Äquivalente Modifikationen von Ungleichungen

Bei der Umformung von Ungleichungen verwenden wir äquivalente Umformungen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie die Gültigkeit der Ungleichung nicht verändern. Der Sinn von äquivalenten Anpassungen ist es, die Ungleichung in eine einfachere Form zu bringen, aus der wir das Ergebnis der Ungleichung bereits berechnen können.

Was ist eine Ungleichung?

Wir haben zwei Funktionen f(x) und g(x). Dann verstehen wir unter einer Ungleichung einen Ausdruck in einer dieser Formen:

$$\begin{eqnarray} f(x) < g(x),&\quad& f(x) > g(x)\\ f(x)\le g(x),&\quad& f(x)\ge g(x) \end{eqnarray}$$

Die Lösungen einer Ungleichung sind alle x der (meist) reellen Zahlenmenge, für die die Ungleichung erfüllt ist. Beispiel für eine Ungleichung: 6x<12. Hier sind f(x) = 6x und g(x) = 12. 6x ist die linke Seite der Ungleichung, 12 die rechte Seite. Die Lösungen dieser Ungleichung sind alle x, die kleiner als zwei sind: x<2 Somit ist das Intervall (−∞, 2).

Seitenwechsel mit Vorzeichenwechsel

Bei den Gleichungen können wir einfach die rechte Seite mit der linken Seite vertauschen. Bei Ungleichungen können wir dies nicht tun. Zum Beispiel haben wir eine Ungleichung x<5, also kann sie nicht auch 5 < x lauten. Im ersten Fall ist x kleiner als fünf, im zweiten Fall ist x größer als fünf. Wenn wir jedoch das Vorzeichen der Ungleichung ändern und gleichzeitig die Seite vertauschen, ist dies bereits eine gleichwertige Anpassung.

Wenn wir also die Ungleichung f(x) < g(x) haben, dann können wir auch g(x) > f(x) schreiben. Wir haben die Seiten vertauscht, aber gleichzeitig haben wir > statt < geschrieben. Ähnlich verhält es sich mit kleiner oder gleich: Wir können die Ungleichung f(x)≤ g(x) in g(x)≥ f(x) ändern.

Hinzufügen eines Ausdrucks

Wir können eine Zahl oder Funktion zu einer Ungleichung hinzufügen, die auf demselben Gebiet definiert ist wie das Gebiet, auf dem wir die Ungleichung lösen. Beispiel: Wir haben die Ungleichung x>0. Zu dieser Ungleichung können wir zum Beispiel die Zahl drei hinzufügen. Wir erhalten die Ungleichung x + 3>3. Das macht Sinn.

Auf ähnliche Weise können wir die gesamte Funktion addieren. Wenn wir die Ungleichung x > −3x + 7 haben, können wir 3x zu der Ungleichung addieren und erhalten:

$$\begin{eqnarray} x& > &-3x+7\quad/+3x\\ x+3x& > &-3x+3x+7\\ 4x& > &7 \end{eqnarray}$$

Natürlich können wir den Ausdruck auf diese Weise subtrahieren - oder wir können eine negative Zahl hinzufügen.

Multiplikation einer Ungleichung mit einem positiven Ausdruck

Wir können eine Ungleichung nicht einfach mit einem Ausdruck multiplizieren, wie wir es bei Gleichungen tun könnten. Die Regel besagt, dass die Multiplikation mit einem Ausdruck, der immer positiv ist, in Ordnung ist. Wenn wir jedoch mit einem negativen Ausdruck multiplizieren, müssen wir das Vorzeichen ändern (siehe das nächste Kapitel). Natürlich darf man, wie bei Gleichungen, nicht mit einem Ausdruck von Null multiplizieren!

Was bedeutet ein positiver Ausdruck immer? Der einfachste Ausdruck, der immer positiv ist, ist eine positive Zahl. Wenn wir also eine Ungleichung x>2 haben, können wir sie mit zehn multiplizieren, was eine positive Zahl ist, und die Gültigkeit der Ungleichung wird sich nicht ändern. Wir erhalten die Ungleichung 10x>20. Natürlich können wir auch durch eine positive Zahl dividieren, so dass wir die Ungleichung 2x>4 aus dieser modifizierten Ungleichung erhalten, indem wir durch fünf dividieren.

