Das Trinomial

Das Trinom wird in einfachen direkten und inversen Proportionsberechnungen verwendet. Normalerweise kennt man drei voneinander abhängige Zahlen und muss eine vierte berechnen. Beim Trinom müssen wir sorgfältig zwischen direkter und indirekter Proportion unterscheiden, da es sich um unterschiedliche Berechnungen handelt.

Motivation

Du gehst in den Laden, um einen Vorrat an Limonade zu kaufen. Du hast 5 Flaschen Limonade für 100 Kronen gekauft. Wie viele Limonaden würdest du kaufen, wenn du 200 Kronen hättest? Dies ist ein typisches Beispiel, das mit einem Trinomial gelöst werden kann.

An dieser Stelle können wir eine einfache Überlegung anstellen - im ersten Fall hatten wir 100 Kronen, im zweiten Fall hatten wir 200 Kronen. Wir können also davon ausgehen, dass wir, wenn wir doppelt so viele Kronen zur Verfügung haben, auch doppelt so viele Flaschen damit kaufen werden. Wir würden also mit 200 Kronen 2 · 5 = 10 Limonaden kaufen.

Das vorherige "je mehr... desto mehr" ist nicht ganz klar, denn wir können folgendes Beispiel nehmen: 10 Maurer bauen ein Haus in vier Monaten. Wie lange brauchen 20 Maurer, um ein Haus zu bauen? Wenn wir das vorherige Verfahren anwenden - es gibt doppelt so viele Maurer, also gibt es doppelt so viele Monate - erhalten wir, dass 20 Maurer ein Haus in 2 · 4 = 8 Monaten bauen würden.

Das ist natürlich nicht richtig, denn je mehr Maurer, desto weniger Monate brauchen sie für den Bau des Hauses. Also müssen wir es andersherum machen: doppelt so viele Maurer bauen das Haus in doppelt so vielen Monaten. Dies ergibt das richtige Ergebnis: 20 Maurer bauen ein Haus in 4/2 = 2 Monaten.

Die beiden vorangegangenen unterschiedlichen Verfahren haben auch Namen: direkte und inverse Proportionalität.

Direkte Proportionalität

Wenn "je mehr... desto mehr" wahr ist, handelt es sich um direkte Proportionalität. Beispiele:

• Je mehr Geld wir haben, desto mehr Limonade/Gläser/Roller können wir kaufen.
• Je mehr Artikel ein Journalist schreibt, desto mehr Geld verdient er.
• Je mehr Bagger graben, desto mehr graben sie.
• Je länger wir die Pumpe laufen lassen, desto mehr Wasser pumpen wir heraus.

Beispiel: Ein Auto verbraucht 6 Liter Benzin pro 100 Kilometer. Wie viele Liter Benzin wird es nach 250 Kilometern verbrauchen? Dies ist ein Beispiel für direkte Proportionalität, denn je mehr das Auto gefahren wird, desto mehr Benzin verbraucht es.

Vorgehensweise. Wir verwenden die folgende Tabelle, um zu verdeutlichen, was wir wissen und was wir berechnen wollen:

$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru } \end{eqnarray}$$

In der ersten Zeile haben wir die Daten, die wir vollständig kennen, aufgeschrieben. In der zweiten Zeile stehen auf der rechten Seite die Daten, die wir nicht kennen, und auf der linken Seite die Daten, für die wir die Unbekannte berechnen wollen. Die Spalten müssen immer die gleichen Daten enthalten, in diesem Fall muss die Spalte immer entweder Kilometer oder Liter enthalten.

Es gibt ein Hilfsmittel, das Ihnen bei der Berechnung dieses Beispiels hilft. Zeichnen Sie zunächst einen Pfeil von unten nach oben auf der rechten Seite, etwa so:

$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Wenn es sich um eine direkte Proportion handelt, dann zeichne denselben Pfeil links von unten nach oben:

$$\begin{eqnarray} \quad100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ \uparrow\quad250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Im nächsten Schritt bildest du die Brüche aus den Spalten in Richtung der Pfeile. So entspricht der Zähler der Zahl, bei der der Pfeil beginnt, und der Nenner der Zahl, bei der der Pfeil endet. Wir setzen diese Brüche in Gleichheit. So erhalten wir den Bruch $\frac{250}{100}$ aus der ersten Spalte (Kilometer) und den Bruch $\frac{x}{6}$ aus der zweiten Spalte (Liter):

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Dies ist eine gewöhnliche lineare Gleichung, die wir durch äquivalente Änderungen lösen können. Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit sechs, um den Bruch auf der rechten Seite loszuwerden:

$$6\cdot\frac{250}{100}=x$$

Jetzt müssen wir nur noch x berechnen:

$$x=6\cdot\frac{250}{100}=6\cdot\frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Das Ergebnis ist, dass das Auto nach 250 Kilometern 15 Liter Benzin verbraucht.

