Multiplikation

Die Multiplikation ist eine grundlegende Zahlenoperation, der wir häufig begegnen.

Was ist Multiplikation?

Wir markieren die Multiplikation entweder mit einem Punkt oder einem Kreuz in der Mitte. Wenn wir drei mal sieben schreiben wollen, würden wir 3 · 7 oder 3 × 7 verwenden. Manchmal wird statt des Kreuzes auch der reguläre Buchstabe x (iks) verwendet: 3 x 7.

Wir können die Multiplikation natürlicher Zahlen, d. h. der Zahlen 1, 2, 3, ..., leicht in Addition umwandeln. Betrachten wir zum Beispiel 4 · 6 = ?, vier mal sechs. Im allgemeinen Sprachgebrauch könnte man das so übersetzen: "Geh viermal zu Franta und gib ihm jeweils sechs Ohrfeigen". Was wäre die Gesamtzahl der Ohrfeigen? Beim ersten Mal ohrfeigen wir ihn sechs Mal, beim zweiten Mal ohrfeigen wir ihn, beim dritten Mal ohrfeigen wir ihn und beim vierten Mal ohrfeigen wir ihn. Die Gesamtzahl der Ohrfeigen, die wir ihm gegeben haben, ist 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Um nicht immer so viele gleiche Zahlen addieren zu müssen, haben wir gerade die Multiplikation eingeführt. Wenn wir also vier Sechsen addieren wollen, können wir statt 6 + 6 + 6 + 6 einfach 4 × 6 schreiben.

Dabei ist es egal, ob wir vier Sechser oder sechs Vierer addieren. Wir erhalten immer das gleiche Ergebnis.

$$ 4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 $$

Wir nennen das Ergebnis der Multiplikation ein Produkt, also sagen wir "das Produkt von 4 und 6 ist 24", oder "das Produkt von 4 mal 6 ist 24". Die Zahlen, die wir multiplizieren, in diesem Fall die Zahlen 4 und 6, werden Faktoren genannt.

Grafische Darstellung der Multiplikation

Grafisch können wir die Multiplikation als den Inhalt eines Rechtecks darstellen. Bleiben wir bei dem Beispiel 4 · 6. Wir erstellen ein Rechteck, das eine Seite der Länge 4 und eine andere Seite der Länge 6 hat. Das Rechteck sieht dann so aus:

Jetzt zählen wir den Inhalt dieses Rechtecks, das heißt, wir zählen alle Quadrate, die sich darin befinden.

Wir können sehen, dass es 24 Quadrate sind. Warum? Weil wir sechs Quadrate viermal übereinander gestapelt haben, so dass das Ergebnis wieder die Summe von 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ist.

Multiplizieren mit Null

Wenn wir eine beliebige Zahl mit Null multiplizieren, ist das Ergebnis wieder Null. Die Argumentation ist einfach: Wenn wir uns an die vorherigen Beispiele halten, ist das so, als würde man sagen: "Geh nicht zu Franta und schlag ihn sechs Mal". Franta wird es dieses Mal gut gehen, denn obwohl er sechs Ohrfeigen bekommen soll, soll er sie nicht ein einziges Mal bekommen.

Dies kann grafisch dargestellt werden. Ein Bild, das das Produkt 5 · 0 zeigt, würde wie folgt aussehen:

Da der zweite Faktor gleich Null ist, ist auch eine Seite des Rechtecks gleich Null, so dass das Rechteck ein Liniensegment ohne Inhalt ist.

Vorrang der Multiplikation

Die Multiplikation hat Vorrang vor der Addition und Subtraktion. Das bedeutet, dass Sie im Beispiel 2 + 3 · 4 zuerst das Produkt 3 · 4 = 12 und dann die Summe berechnen. Nach der Berechnung des Produkts haben wir also 2 + 12 und das ist gleich 14.

Wenn Sie zuerst die Summe berechnen würden, kämen Sie zu einem anderen Ergebnis: 2 + 3 = 5 und dann 5 · 4 = 20. Dieses Ergebnis ist falsch.

Dasselbe gilt für die Subtraktion, so dass 10 − 8 · 2 + 7 so gezählt würde, als ob es Klammern gäbe: 10 − (8 · 2) + 7 Also: 10 − 16 + 7 = 1.

Hüten Sie sich vor den Tricks, die oft auf Facebook erscheinen. Es gibt Beispiele wie 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Viele Leute sehen die Multiplikation mit Null und schreiben sofort, dass das Ergebnis Null ist, aber das ist ein falsches Ergebnis. Da die Multiplikation Vorrang hat, ist das Beispiel äquivalent zu 1 + 1 + (1 · 0) = ?.

Hier multiplizieren wir zuerst die Klammer: 1 + 1 + 0 = ? und addieren sie dann auf: 1 + 1 + 0 = 2 Das richtige Ergebnis ist 2, nicht 0.

