Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die in die Form ax + b = 0 umgewandelt werden kann, wobei a≠0. Ein konkretes Beispiel könnte wie folgt aussehen: 2x + 4 = 0 Die Lösung dieser Gleichung ist die Zahl −2, die sich wahrscheinlich ganz logisch herleiten lässt. Bei etwas größeren Zahlen wäre die Ableitung nicht so einfach, so dass ein konkreteres Verfahren erforderlich wäre.

Die Grundform der linearen Gleichung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekannte x enthält, die nicht multipliziert, subtrahiert usw. wird. Siehe Beispiele für verschiedene lineare Gleichungen:

$$\begin{eqnarray} 2x+7&=&0\\ x-2&=&74\\ (x+3)-(7x\cdot3)&=&-12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}&=&x\cdot\frac{45}{8}+\frac{x^2}{x} \end{eqnarray}$$

Wie Sie sehen können, kann eine lineare Gleichung viele verschiedene Formen annehmen. Um lineare Gleichungen gut lösen zu können, müssen wir sie in ihre Grundform umwandeln. Die Grundform einer linearen Gleichung sieht wie folgt aus:

$$ax+b=0,$$

Dabei ist x die Unbekannte und die Symbole a und b sind beliebige reelle Zahlen. Die Zahl a darf nicht Null sein, d. h. a≠0. Wir nennen den Ausdruck ax den linearen Term und den Ausdruck b den absoluten Term.

Bei der Berechnung einer linearen Gleichung können wir viele verschiedene gleichwertige Anpassungen verwenden (d. h. Anpassungen, die das Ergebnis der Gleichung nicht verändern). Es ist wichtig, diese Umstellungen zu kennen; ohne sie ist es unmöglich, eine kompliziertere Gleichung zu lösen. Wir können eine Gleichung in ihre Grundform zurückverwandeln, indem wir entweder die in der Gleichung vorkommenden Terme selbst verändern, oder wir können äquivalente Gleichungsänderungen verwenden.

Aus den vorherigen Beispielen: Die Gleichung 2x + 7 = 0 ist bereits in der Grundform, und es ist wahr, dass a = 2 und b = 7. Die zweite Gleichung, x − 2 = 74, ist nicht in der Grundform. Wir verwenden die Äquivalenzbehandlung und addieren die Zahl −74 zu beiden Seiten der Gleichung (oder subtrahieren die Zahl 74 von beiden Seiten). Wir erhalten die Gleichung x − 76 = 0. Diese Gleichung liegt bereits in der Grundform vor und ist gültig a = 1 und b = −76.

Die vorletzte Gleichung ist weit von der Grundform entfernt, aber wir können auch sie abändern. Zunächst "erzeugen" wir eine Null auf der rechten Seite. Wir fügen den Ausdruck 12x in die Gleichung ein, wodurch die rechte Seite auf Null gesetzt wird, denn (−12x)+12x = 0. Die ganze Gleichung sieht dann so aus:

$$(x+3)-(7x\cdot3)+12x=0$$

Jetzt müssen wir nur noch die Klammern hinzufügen.

$$\begin{eqnarray} (x+3)-(7x\cdot3)+12x&=&0\\ x+3-21x+12x&=&0\\ -8x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

Diese lineare Gleichung ist in ihrer Grundform, und es gilt, dass a = −8 und b = 3.

In der letzten Gleichung müssen wir die Brüche entfernen, und wir müssen auch x² entfernen, weil es einen solchen Ausdruck in einer linearen Gleichung nicht geben kann. Wir können jedoch den Bruch $\frac{x^2}{x}$ einfach auf den Ausdruck x reduzieren. So erhalten wir die Gleichung

$$\frac{x}{2}+\frac{3x}{72}=x\cdot\frac{45}{8}+x$$

Wir werden die Brüche los, indem wir die ganze Gleichung mit 72 multiplizieren:

$$72\cdot\frac{x}{2}+72\cdot\frac{3x}{72}=72x\cdot\frac{45}{8}+72x$$

Trunkieren:

$$36x+3x=9x\cdot45+72x$$

Und wir können diese Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln, indem wir einfach alle Terme auf die linke Seite umwandeln und sie zusammenzählen:

$$-438x=0$$

Es ist wahr, dass a = −438 und b = 0.

Wie man eine lineare Gleichung löst

Wenn wir eine lineare Gleichung in der Grundform haben, ist sie bereits einfach zu lösen. Lassen Sie uns das anhand eines Beispiels veranschaulichen: 3x − 18 = 0 Wovon müssen wir die Zahl 18 subtrahieren, um Null zu erhalten? Nun, wieder von der Zahl 18. Damit also der Ausdruck 3x − 18 gleich Null ist, muss der Ausdruck 3x gleich 18 sein, dann erhalten wir 18 − 18 = 0. Wann wird der Ausdruck 3x gleich 18 sein? Genau dann, wenn x = 6 gleich ist, denn 3 · 6 = 18.

