht aus zwei Teilen. Der obere Teil wird Zähler und der untere Teil Nenner genannt. Es gibt auch einen zusammengesetzten Bruch, der nichts anderes ist als ein Bruch, der einen anderen Bruch im Zähler oder Nenner hat. Übrigens werden alle Zeichen zwischen Brüchen (Plus, Minus, Gleich usw.) grundsätzlich auf der Ebene des Bruchstrichs geschrieben, nicht auf der Ebene des Zählers oder Nenners. Und überhaupt, wussten Sie, dass fünf von vier Menschen Probleme mit Brüchen haben?

Hintergrundinformationen

Ein Bruch hat die folgende Form:

$$\frac{\mbox{ Leser }}{\mbox{ Nenner }}$$

Ein Beispiel für einen Bruch könnte ein Bruch sein

$$\frac25,$$

der zwei Fünftel beträgt. Der Nenner wird Nenner genannt, weil er den Bruch benennt. Ein Fünftel, ein Drittel, ein Sechstel... das ist der Hauptname des Bruchs und leitet sich von der Zahl ab, die unter dem Bruchstrich steht. Der Zähler hingegen gibt die Zahl an, im vorherigen Beispiel waren es zwei Fünftel. So viel zu den Namen.

Im Prinzip können Zähler und Nenner jede beliebige Zahl oder auch ein Bruch sein, aber am häufigsten trifft man auf einen Bruch, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner natürliche Zahlen sind.

Ein Bruch ist nichts anderes als eine Division in anderer Schreibweise; wir berechnen den Wert eines Bruchs, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Wenn wir also einen Bruch $\frac{a}{b}$ haben, dann ist der Wert des Bruchs die Zahl a/b. Der vorherige Bruch (zwei Fünftel) hätte dann den Wert 2/5, was 0,4 ist.

Umrechnung in die Basisform

Wir können mit Brüchen auf verschiedene Weise arbeiten, um ihre Form zu ändern - sie zu erweitern und zu verkleinern - ohne den Wert des Bruchs zu ändern. Es ist auch einfach, sie in Worte zu fassen, z. B. hat eine Hälfte den gleichen Wert wie zwei Viertel oder vier Achtel. Daraus folgt, dass ein Bruch nur eine verkleidete Division ist. Und wir können auf die Zahl eine Hälfte kommen, indem wir mehrere verschiedene Zahlen teilen. Vier geteilt durch acht ist also eine Hälfte. Zehn geteilt durch zwanzig ist auch eine Hälfte. Deshalb haben Brüche

$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac48=\ldots=\frac{10}{20}=\ldots$$

den gleichen Wert haben.

Wie du siehst, sind wir zu anderen Brüchen mit demselben Wert gekommen, indem wir sowohl den Zähler als auch den Nenner des ursprünglichen Bruchs 1/2 mit zwei multipliziert haben. Nach der Multiplikation ergibt sich der Bruch als 2/4, zwei Viertel. Wenn wir auch bei diesem Bruch Zähler und Nenner mit zwei multiplizieren, erhalten wir den Bruch 4/8, also vier Achtel. An diesem Punkt haben wir den Bruch erweitert.

Der umgekehrte Vorgang zum Expandieren ist das Kürzen von Brüchen, bei dem wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Wenn wir einen Bruch kürzen wollen, müssen wir eine Zahl finden, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilbar sind. Die Bruchkürzung wird in der Praxis sehr häufig angewandt, weil sie den Bruch viel einfacher und leichter zu handhaben macht. Bei einem Bruch 12/18 zeigt ein flüchtiger Blick, dass beide Zahlen gerade sind, also durch zwei teilbar. Natürlich könnte man den Bruch durch zwei abschneiden, aber ein zweiter Blick zeigt, dass Zähler und Nenner auch durch sechs teilbar sind. Wenn wir den Bruch durch sechs abschneiden, erhalten wir einen einfacheren Bruch als wenn wir nur durch zwei abschneiden. Daher schneiden wir den Bruch mit sechs ab. Das Ergebnis ist der Bruch 2/3.

Dieser Bruch kann nicht weiter gekürzt werden; es gibt keine Zahl, durch die wir sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen können. Ein Bruch, der nicht weiter gekürzt werden kann, liegt in der Basisform vor. Versuchen Sie immer, mit Brüchen in der Basisform zu arbeiten; wenn Sie irgendwo mit Brüchen arbeiten müssen, schauen Sie zuerst nach, ob einige Brüche gekürzt werden können. Das spart Ihnen Zeit. Ein weiteres Beispiel:

$$\frac{24}{42}$$

Welche Zahl ist gleichzeitig durch 24 und 42 teilbar? Es sind beides gerade Zahlen, also eindeutig zwei. Teile den Zähler und den Nenner durch zwei:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Gibt es eine Zahl, die durch beide Zahlen gleichzeitig teilbar ist? Ja, dieses Mal drei.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Gibt es immer noch eine Zahl, die sowohl den Zähler als auch den Nenner teilt? Nein, der Bruch ist in der Basisform.

