Quadratische Gleichungen in komplexen Zahlen

Wenn man beim Lösen einer quadratischen Gleichung eine negative Diskriminante erhält, bedeutet dies, dass die Gleichung keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat. Diese Gleichung hat jedoch immer eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen.

Begründung

Wir wollen versuchen, die folgende quadratische Gleichung zu lösen: x² + 2x + 5 = 0 Als Erstes muss die Diskriminante berechnet werden: D = 4 − 20 = −16 Wie wir bereits wissen, hat diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Die komplexen Zahlen haben jedoch den Vorteil, dass wir die negative Zahl quadrieren können. Da i² = −1, können wir unsere Diskriminante in die Form −16 = 16i² umschreiben. Wir können diese Zahl bereits subtrahieren und erhalten 4i. Wir werden die Lösung der quadratischen Gleichung berechnen:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formeln und Beziehungen

Aus dem vorherigen Beispiel können wir die Formel für die Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ableiten, wenn die Diskriminante negativ ist:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Dies bedeutet, dass jede quadratische Gleichung eine Lösung hat. Wenn die Diskriminante nicht negativ ist, benötigen wir nur reelle Zahlen; wenn die Diskriminante negativ ist, müssen wir die Gleichung in komplexen Zahlen lösen. Im Allgemeinen kann man sagen, dass jede quadratische Gleichung eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen hat.

Auch für diese komplexen Wurzeln gelten die Formeln von Viet. Zunächst die Herleitung für die Summe:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Und für das Produkt. Wir machen uns die Tatsache zunutze, dass die Diskriminante negativ ist, und da wir sie subtrahieren müssen, rechnen wir mit minus D, um eine positive Zahl zu erhalten. Statt |D| schreiben wir also −D, das Ergebnis ist das gleiche.

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot\frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2+Di^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Beispiel

Lösen Sie die quadratische Gleichung 2x² + 6x + 9 = 0. Berechnen Sie die Diskriminante: D = 36 − 72 = −36. eine negative Zahl, also verwenden wir die Formel für komplexe Wurzeln und addieren einfach:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac32+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\ldots=-\frac32-\frac{3i}{2}$$