Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekannte enthält, die mit der anderen multipliziert wird. Wenn eine Gleichung eine Unbekannte enthält, die mit einem höheren Exponenten als die andere multipliziert wird, handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung.

Beschreibung einer quadratischen Gleichung

Die Grundform einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

$$ax^2+bx+c=0$$

Die Werte von a, b, c sind reelle Zahlen und der Wert von a ist von Null verschieden. Andere Bezeichnungen:

• ax² wird der quadratische Term genannt,
• bx wird der lineare Term genannt,
• c wird der absolute Term genannt.

Jede quadratische Gleichung kann durch äquivalente Modifikationen oder andere Modifikationen in ihre Grundform zurückgeführt werden. Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung könnte die folgende Gleichung sein:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Eine schwierigere Frage ist vielleicht schon, ob dies auch eine quadratische Gleichung ist:

$$(x+1)\cdot(x+2)=7.$$

Nirgends ist x² zu sehen, und auf der rechten Seite gibt es keine Null. Um die rechte Seite zu lösen, subtrahiert man einfach sieben und erhält die Form

$$(x+1)\cdot(x+2)-7=0.$$

Es gibt immer noch kein x². Wir multiplizieren die Klammern und erhalten:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Wir haben jetzt x². Wenn wir sie zusammenzählen, erhalten wir schließlich die Grundform der quadratischen Gleichung:

$$x^2+3x-5=0.$$

Was ist mit dem folgenden Beispiel, ist es eine quadratische Gleichung? Kann sie in ihre Grundform umgewandelt werden?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Die Antwort ist, dass sie das nicht kann. Denn wenn wir die gesamte Gleichung mit der Variablen x multiplizieren, um die Variable im Nenner des Bruchs loszuwerden, erhalten wir:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Jetzt haben wir x³, was nicht in einer quadratischen Gleichung vorkommen kann.

Es gibt spezielle Arten von quadratischen Gleichungen, je nachdem, welchen Wert die Koeffizienten a, b, und c haben.

Die Werte der Koeffizienten

Für die nächsten Kapitel ist es absolut wichtig, dass Sie die Koeffizienten von a, b und c bestimmen können. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Bestimmen Sie die Koeffizienten für die Gleichung 3x² + 4x + 7 = 0. Hier ist ein einfaches Beispiel: a = 3, b = 4 und c = 7.

Wie wäre es zum Beispiel mit der Gleichung 3x² − x + 2 = 0? Die Werte von a und c sind klar, a = 3 und c = 2, aber was ist mit b? Der Fehler wäre, das b = 1 zu schreiben. Stellen Sie sich vor, dass x eine Eins vorangestellt wird, etwa so: 3x² − 1x + 2 = 0. Jetzt ist es vielleicht offensichtlicher, dass b = −1.

Ein weiteres interessantes Beispiel: x² − 3 = 0. Auch hier könnte es ein Problem mit dem Koeffizienten von b geben, die anderen sind offensichtlich: a = 1 und c = −3. Welchen Wert hat der Koeffizient von b? Der lineare Term kommt in dieser Gleichung überhaupt nicht vor, es ist das Gleiche, als ob wir die Gleichung in der Form x² + 0x − 3 = 0 schreiben würden. b = 0 ist also richtig.

Ein komplizierteres Beispiel:

$$5x^2+3x+\pi\cdot x=0$$

In dieser Gleichung gibt es zwei Verräter. Es gibt keinen absoluten Term, also c = 0. Der quadratische Term ist offensichtlich, also a = 5. Aber was ist mit dem verfluchten b? Wir können die Gleichung noch etwas umstellen, indem wir die Variable x aus den beiden Ausdrücken wie folgt extrahieren:

$$5x^2+(3+\pi)x=0$$

Der Koeffizient b ist wieder das, was "vor" der Variablen x steht, also ist die ganze Klammer gleich dem Koeffizienten b = (3+π). Ähnliche Gleichung:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Die ersten beiden Koeffizienten sind offensichtlich: a = −1 und b = 4. Was ist der absolute Term? Dies sind die verbleibenden Terme, bei denen es keine x gibt. Also die $c=1-\sqrt{2}$. Keine Sorge wegen der Quadratwurzel, die beißt nicht, das ist eine normale Zahl.

Und wie lauten die Werte für diese Gleichung? (x + 1)(x + 2) = −2x Zunächst müssen wir die Gleichung in ihre Grundform umwandeln. Wir multiplizieren die Klammern und erhalten

$$x^2+3x+2=-2x$$

und addieren schließlich zur Gleichung 2x, um die Null auf der rechten Seite zu erhalten:

$$x^2+5x+2=0.$$

Die Werte sind bereits offensichtlich: a = 1, b = 5, c = 2.