Multiplikation von Brüchen

Es mag Sie überraschen, aber Multiplikation und Division sind bei Brüchen einfacher als Addition und Subtraktion. Wenn Sie zwei Brüche multiplizieren müssen, multiplizieren Sie einfach den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner mit dem Nenner. Das war's schon. Beispiel für die Multiplikation von Brüchen:

$$\frac23\cdot\frac57=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}$$

Bei der Multiplikation von Brüchen gibt es eine weitere Möglichkeit, Brüche abzuschneiden. Man muss nicht nur innerhalb eines Bruches multiplizieren, sondern kann auch quer multiplizieren. Wenn Sie den Zähler des ersten Bruches mit dem Nenner des zweiten Bruches abschneiden können, können Sie das tun und Ihre Multiplikation vereinfachen. Beispiel (die abgeschnittenen Zahlen sind hervorgehoben):

$$\frac{\fbox{4}}{5}\cdot\frac{3}{\fbox{8}}=\frac15\cdot\frac32=\frac{3}{10}$$

Was haben wir getan? Wir haben sowohl vier als auch acht durch vier geteilt. Der Wert des Produkts blieb unverändert. Wenn wir es jetzt nicht abschneiden, können wir es nach der Multiplikation abschneiden.

Sie können dann die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl in die Multiplikation zweier Brüche umwandeln, indem Sie die ganze Zahl c als c/1 schreiben:

$$\frac{3}{7}\cdot5=\frac37\cdot\frac51=\frac{3\cdot5}{7\cdot1}=\frac{15}{7}$$

Wie Sie sehen, multiplizieren Sie einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem Sie den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren.

$$c\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Dividieren von Brüchen

Die Division von Brüchen ist praktisch dasselbe wie die Multiplikation. Wenn Sie einen Bruch durch einen anderen dividieren wollen, kehren Sie einen der Brüche um und multiplizieren die Brüche ganz normal. Ein einfaches Beispiel für die Division von Brüchen (beachten Sie, dass wir nach der Umkehrung des Bruchs 12 und 6 multiplizieren können):

$$\frac{12}{7},:,\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot\frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot\frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Wir haben die Division in eine Multiplikation umgewandelt, indem wir den Bruch $\frac{6}{11}$ in den Bruch $\frac{11}{6}$ umgedreht und mit dem anderen unveränderten Bruch multipliziert haben. Warum funktioniert das? Stellen Sie sich ein einfacheres Beispiel vor, etwa die Division durch eine Hälfte. Wenn wir dividieren

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

was tun wir dann eigentlich? Wir finden heraus, wie oft eine Hälfte in zehn passt. In jede Einheit passt die Hälfte nur zweimal (zwei mal eine Hälfte ist eins), also passt sie zwanzigmal in zehn. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir zwei mal zehn multiplizieren - also zwanzig. Und welchen Wert erhalten wir, wenn wir eine Hälfte umdrehen? Zwei Einsen, das ist zwei.

$$\frac12\rightarrow\frac21=2$$

Das Ergebnis ist also zwanzig:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot\frac21=10\cdot2=20.$$

Addieren von Brüchen

Das Addieren von Brüchen ist ein bisschen komplizierter. Wir können Brüche nur addieren, wenn die Brüche die gleiche Basis haben, d. h. den gleichen Nenner. Wenn die Brüche nicht denselben Nenner haben, müssen wir sie in denselben Nenner umwandeln. Wir gehen dann genauso vor wie bei der Multiplikation, indem wir einfach den Zähler des ersten Bruches zum Zähler des zweiten Bruches addieren. Anders als bei der Multiplikation behalten wir jedoch den Nenner gleich. Zunächst ein Beispiel für die Addition von Brüchen mit der gleichen Basis:

$$\frac12+\frac52=\frac62=3$$

Ergibt das einen Sinn? Eine Hälfte plus fünf Hälften gleich sechs Hälften - das macht sehr viel Sinn.