Wie können wir daraus das allgemeine Verfahren ableiten? Als Erstes müssen wir herausfinden, was der lineare Term ax ist. Dazu wandeln wir den absoluten Term in die rechte Seite der Gleichung um, d. h. wir setzen −b in die Gleichung ein. Dadurch erhalten wir eine Gleichung der Form ax + b − b = −b, was dasselbe ist wie ax = −b. Im Fall des vorherigen Beispiels würde dies 3x + 18 − 18 = 18 ergeben, was 3x = 18 ist. Erinnern Sie sich daran, dass die Zahl b gleich b = −18 war. Wenn wir also −b hinzufügen, fügen wir −(−18) hinzu, und dies ist gleich +18.

Die Gleichung lautet ax = −b. Wie erhalten wir x direkt? Im Beispiel haben wir nach x gesucht, das, wenn wir es mit drei multiplizieren, 18 ergibt. Was haben wir tatsächlich getan? Wir haben durch 18/3 = 6 dividiert. Wir haben also den Ausdruck auf der rechten Seite (−b) genommen und ihn durch a dividiert, im Beispiel durch drei. Aus ax = −b erhalten wir also

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Die ganze Prozedur, angewandt auf das erste Beispiel, sieht so aus:

$$\begin{eqnarray} 3x-18&=&0\quad/+18\\ 3x&=&18\quad/:3\\ x&=&6 \end{eqnarray}$$

Geometrische Bedeutung

Wenn wir die lineare Gleichung in ihre Grundform umwandeln, erhalten wir eine lineare Funktion auf der linken Seite. Der Graph der linearen Funktion ist eine gerade Linie. Da die Grundform der linearen Gleichung wie folgt aussieht ax + b = 0, sind die Lösungen dieser Gleichung alle Punkte, in denen die Gerade (der Graph der linearen Funktion) die Achse x schneidet (die auch der Graph der Funktion f(x) = 0 ist, d. h. die rechte Seite).

Wir haben zum Beispiel festgestellt, dass die Lösung von 3x − 18 = 0 x = 6 ist. Was bedeutet das? Dass der Graph der Funktion 3x − 18 die Achse x in dem Punkt x = 6 schneidet.

Versuchen wir nun, die Gleichung 5x + 2 = 2x − 7 grafisch zu lösen. Wie können wir vorgehen? Wir können die Gleichung in ihre Grundform umwandeln, d. h. −2x hinzufügen, um 3x + 2 = −7 zu erhalten, und dann 7 hinzufügen: 3x + 9 = 0. Nun zeichnen wir den Graphen der linearen Funktion y = 3x + 9 auf und sehen, wann er die Achse x schneidet.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Gleichung überhaupt nicht zu ändern, sondern die Graphen der Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung zeichnen zu lassen. Das heißt, wir zeichnen die Graphen der Funktionen f(x) = 5x + 2 und g(x) = 2x − 7.

Diese beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der mit A bezeichnet ist. Wie lautet die A x -Koordinate dieses Punktes? Wiederum x = −3. Die grafische Lösung der Gleichung 5x + 2 = 2x − 7 ist also die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen auf der linken und rechten Seite.

Gelöste Beispiele

Erstes Beispiel: Versuchen wir, die Gleichung 7x − 14 = 0 zu lösen. Die Situation ist einfach, die Gleichung liegt in der Grundform vor, also wenden wir einfach das Verfahren an:

$$\begin{eqnarray} 7x-14&=&0\quad/+14\\ 7x&=&14\quad/:7\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Zweites Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 2x + 10 = 0. Die Gleichung ist wieder in ihrer Grundform, Sie müssen nur darauf achten, dass b positiv ist, damit Sie nach der Umstellung eine negative Zahl auf der rechten Seite erhalten:

$$\begin{eqnarray} 2x+10&=&0\quad/-10\\ 2x&=&-10\quad/:2\\ x&=&-5 \end{eqnarray}$$

Drittes Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 15 − 3x = 0. Die Gleichung ist fast in ihrer Grundform, wir müssen nur noch die Unbekannte x an die erste Stelle setzen. Dann haben wir die Form der Gleichung −3x + 15 = 0. Auch hier ist zu beachten, dass wir ein Minus vor dem linearen Term haben, was vorher nicht der Fall war. Aber die Anpassungen sind genau dieselben:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/:(-3)\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Wir können das Beispiel auch auf eine etwas andere, längere Weise lösen. Anstatt die Gleichung direkt durch −3 zu dividieren, können wir die Gleichung zunächst mit −1 multiplizieren und so die beiden Minuszeichen loswerden. Und dann können wir die Gleichung durch drei teilen:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/\cdot(-1)\\ 3x&=&15\quad/:3\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Beispiel 4: Lösen Sie die lineare Gleichung

