Probleme zum gemeinsamen Bearbeiten

Bei gemeinschaftlichen Aufgaben arbeiten zwei verschiedene Personen unterschiedlich lange an derselben Aufgabe. Die Herausforderung besteht darin, herauszufinden, wie lange sie eine bestimmte Aufgabe erledigen können, wenn sie zusammenarbeiten.

Beispielproblem

Stell dir vor, du spielst ein Spiel, in dem du gegen einen Drachen kämpfst. Der Paladin kann den Drachen mit seinem Schwert in 30 Sekunden aufschlitzen, während der Barbar ihn mit seiner Keule in 20 Sekunden zerschmettern kann. Die Frage ist: Wie lange würde es dauern, den Drachen zu töten, wenn der Barbar und der Paladin gemeinsam gegen den Drachen kämpfen würden? Wie viel "gemeinsame Arbeit" müssen sie aufwenden?

Wir lösen das Problem, indem wir zunächst herausfinden, wie sehr jeder der furchtlosen Krieger den Drachen in einer Sekunde verletzt. Da der Paladin den Drachen in 30 Sekunden tötet, nimmt er dem Drachen in einer Sekunde ein Dreißigstel seiner 1/30 Leben. Hätte der Drache 180 Leben, dann müsste der Paladin, um ihn in dreißig Sekunden zu töten, jede Sekunde 180 / 30 = 6 Leben von ihm nehmen (das ist ein Dreißigstel seiner Leben). Doch 180 / 30 ist dasselbe wie 180 · (1/30).

Der Barbar tötet ihn in 20 Sekunden, also nimmt der Drache 1/20 ihm jede Sekunde das Leben. Derselbe Drache, der 180 Leben hätte, würde also jede Sekunde 180 / 20 = 9 Leben abbekommen.

Der Paladin nimmt dem Drachen also jede Sekunde 1/30 Leben ab, der Barbar 1/20. Nun fragen wir uns, wie viele Sekunden diese Männer brauchen, um ihn gemeinsam zu töten. Wir können es einzeln betrachten - wie viele Leben würden sie dem Drachen in zwei Sekunden abnehmen?

$$ \frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac16 $$

Es wäre ein Sechstel seines Lebens. Addieren wir 1/30 + 1/20, weil die Krieger zusammen kämpfen, und addieren wir das Ganze zweimal, weil sie zwei Sekunden lang kämpfen. Wir sehen, dass wir das verallgemeinern können: Wenn sie x Sekunden lang kämpfen, nehmen sie dem Drachen

$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} $$

Leben. Jetzt gibt es nur noch eines zu tun - der Drache stirbt, wenn sie ihm alle Leben nehmen. Alle Leben werden durch die Zahl 1 dargestellt, denn der Bruchteil 1/30 steht für ein Dreißigstel der Leben des Drachen - die Zahl 1 ist also die Gesamtzahl der Leben des Drachen. Wir setzen also einfach den vorherigen Ausdruck gleich eins:

$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} = 1 $$

und suchen nach einer Lösung. Multiplizieren wir die ganze Gleichung mit 60, erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{30}+x\cdot\frac{60}{20} &=& 60\\ x\cdot\frac{6}{3}+x\cdot\frac{6}{2} &=& 60\\ 2x+3x &=& 60\\ 5x &=& 60\qquad/\cdot\frac15\\ x &=& 12 \end{eqnarray}$$

x = 12Das bedeutet, dass der Drache in 12 Sekunden getötet wird. Das ist nicht schlecht.

Wir können versuchen, das zu überprüfen, indem wir bestimmte Zahlen einsetzen. Wir hatten einen Drachen mit 180 Leben, und das Ergebnis sagt, dass sie ihn zusammen in 12 Sekunden töten. Der Paladin braucht 6 Leben pro Sekunde, der Barbar 9. Das bedeutet, dass der Paladin dem Drachen in 12 Sekunden insgesamt 12 · 6 = 72 Leben abnimmt, und der Barbar 12 · 9 = 108 Leben. Sie haben insgesamt 72 + 108 = 180 Leben von ihm genommen, was damit übereinstimmt, dass sie alle seine Leben genommen haben.

Sieh dir die anderen gelösten Beispiele an, um zusammenzuarbeiten:

Beispiele

• Tony würde sich gerne ein neues Handy kaufen. Er hat mit seiner Mutter vereinbart, dass sie ihm jede Woche ein Taschengeld gibt und dass er nach 60 Wochen gerade genug Geld für das begehrte Handy haben wird. Aber Tony ist nicht der Junge von heute, also ging er auch zu seinem Papa. Der versprach ihm ebenfalls Geld und sagte ihm, dass er nach 30 Wochen sogar genug für ein neues Handy haben würde. Wie lange wird es in Wirklichkeit dauern, bis Tony ein neues Handy bekommt, wenn er das wöchentliche Taschengeld sowohl von seiner Mama als auch von seinem Papa bekommt?