Wenn die Brüche nicht dieselbe Basis haben, was häufiger der Fall ist, müssen wir die Brüche in dieselbe Basis umwandeln, d. h. einen oder beide Brüche erweitern, um denselben Nenner zu erhalten. Wir wollen diese beiden Brüche addieren:

$$\frac23+\frac52=?$$

Der erste Bruch hat eine Drei im Nenner, der zweite Bruch hat eine Zwei. An dieser Stelle ist es schwer, sie zu addieren, aber wenn wir den ersten Bruch um zwei erweitern, hat er eine Sechs im Nenner, und wenn wir den zweiten Bruch um drei erweitern, hat er ebenfalls eine Sechs im Nenner. Jetzt haben beide Brüche die gleiche Basis und wir können sie einfach addieren. Im ersten Schritt erweitern wir also die Brüche so, dass sie denselben Nenner haben:

$$\frac23+\frac52=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}+\frac{5\cdot3}{2\cdot3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Jetzt addieren wir einfach den Zähler und lassen den Nenner gleich:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Beachte, dass wir beim Addieren nicht über Brüche hinweg multiplizieren können wie bei der Multiplikation. Nach der Anpassung haben wir zum Beispiel eine Sechs im Nenner des ersten Bruches und eine Fünfzehn im Zähler des zweiten Bruches. Dennoch können wir nicht mit drei multiplizieren:

$$\frac{4}{\fbox{6}}+\frac{\fbox{15}}{6}\ne\frac42+\frac56$$

Wir könnten uns diese Kürzung nur leisten, wenn wir die Brüche multiplizieren würden:

$$\frac{4}{\fbox{6}}\cdot\frac{\fbox{15}}{6}=\frac42\cdot\frac56$$

Wie bringt man im Allgemeinen zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Wir erweitern den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs, und wir erweitern den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruchs. Im Allgemeinen kann man es so formulieren:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Wir erweitern den ersten Bruch mit dem Ausdruck d, der der Nenner des zweiten Bruchs ist. Wir erweitern den zweiten Bruch mit dem Ausdruck b, der der Nenner des ersten Bruchs ist. Ein konkretes Beispiel:

$$\frac74+\frac98=\frac{7\cdot8}{4\cdot8}+\frac{9\cdot4}{8\cdot4}$$

Wir haben den ersten Bruch um eine Acht und den zweiten Bruch um eine Vier erweitert. Danach können wir die Brüche addieren.

Die allgemeine Formel für die Addition von Brüchen sieht dann wie folgt aus:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Subtraktion von Brüchen

Die Subtraktion von Brüchen ist genau dasselbe wie die Addition von Brüchen, nur dass wir die resultierenden Zähler nicht addieren, sondern subtrahieren. Wir modifizieren also die vorherige allgemeine Additionsformel wie folgt:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Ein konkretes Beispiel; wir wandeln zuerst in den gemeinsamen Nenner um:

$$\frac79-\frac25=\frac{7\cdot5}{9\cdot5}-\frac{2\cdot9}{5\cdot9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Jetzt subtrahieren wir nur noch die Zähler, wobei die Nenner gleich bleiben:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Die Kreuzregel

Bei Gleichungen können wir die Kreuzregel anwenden, die die Gleichheit von zwei Brüchen vereinfacht. In der Praxis ist sie nichts anderes als zwei gleichwertige Abwandlungen einer gegebenen Gleichung. Wir haben also eine Gleichung mit zwei Brüchen

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Wir können diese Gleichung abändern, indem wir sie mit dem Nenner des ersten und dann mit dem des zweiten Bruchs multiplizieren. Zunächst multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner des ersten Bruchs, dem Ausdruck b. Wir erhalten

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Dann multiplizieren wir die Gleichung mit dem Ausdruck d und erhalten

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Wir kürzen b im ersten Bruch und d im zweiten ab. Das Ergebnis ist die Gleichung

$$ad=bc.$$

Wenn wir also eine Gleichung in Form von zwei Brüchen haben, können wir sie wie folgt abändern:

$$\begin{eqnarray} \frac{a}{b}&=&\frac{c}{d}\rightarrow\\ ad&=&bc \end{eqnarray}$$

Es folgt ein Beispiel. Im ersten Schritt zerlegen wir die Brüche gemäß der vorherigen Formel und im zweiten Schritt ändern wir die Ausdrücke auf beiden Seiten nur leicht ab.

$$\begin{eqnarray} \frac{x+2}{x}&=&\frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)&=&x\cdot3x\\ (x+2)^2&=&3x^2 \end{eqnarray}$$

Danach würde die Gleichung als klassische quadratische Gleichung berechnet werden, aber das würde den Rahmen dieses Artikels sprengen.