Umgekehrte Proportionalität

Wenn "je mehr ... desto weniger" wahr ist, handelt es sich um eine umgekehrte Proportionalität. Beispiel:

• Je mehr Seiten eines Buches wir lesen, desto weniger Seiten haben wir noch zu lesen.
• Je schneller unsere Internetgeschwindigkeit, desto schneller laden wir einen Film herunter.
• Je schneller wir Auto fahren, desto schneller sind wir am Ziel.
• Je mehr Arbeiter an einem Haus arbeiten, desto schneller wird das Haus fertiggestellt.

Beispiel: Sie haben 2 MB pro Sekunde Internet auf Ihrem Computer und Sie haben den Mitschnitt des Konzerts von Dada Patras in 450 Sekunden heruntergeladen. Wie lange würden Sie brauchen, um das gleiche Konzert herunterzuladen, wenn Sie 6 MB pro Sekunde Internet hätten?

Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der direkten Proportion - wir schreiben die Daten in eine Tabelle:

$$\begin{eqnarray} 2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ Sekunden }\\ 6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ Sekunden } \end{eqnarray}$$

Nun die Pfeile. Der rechte Pfeil wird wieder von unten nach oben verlaufen, hier ändert sich nichts. Da es sich aber um ein umgekehrtes Verhältnis handelt, geht der linke Pfeil in die entgegengesetzte Richtung, von oben nach unten.

$$\begin{eqnarray} \quad2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ Sekunden }\\ \downarrow\quad6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ Sekunden }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Der nächste Schritt ist derselbe - wir erstellen Brüche aus dieser Tabelle und folgen dabei wieder der Richtung der Pfeile. So erhalten wir die Brüche $\frac26$ und $\frac{x}{450}$, die wir in die Gleichung einsetzen:

$$\frac26=\frac{x}{450}$$

Multiplizieren Sie die Gleichung mit 450:

$$450\cdot\frac26=x$$

Und berechnen Sie x:

$$x=450\cdot\frac26=450\cdot\frac13=\frac{450}{3}=150$$

Wir können Dada Patras mit einer schnelleren Verbindung in 150 Sekunden herunterladen.

Beachten Sie, dass das Verfahren mit der Intuition übereinstimmt. Im letzten Schritt teilen wir 450 durch drei, was zu erwarten ist. Wenn wir die Geschwindigkeit von 2 MB/s auf 6 MB/s erhöhen, haben wir die dreifache Geschwindigkeit. Daher würden wir erwarten, dass die Zeit, die für das Herunterladen eines Films benötigt wird, dreimal kleiner ist $\rightarrow$ und das ist genau das, was der Bruch $\frac{450}{3}$ ausdrückt.

Beispiele

Erstes Beispiel: Ein Zimmer in einem Luxushotel kostet zehntausendfünfhundert Kronen für sieben Nächte. Wie viel würde das gleiche Zimmer kosten, wenn wir für zwölf Tage dorthin fahren wollten?

Als Erstes müssen wir die Zahlen in einer Tabelle aufschreiben:

$$\begin{eqnarray} 7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ Kronen }\\ 12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ Kronen } \end{eqnarray}$$

Jetzt müssen wir entscheiden, ob es sich um eine direkte oder eine umgekehrte Beziehung handelt. Stimmt es, dass wir umso weniger zahlen, je länger wir bleiben? Nein, das Gegenteil ist der Fall - je länger wir bleiben, desto mehr zahlen wir. Es ist also ein direktes Verhältnis. Füllen wir die Pfeile aus:

$$\begin{eqnarray} \quad7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ Kronen }\\ \uparrow\quad12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ Kronen }\qquad\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Benutze die Pfeile, um Brüche zu bilden:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10{,}500}$$

Berechnen wir die Gleichung:

$$\begin{eqnarray} \frac{12}{7}&=&\frac{x}{10{,}500}\\ 10{,}500\cdot\frac{12}{7}&=&x\\ x&=&10{,}500\cdot\frac{12}{7}\\ x&=&\frac{10{,}500\cdot12}{7}\\ x&=&18{,}000 \end{eqnarray}$$

Ein Zimmer für 12 Tage würde uns 18 000 Kronen kosten.