Eine rein quadratische Gleichung

Wenn b = 0 eine rein quadratische Gleichung ist, wird sie ähnlich wie eine lineare Gleichung gelöst. Diese Gleichung hat also die Grundform:

$$ax^2+c=0$$

Da b = 0, fällt der gesamte lineare Term bx aus der Gleichung heraus, weil 0x = 0. Wir lösen die Gleichung, indem wir zunächst den absoluten Term subtrahieren. Das heißt, wir subtrahieren den Wert von c von der Gleichung. Das Ergebnis ist:

$$\begin{eqnarray} ax^2+c&=&0\quad/-c\\ ax^2&=&-c \end{eqnarray}$$

Als nächstes dividieren wir die Gleichung durch a. Wir erhalten die Form:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Schließlich subtrahieren wir die gesamte Gleichung. Der Bruch auf der rechten Seite darf nicht negativ sein, da man eine negative Zahl nicht subtrahieren kann. Wir erhalten das Ergebnis:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},\quad x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Beachten Sie, dass wir zwei Ergebnisse erhalten, ein positives und ein negatives. Das wird im Beispiel besser zu sehen sein. Berechnen wir nun die Gleichung

$$2x^2-8=0.$$

Nach diesem Verfahren subtrahieren wir zunächst das Glied c. Beachten Sie, dass das Glied c in diesem Fall möglicherweise negativ ist, wir subtrahieren also eine negative Zahl und addieren eine positive. Wir addieren also +8 zu der gesamten Gleichung (das Ziel ist es, die 8 auf der rechten Seite zu erhalten). Wir erhalten die Form:

$$2x^2=8$$

Als Nächstes wird die Gleichung durch a geteilt, was zwei ergibt. Nach dem Dividieren erhalten wir die Form:

$$x^2=4$$

Jetzt subtrahieren.

$$x_1=2,\quad x_2=-2$$

Warum gibt es ein Minus zwei? Weil minus zwei mal minus zwei vier ist. Wir können uns auch die grafische Lösung ansehen: Wir sehen, dass der Graph der Funktion 2x² − 8 = 0 die Achse x genau in den Punkten x₁ = −2 und x₂ = 2 schneidet.

Lösen Sie die Gleichung

$$80x^2-5=0.$$

Setzen Sie fünf in die Gleichung ein:

$$80x^2=5$$

Dividiere durch 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Kürzen Sie den Bruch ab:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Subtrahieren:

$$x_1=\frac14,\quad x_2=-\frac14$$

Quadratische Gleichung ohne absoluten Term

Ein weiterer Spezialfall einer quadratischen Gleichung liegt vor, wenn der absolute Term c gleich Null ist. Die Gleichung hat die Grundform:

$$ax^2+bx=0$$

Diese Art von Gleichung wird durch Verschieben der Unbekannten gelöst:

$$x(ax + b) = 0.$$

Hier können wir bereits ein ziemlich klares Ergebnis sehen. Auch hier ergeben sich zwei Wurzeln der Gleichung, aber eine davon ist immer gleich Null. Die gesamte linke Seite hat nämlich die Form des Produkts zweier Ausdrücke: x und dann die Klammer (ax + b). Wann ist dieses Produkt gleich Null? Wenn mindestens einer dieser Ausdrücke gleich Null ist. Die linke Seite ist also in zwei Fällen gleich Null:

$$x=0\quad\mbox{ Oder }\quad ax+b=0.$$

Wir haben bereits das erste Ergebnis der Gleichung, es ist also gleich Null. Das nächste erhalten wir, wenn wir die lineare Gleichung ax + b = 0 lösen. Wir wissen aus dem Artikel über lineare Gleichungen, dass diese Gleichung genau eine Lösung hat, die gleich ist:

$$x=-\frac{b}{a}$$

So können wir nun das Ergebnis der gesamten quadratischen Gleichung ax² + bx = 0 aufschreiben:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Beispiel:

$$6x^2+3x=0$$

Drucken wir x aus:

$$x(6x+3)=0$$

Die erste Lösung ist x = 0. Die zweite Lösung finden wir durch Lösen der linearen Gleichung 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac36=-\frac12.$$

Schreiben wir das Ergebnis auf:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac12.$$

Auch hier können wir uns den Graphen der Funktion ansehen, der die Achse x in diesen Punkten schneidet:

Andere Lösungswege

Dies waren die grundlegenden Techniken für bestimmte Arten von quadratischen Gleichungen. Eine allgemeine quadratische Gleichung wird mit Hilfe einer Diskriminante gelöst. Andere Arten von Gleichungen umfassen eine quadratische Gleichung mit einem Parameter.