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Diese Gleichung ist etwas komplizierter, weil wir Brüche haben. Als Erstes müssen wir die Brüche loswerden. Am besten multipliziert man die gesamte Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner. Wir haben zwei Nenner, 4 und 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 4. Wenn Sie keine Lust zum Rechnen haben, können Sie die ganze Gleichung auch mit einem Vielfachen aller Nenner multiplizieren, z. B. 4 · 2 = 8, aber das ist nicht empfehlenswert, weil Sie sich damit das Leben noch schwerer machen. Wenn wir die Gleichung mit vier multiplizieren, werden wir die Brüche los, indem wir sie einzeln vereinfachen:

$$\begin{eqnarray} 3+\frac{x}{4}&=&\frac{x}{2}\quad/\cdot4\\ 4\cdot3+4\cdot\frac{x}{4}&=&4\cdot\frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}&=&\frac{4x}{2}\\ 12+x&=&2x \end{eqnarray}$$

Nun wandeln wir die Gleichung in ihre Grundform um: x − 12 = 0 und aus dieser Gleichung können wir bereits erkennen, dass x = 12.

Fünftes Beispiel/Wortaufgabe: Nehmen wir an, es gibt zwei Brüder, Thomas und Jindra. Jindra ging direkt nach der Highschool ins Berufsleben, während Tomas ein College besuchte, das er insgesamt fünf Jahre lang studierte. Jindra erhielt jeden Monat ein Gehalt von 25 000 CZK. Tomáš absolvierte zwar ein Studium der Rekreationswissenschaften mit der Spezialisierung auf Liegetechnik, bekam aber eine Stelle in der staatlichen Verwaltung, wo er 35 000 CZK pro Monat erhielt. Wie lange wird Tomáš insgesamt brauchen, um so viel Geld zu verdienen wie Jindra? Zur Verdeutlichung: Jindra hat in fünf Jahren 5 · 12 · 25 000 Kronen verdient, während Tomas nach fünf Jahren nichts hat. In wie vielen Monaten wird dieser Wert gleich hoch sein?

Anhand des Problems können wir eine lineare Gleichung wie folgt aufstellen: Die Variable x steht für die Anzahl der Monate, die wir suchen, wobei x = 0 die Nullmonate seit Tomas' Studienabschluss bezeichnet.

Als erstes müssen wir eine Funktion konstruieren, die das Einkommen von Tomas in Abhängigkeit von der Anzahl der Monate bestimmt. Wenn wir uns zum Beispiel für Tomas' Einkommen nach sechs Monaten interessieren, dann berechnen wir einfach, dass 35 000 · 6 = 210 000 Kronen. Im Allgemeinen können wir schreiben, dass Tomas nach x Monaten insgesamt 35 000 · x Kronen verdient hat.

Für Jindra wäre es ähnlich: 25 000 · x, aber wir müssen den Betrag addieren, den er während des Studiums von Tomas verdient hat. Tomas studierte fünf Jahre lang, also verdiente Jindra während seines Studiums 5 · 12 · 25 000 Kronen. Die gesamte Verschreibung für Tomas würde lauten: 5 · 12 · 25 000 + 25 000 · x.

Wir setzen diese Funktionen in die Gleichung ein, weil wir uns dafür interessieren, für welche x diese Verdienste gleich sind:

$$ 5 \cdot 12 \cdot 25 000 + 25 000 \cdot x = 35 000 \cdot x $$

Wir ändern einfach die Gleichung, indem wir alle x auf eine Seite der Gleichung übertragen:

$$ 10000x = 5 \cdot 12 \cdot 25 000 $$

Und schließlich dividieren wir einfach 10 000:

$$ x = 5 \cdot 12 \cdot 2{,}5 = 150 $$

In 150 Monaten werden sie beide das gleiche Geld haben. Jindra verdiente während Thomas' Studienzeit ein hübsches 5 · 12 · 25 000 = 1 500 000 Kronen, und in den nächsten 150 Monaten verdiente er 25 000 · 150 = 3 750 000, also insgesamt 1 500 000 + 3 750 000 = 5 250 000 Kronen. Tomas arbeitete nur diese 150 Monate und verdiente in dieser Zeit 35 000 · 150 = 5 250 000 Kronen. Wir können sehen, dass er nach fünf Jahren Studium und weiteren 150 Monaten wirklich das Gleiche verdient hat.

Andere Beispiele

Berechnen Sie die folgende lineare Gleichung:

$$2\cdot(x - 7) = 6$$

Zuerst multiplizieren wir die Klammer:

$$2x-14=6$$

Nun behalten wir den Ausdruck mit der Unbekannten auf der linken Seite und übertragen alles andere auf die rechte Seite:

$$2x=20$$

und schließlich dividieren wir durch zwei.

$$x=10$$

Berechnen Sie die Gleichung

$$3\cdot(3 - x) + 5\cdot(x - 2) = 0$$

Auch hier multiplizieren wir zuerst die Klammern:

$$9-3x+5x-10=0$$

Addiere, was addiert werden kann und übertrage die Variablen auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite:

$$\begin{eqnarray} 9-3x+5x-10&=&0\\ 2x-1&=&0\\ 2x&=&1 \end{eqnarray}$$

Zum Schluss die ganze Gleichung durch zwei dividieren:

$$x=\frac12$$