Das Tückische daran ist, dass ein einfacher Taschenrechner auch ein Ergebnis von Null ausspuckt. Und warum? Weil man bei einfachen Taschenrechnern nicht den ganzen Ausdruck eingibt, sondern einen nach dem anderen, und der Rechner mit dem Zwischenergebnis arbeitet. Wenn Sie 1 + 1 + 1 · 0 in einen solchen Rechner eingeben, berechnet der Rechner zuerst 1 + 1 = 2, dann 2 + 1 = 3, weil er sich nur das Zwischenergebnis 2 merkt, und schließlich 3 · 0 = 0. Der Rechner berechnet also tatsächlich das Beispiel (((1 + 1) + 1) · 0).

Manche Taschenrechner können mit Vorrang rechnen, manche erlauben es, das ganze Beispiel in einem Stück einzugeben und dann richtig zu berechnen. Wenn Ihr Rechner das nicht kann, sollten Sie das bedenken.

Sie können einen separaten Artikel über die Priorität der Multiplikation lesen.

Eine kleine Multiplikation

Für das weitere Zählen ist es nützlich, sich die gesamte kleine Multiplikationstabelle zu merken, d.h. alle Vielfachen von Zahlen kleiner als 11:

Zuerst die kleine Multiplikation von eins bis fünf:

$$ \begin{array}{lllll} 1 \cdot 1 = 1&2 \cdot 1 = 2&3 \cdot 1 = 3&4 \cdot 1 = 4&5 \cdot 1 = 5 \\ 1 \cdot 2 = 2&2 \cdot 2 = 4&3 \cdot 2 = 6&4 \cdot 2 = 8&5 \cdot 2 = 10 \\ 1 \cdot 3 = 3&2 \cdot 3 = 6&3 \cdot 3 = 9&4 \cdot 3 = 12&5 \cdot 3 = 15 \\ 1 \cdot 4 = 4&2 \cdot 4 = 8&3 \cdot 4 = 12&4 \cdot 4 = 16&5 \cdot 4 = 20 \\ 1 \cdot 5 = 5&2 \cdot 5 = 10&3 \cdot 5 = 15&4 \cdot 5 = 20&5 \cdot 5 = 25 \\ 1 \cdot 6 = 6&2 \cdot 6 = 12&3 \cdot 6 = 18&4 \cdot 6 = 24&5 \cdot 6 = 30 \\ 1 \cdot 7 = 7&2 \cdot 7 = 14&3 \cdot 7 = 21&4 \cdot 7 = 28&5 \cdot 7 = 35 \\ 1 \cdot 8 = 8&2 \cdot 8 = 16&3 \cdot 8 = 24&4 \cdot 8 = 32&5 \cdot 8 = 40 \\ 1 \cdot 9 = 9&2 \cdot 9 = 18&3 \cdot 9 = 27&4 \cdot 9 = 36&5 \cdot 9 = 45 \\ 1 \cdot 10 = 10&2 \cdot 10 = 20&3 \cdot 10 = 30&4 \cdot 10 = 40&5 \cdot 10 = 50 \\ \end{array} $$

Und jetzt von sechs bis zehn:

$$ \begin{array}{lllll} 6 \cdot 1 = 6&7 \cdot 1 = 7&8 \cdot 1 = 8&9 \cdot 1 = 9&10 \cdot 1 = 10 \\ 6 \cdot 2 = 12&7 \cdot 2 = 14&8 \cdot 2 = 16&9 \cdot 2 = 18&10 \cdot 2 = 20 \\ 6 \cdot 3 = 18&7 \cdot 3 = 21&8 \cdot 3 = 24&9 \cdot 3 = 27&10 \cdot 3 = 30 \\ 6 \cdot 4 = 24&7 \cdot 4 = 28&8 \cdot 4 = 32&9 \cdot 4 = 36&10 \cdot 4 = 40 \\ 6 \cdot 5 = 30&7 \cdot 5 = 35&8 \cdot 5 = 40&9 \cdot 5 = 45&10 \cdot 5 = 50 \\ 6 \cdot 6 = 36&7 \cdot 6 = 42&8 \cdot 6 = 48&9 \cdot 6 = 54&10 \cdot 6 = 60 \\ 6 \cdot 7 = 42&7 \cdot 7 = 49&8 \cdot 7 = 56&9 \cdot 7 = 63&10 \cdot 7 = 70 \\ 6 \cdot 8 = 48&7 \cdot 8 = 56&8 \cdot 8 = 64&9 \cdot 8 = 72&10 \cdot 8 = 80 \\ 6 \cdot 9 = 54&7 \cdot 9 = 63&8 \cdot 9 = 72&9 \cdot 9 = 81&10 \cdot 9 = 90 \\ 6 \cdot 10 = 60&7 \cdot 10 = 70&8 \cdot 10 = 80&9 \cdot 10 = 90&10 \cdot 10 = 100 \\ \end{array} $$