Tony bekommt von seiner Mama wöchentlich 1/60 und von seinem Papa wöchentlich 1/30 des Preises des Mobiltelefons. Stellen wir die Gleichung genau so auf wie im vorherigen Fall:

$$ x\cdot\frac{1}{60}+x\cdot\frac{1}{30} = 1 $$

Der Ausdruck x · 1/60 + x · 1/30 sagt uns, wie viel vom Preis des Mobiltelefons Tony nach x Wochen gespart haben wird. Da wir fragen, wann er genug für das Handy haben wird, setzen wir diesen Ausdruck gleich eins. Wenn er drei Handys kaufen wollte, würde die Zahl drei auf der rechten Seite stehen.

Wir lösen die Gleichung. Zuerst multiplizieren wir sie mit 60:

$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{60}+x\cdot\frac{60}{30} &=& 60\\ x\cdot\frac{1}{1}+x\cdot\frac{2}{1} &=& 60\\ x+2x &=& 60\\ 3x &=& 60\qquad /\cdot\frac13\\ x &=& 20 \end{eqnarray}$$

Das Ergebnis ist, dass Tony in 20 Tagen ein neues Handy haben wird. Wir können dies noch einmal überprüfen, indem wir reale Werte einsetzen: Wenn das Handy 9000 kostet, würde er 1/60 dieses Preises, d.h. 150 Kronen, jede Woche von seiner Mutter bekommen. Von seinem Vater würde er 1/30 dieses Preises erhalten, also 300 Kronen. Nun, er hat recht großzügige Eltern. In 20 Wochen würde er von seiner Mama 20 · 150 = 3000 Kronen erhalten, während er von seinem Papa 20 · 300 = 6000 Kronen erhalten würde. Alles in allem würde er 3000 + 6000 = 9000 Kronen bekommen.

• Es gibt drei Rohre, die in den Pool führen. Eines füllt den Pool in 100 Minuten, ein anderes in 75 Minuten und das letzte in 50 Minuten. Wie lange dauert es, den Pool zu füllen, wenn alle drei Rohre gefüllt sind?

Auch dieses Beispiel ist dasselbe wie die vorangegangenen, nur dass hier nicht zwei Akteure zusammenarbeiten, sondern drei Akteure. Die Gleichung sieht dann so aus:

$$ x\cdot\frac{1}{100}+x\cdot\frac{1}{75}+x\cdot\frac{1}{50} = 1 $$

Wir multiplizieren die Gleichung mit 150 und modifizieren sie weiter:

$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{150}{100}+x\cdot\frac{150}{75}+x\cdot\frac{150}{50} &=& 150\\ x\cdot\frac{3}{2}+x\cdot\frac{2}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 150\\ \frac32x+2x+3x &=& 150\\ \frac32x+5x &=& 150\qquad /\cdot 2\\ 3x + 10x &=& 300\\ 13x &=& 300\qquad/\cdot\frac{1}{13}\\ x &=& \frac{300}{13} \end{eqnarray}$$

Das Ergebnis wird nicht besser, der Pool wird sich in 300/13 Minuten füllen, was ungefähr 23 Minuten entspricht.

• Die Mähfirma wird den Rasen in zehn Stunden mähen. Die Firma Dynamite Violet Tearing Company mäht den Rasen in sechs Stunden. Wie viele Stunden würden diese Firmen brauchen, um zwei solche Wiesen zu mähen, wenn sie zusammenarbeiten würden?

Wie viel mähen beide Firmen in x Stunden? Das ist ein klassischer Ausdruck:

$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} $$

Da wir aber wollen, dass sie zwei Wiesen mähen, lautet die rechte Seite der Gleichung nicht 1, sondern 2:

$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} = 2 $$

Dann geht die Berechnung auf die gleiche Weise weiter. Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit 30 und passen sie an:

$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{30}{6}+x\cdot\frac{30}{10} = 60\\ x\cdot\frac{5}{1}+x\cdot\frac{3}{1} = 60\\ 5x+3x&=& 60\\ 8x&=& 60\qquad/ \cdot \frac18\\ x &=& \frac{60}{8}\\ x &=& \frac{15}{2}\\ x &=& 7{,}5 \end{eqnarray}$$

Die beiden Wiesen würden in siebeneinhalb Stunden gemäht werden.

• Eine Frau würde in neun Monaten ein Kind zur Welt bringen. In wie vielen Monaten werden neun Frauen ein Kind zur Welt bringen?