Binomische Gleichungen
Eine binomische Gleichung ist eine algebraische Gleichung.
Definition
Die allgemeine Form einer binomischen Gleichung sieht wie folgt aus:
$$ax^n+b=0,$$
wobei a, b beliebige reelle oder komplexe Zahlen sind. Wir nehmen weiter an, dass a, b≠0 und n natürliche Zahlen sind.
Spezialfälle der Binomialgleichung:
- n = 1: Die Gleichung hat dann die Form ax + b = 0 und ist eine lineare Gleichung.
- n = 2: Die Gleichung hat die Form ax2 + b und ist eine quadratische Gleichung.
Jede binomische Gleichung kann in eine normalisierte Form umgewandelt werden, indem man die Gleichung durch a dividiert. Die Gleichung hat dann die Form:
$$x^n+\frac{b}{a}=0$$
Wir können immer noch die Substitution vornehmen und anstelle des Bruches b/a c schreiben. Wenn also c = b/a, dann hat die Gleichung die Form:
$$x^n+c=0$$
So lösen Sie eine binomische Gleichung
Wir wandeln die Gleichung zunächst in die normalisierte Form um und verschieben dann c auf die rechte Seite, um die Form der Gleichung zu erhalten
$$x^n=-c$$
Anschließend quadrieren wir die gesamte Gleichung mit n-te Quadratwurzel.
$$x=\sqrt[n]{-c}$$
Anschließend lösen wir diese Gleichung mit der Formel für die Quadratwurzel aus komplexen Zahlen. Sie sieht folgendermaßen aus:
$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$$
wobei
$$z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$
und die gesamte Formel gilt für k = 0, 1, …, n − 1.
Beispiel: Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung x3 − 4 = 0. Nach Normalisierung und Subtraktion hat die Gleichung die Form:
$$x=\sqrt[3]{4}$$
Da die Zahl c = 4 also keine imaginäre Komponente hat, ist der Winkel α gleich Null und kann aus der Formel gestrichen werden. k-diese Wurzel der Gleichung hat die Form:
$$x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]$$
Nun müssen wir diese Formel für k = 0, 1, 2 anwenden. Für k = 0 erhalten wir:
$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}$$
Für k = 1:
$$\begin{eqnarray} x_1=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$
Für k = 2:
$$\begin{eqnarray} x_2=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$
Und das war's, wir haben drei Wurzeln x0, x1 und x2.