Zweites Beispiel: 10 Aushilfskräfte pflücken Erdbeeren und ernten 50 Kilo Erdbeeren pro Tag. Wie viele Kilogramm Erdbeeren pflücken 7 Aushilfskräfte an einem Tag?

Tragen wir die Daten in eine Tabelle ein:

$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ Brig }&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ 7\mbox{ Brig }&\quad…\quad&x\mbox{ kg} \end{eqnarray}$$

Handelt es sich um eine direkte oder eine umgekehrte Beziehung? In diesem Beispiel gibt es eine Tücke, denn im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen haben wir in der Zeile mit der Unbekannten weniger Arbeiter als in der ersten Zeile. Lassen Sie sich davon nicht täuschen, es handelt sich immer noch um ein direktes Verhältnis, denn je mehr Aushilfskräfte, desto mehr Erdbeeren werden gepflückt. Oder umgekehrt - je weniger Aushilfen, desto weniger Erdbeeren. Auch dies ist ein direktes Verhältnis. Beide Pfeile werden also von unten nach oben verlaufen.

$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ Brig }&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ \uparrow\quad7\mbox{ Brig }&\quad…\quad&x\mbox{ kg}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Wir werden Brüche bilden:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

und berechnen x:

$$\begin{eqnarray} \frac{7}{10}&=&\frac{x}{50}\\ 50\cdot\frac{7}{10}&=&x\\ x&=&50\cdot\frac{7}{10}\\ x&=&5\cdot7\\ x&=&35 \end{eqnarray}$$

Sieben Aushilfskräfte pflücken 35 Kilo Erdbeeren pro Tag.

Beispiel 3: Die durchschnittliche Schrittlänge von Georg beträgt 80 cm. Auf seinem Heimweg von der Schule zählt er, dass er 1300 Schritte gemacht hat. Wie viele Schritte hätte er gemacht, wenn ein Schritt einen Meter lang gewesen wäre?

Zunächst eine Tabelle. Man beachte, dass in der Aufgabe 80 cm und ein Meter vorkommen. In der Tabelle müssen wir jedoch die Daten in der gleichen Einheit angeben, also verwenden wir anstelle von einem Meter 100 cm - wir könnten auch das Gegenteil wählen und 1 Meter und 0,8 Meter schreiben.

$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ Schritt }\\ 100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ Schritt } \end{eqnarray}$$

Und welches ist das Verhältnis? Es gilt: Je länger der Schritt, desto weniger Schritte braucht man, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen. Der linke Pfeil geht von oben nach unten, der rechte Pfeil von unten nach oben.

$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ Schritt }\\ \downarrow\quad100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ Schritt }\qquad\uparrow \end{eqnarray}$$

Die Brüche sehen dann so aus:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Wir isolieren und berechnen x:

$$\begin{eqnarray} \frac{80}{100}&=&\frac{x}{1300}\\ 1300\cdot\frac{80}{100}&=&x\\ x&=&1300\cdot\frac45\\ x&=&\frac{1300\cdot4}{5}\\ x&=&1040 \end{eqnarray}$$

George bräuchte nur 1040 Schritte, um die gleiche Strecke zu gehen.

Die Formel

Wie aus den vorangegangenen Berechnungen ersichtlich, sind die Vorgehensweisen immer die gleichen und führen zu einfachen Formeln. Schreiben wir die Tabelle zunächst symbolisch auf:

$$\begin{eqnarray} a&\quad…\quad&b\\ c&\quad…\quad&x \end{eqnarray}$$

Dann gelten die folgenden Formeln. Für die direkte Proportionalität:

$$x=b\cdot\frac{c}{a}$$

Und für die umgekehrte Proportionalität:

$$x=b\cdot\frac{a}{c}$$