Aber wir können die Ungleichung nicht einfach mit der Variablen x multiplizieren, denn im Allgemeinen kann die Variable x sowohl positive als auch negative Werte annehmen, und das ist nicht erlaubt. Es gibt jedoch Situationen, in denen x immer positiv sein wird. Wenn wir zum Beispiel ein geometrisches Beispiel berechnen, ist es möglich, dass die Variable x die Länge eines Linienabschnitts darstellt. Die Länge kann nicht negativ sein (schlimmstenfalls Null). Wenn wir also wissen, dass x die Länge eines Linienabschnitts ist, können wir die Variable x mit der Ungleichung multiplizieren.

Der nächste nicht-negative Ausdruck ist das Quadrat des Exponenten. Wenn Sie eine Zahl quadrieren, ist sie positiv (oder Null). Wenn wir also eine Ungleichung

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

haben, können wir sie mit dem Ausdruck x² multiplizieren. Wir erhalten: 1>2x² Vorausgesetzt natürlich, dass x nicht gleich Null ist. Es gibt mehrere Funktionen, die immer positiv sind. Solche goniometrischen Funktionen Sinus und Kosinus haben als Wertebereich die Menge <−1,1>. Diese ist nicht immer positiv. Addiert man aber zwei dazu, erhält man den Wertebereich von <1, 3>, der bereits ein positives Intervall ist. Wir könnten eine Ungleichung mit einer solchen Funktion multiplizieren. Wenn wir also eine Ungleichung haben

$$\frac{x+3}{\cos(x)+3}\le 3x-5,$$

haben, können wir das Ganze mit dem Ausdruck cos(x)+3 multiplizieren, weil das immer eine positive Funktion ist. Wir erhalten:

$$x+3\le(3x-5)(\cos(x)+3).$$

Multiplikation einer Ungleichung mit einem stets negativen Ausdruck

Bei negativen Zahlen und Ausdrücken ist die Situation etwas komplizierter. Siehe das Beispiel: 1<2. Diese Ungleichung gilt natürlich. Was passiert, wenn wir die ganze Ungleichung mit minus eins multiplizieren? Wir erhalten −1<−2. Ist diese Ungleichung gültig? Nein, minus zwei ist kleiner als minus eins. Offensichtlich ist die Multiplikation mit einer negativen Zahl nicht gleichbedeutend mit einer Änderung der Ungleichung.

Wenn wir jedoch bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl in einer Ungleichung auch das Vorzeichen der Ungleichung ändern, handelt es sich bereits um eine gleichwertige Anpassung. Wenn wir die Ungleichung 1<2 mit −1 multiplizieren und gleichzeitig > statt < schreiben, nehmen wir eine gleichwertige Anpassung vor und erhalten die Ungleichung −1>−2.

Die Multiplikation mit negativen Zahlen ist einfach, bei der Multiplikation von Ausdrücken (Funktionen) ist die Situation schlechter. Warum können wir die Ungleichung nicht mit der Variablen x multiplizieren? Wenn die Variable positive Werte annehmen würde, würde sie ihr Vorzeichen nicht ändern. Wenn sie negative Werte annimmt, müssen wir das Vorzeichen ändern. Im Allgemeinen können beide Fälle auftreten, wenn x nicht in irgendeiner Weise eingeschränkt ist, kann die Variable sowohl negativ als auch positiv sein. Beispiel:

$$\frac{1}{x}>1$$

Der falsche Ansatz wäre es, die Ungleichung mit der Variablen x zu multiplizieren. Dann bekämen wir nämlich 1>x, und die Lösung sind alle x, die kleiner als eins sind (natürlich immer noch mit der Einschränkung, dass x von Null verschieden ist). Was aber, wenn wir die Zahl −1 in die ursprüngliche Ungleichung nach x einsetzen? Wir erhalten:

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{-1}&>&1\\ -1&>&1 \end{eqnarray}$$

was natürlich nicht wahr ist. Daher können wir die Ungleichung nicht einfach mit der Variablen x multiplizieren.

So wie wir im vorherigen Kapitel Ausdrücke hatten, die immer positiv sind, können wir auch Ausdrücke haben, die immer negativ sind. Der einfachste Weg, sie zu erhalten, ist, ein Minuszeichen vor einen stets positiven Ausdruck zu setzen. Im vorigen Kapitel haben wir festgestellt, dass die Funktion cos(x)+3 immer positiv ist. Wenn wir ein Minuszeichen vor den gesamten Ausdruck setzen, erhalten wir eine immer negative Funktion: −(cos(x)+3).

Multiplizieren und Subtrahieren einer Ungleichung mit einer natürlichen Zahl

Die Verstärkung einer Ungleichung ist im Allgemeinen keine gleichwertige Behandlung, wie bei Gleichungen. Betrachten wir die folgende Ungleichung: x>−2 Was passiert, wenn wir sie mit dem Quadrat multiplizieren? Wir erhalten: x²>4 Ist dies eine äquivalente Ungleichung? Was passiert, wenn wir in beide Gleichungen eine Null nach x einsetzen? Im ersten Fall haben wir 0>−2, was wahr ist. Im zweiten Fall haben wir 0>4, was nicht wahr ist. Wir haben also keine gleichwertige Anpassung vorgenommen.

Wann kann man eine Ungleichung mit einer natürlichen Zahl multiplizieren? Wenn beide Seiten nicht negativ sind (positiv oder Null). Dann ist es kein Problem. Beispiel:

$$\begin{eqnarray} 5&>&2\quad/^2\\ 25&>&4 \end{eqnarray}$$

Ein anderes Beispiel wäre ein absoluter Wert, der eine nichtnegative Zahl ergibt. Dann können wir diese Ungleichung sicher in die andere einsetzen:

$$\begin{eqnarray} |x|&<&3\quad/^2\\ |x|^2&<&9 \end{eqnarray}$$

Eine Quadratwurzel verhält sich genau so wie eine Potenz. Wenn beide Seiten nicht-negativ sind, können wir die Gleichung mit der natürlichen Quadratwurzel quadrieren. Wir können also die Quadratwurzel aus der vorherigen Ungleichung in ihre ursprüngliche Form zurückführen:

$$\begin{eqnarray} |x|^2&<&9\quad/\sqrt{ }\\ |x|&<&3 \end{eqnarray}$$

Entfernen von unnötigen Ausdrücken

Oft lösen wir eine Ungleichung der Form f(x)>0. In diesem Fall ist die Funktion f komplex und könnte durch das Weglassen einiger Ausdrücke vereinfacht werden. Schauen Sie sich die folgende Ungleichung an: 2x>0 Diese Ungleichung hat offensichtlich eine Lösung, wenn x>0. Wenn x negativ ist, ist auch 2x negativ. Multipliziert man eine negative Zahl mit zwei, bleibt die Zahl negativ. Eine Zwei hat nicht die Kraft, das Vorzeichen des folgenden Ausdrucks nach der Multiplikation zu ändern.

Wir können immer noch versuchen, die Ungleichungen 5x>0, 157x>0 und π x>0 zu lösen. Die Lösung ist in allen Fällen dieselbe: x>0. Ein positiver Koeffizient vor x ändert nichts an der Gültigkeit der Ungleichung.

Formal werden wir diese Koeffizienten los, indem wir die Ungleichung wie folgt durch den gegebenen Koeffizienten dividieren:

$$\begin{eqnarray} 2x&>&0\quad/:2\\ x&>&0 \end{eqnarray}$$

Beachten Sie, dass der positive Koeffizient, nennen wir ihn a, notwendigerweise die gesamte linke Seite multiplizieren muss, um ihn zu entfernen. Wir können die Zwei nicht aus dieser Ungleichung entfernen: 2x + 7>0, weil die Zwei nicht die gesamte linke Seite multipliziert. Aber wir können die gesamte Gleichung durch zwei teilen und erhalten die Ungleichung x + 3,5>0.

Ähnlich verhält es sich bei diesem Beispiel:

$$x^2\cdot(x-3)>0$$

Es mag kompliziert aussehen, aber der Ausdruck x² ist immer nicht-negativ, so dass er das Vorzeichen der folgenden Klammer nicht ändert. Wir können also diesen Ausdruck aus der Ungleichung entfernen - teilen Sie die Ungleichung durch x² und wir erhalten:

$$x-3>0$$

Wir müssen nur die Bedingung hinzufügen, dass x²≠0 nicht durch Null dividiert werden kann. Allerdings ist x² nur dann Null, wenn x Null ist und für x = 0 ist die Ungleichung nicht erfüllt. Das liegt daran, dass wir (x = 0): 0(0 − 3)>0 erhalten und 0>0 nicht wahr ist.

Dies ist keine zusätzliche Methode, sondern nur eine praktische Anwendung des vorherigen Punktes über das Multiplizieren und Dividieren durch einen positiven Ausdruck.