Lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen werden mit ähnlichen Modifikationen gelöst, wie wenn Sie eine gewöhnliche lineare Gleichung berechnen. Eine lineare Ungleichung hat normalerweise die folgende Form: ax + b>0 (oder kleiner als, größer als und kleiner oder gleich). Nun müssen Sie die Ungleichung nur noch in die folgende Form bringen, und Sie haben das Ergebnis: x>−b/a Wir gehen natürlich davon aus, dass a≠0.

Eine gewöhnliche lineare Ungleichung

Eine lineare Ungleichung kann durch äquivalente Änderungen von Ungleichungen gelöst werden.

• Ein einfaches Beispiel könnte wie folgt aussehen:

  $$ 3x + 9 > 3 $$

  Zunächst verschieben wir alle Ausdrücke ohne eine Unbekannte auf die rechte Seite. Wir addieren also die Zahl −9 in der Ungleichung, um die Ungleichung zu erhalten:

  $$\begin{eqnarray} 3x + 9 - 9 &>& 3 - 9\\ 3x &>& -6 \end{eqnarray}$$

  Dann dividieren wir die gesamte Ungleichung durch drei:

  $$\begin{eqnarray} 3x/3 &>& -6/3\\ x &>& -2 \end{eqnarray}$$

  Dies ist das Ergebnis der gesamten Ungleichung. Die Ungleichung hat Lösungen für alle x > −2.

  Wir können die Ungleichung auch grafisch lösen. Bei einer Ungleichung 3x + 9 > 3 zeichnen wir die Graphen von zwei Funktionen - der linken und der rechten Seite der Ungleichung. Wir erhalten die Funktionen f(x) = 3x + 9 und g(x) = 3. Ihre Graphen sehen wie folgt aus:

  

  Wir sehen, dass sich diese Graphen in einem Punkt x₁ schneiden, der die x-Koordinate −2 hat. Wir sehen auch, dass für alle x > x₁, d.h. für alle x des Intervalls (−2, ∞), die rote Funktion 3x + 9 "über" der blauen Funktion 3 liegt (hier "über" im Sinne von "hat eine größere y-Koordinate"). Das stimmt mit dem Ergebnis überein, das wir gerade berechnet haben.

• Manchmal ist es praktisch, wenn man zu viele Minusstellen hat, die ganze Ungleichung mit minus eins zu multiplizieren. In diesem Fall müssen Sie nicht nur die Werte der Ungleichung selbst, sondern auch das Vorzeichen umkehren - aus größer als wird kleiner als und umgekehrt:

  $$\begin{eqnarray} -x&<&-10\quad /\cdot(-1)\\ x&>&10 \end{eqnarray}$$

  Dies gilt natürlich immer dann, wenn Sie die gesamte Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren. Also noch ein kurzes Beispiel:

  $$\begin{eqnarray} -3x+8&<&2x-7\\ -5x&<&-15\qquad /\cdot \left(-\frac15\right)\\ x&>&3 \end{eqnarray}$$

  Im ersten Schritt addieren wir normalerweise zu der Ungleichung −2x, also verschieben wir alle Ausdrücke mit einer Variablen auf die linke Seite. Gleichzeitig subtrahieren wir eine Oktalzahl und verschieben die Konstanten auf die rechte Seite. Dann multiplizieren wir einfach die gesamte Ungleichung $-\frac15$.

  Zur Veranschaulichung sehen wir uns die grafische Lösung der Ungleichung an, in der wir die beiden Funktionen f(x) = −3x + 8 und g(x) = 2x − 7 darstellen.

  

  Wir können sehen, dass der rote Graph der Funktion −3x + 8 unter dem blauen Graph der Funktion 2x − 7 liegt, wenn x > 3.

Die Variable im Nenner

Lineare Ungleichungen, die Brüche mit einer Variablen im Nenner enthalten, werden auf etwas kompliziertere Weise gelöst. Ein Beispiel ist die Ungleichung:

$$ \frac{2}{x}+3>4 $$

Wir können eine Ungleichung nicht mit der Unbekannten im Nenner multiplizieren, weil wir ihr Vorzeichen nicht kennen. Denn wenn der Wert der Variablen negativ wäre, müssten wir das Vorzeichen der Ungleichung umkehren. Daher können wir es uns nicht leisten, die Ungleichung einfach mit der Variablen im Nenner zu multiplizieren. Das wäre keine gleichwertige Behandlung von Ungleichungen.

Wir beginnen damit, die Ungleichung zu ändern, um einen Bruch auf der linken Seite und Null auf der rechten Seite zu erhalten. Wir fügen also zunächst −4 zur Ungleichung hinzu, wodurch wir die Form erhalten:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0 \end{eqnarray}$$

Nun müssen wir den Ausdruck auf der linken Seite in einen Bruch umwandeln. Wir multiplizieren also die Zahl −1 mit dem Bruch $\frac{x}{x}$, wodurch beide Ausdrücke auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, und dann addieren wir einfach die Brüche:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}-1&>&0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}&>&0\\ \frac{2-x}{x}&>&0\\ \end{eqnarray}$$

Nun stellt sich die Frage: Wann ist ein Bruch positiv? Ein Bruch ist positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv sind, oder wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner negativ sind. Wenn einer der beiden positiv und der andere negativ ist, dann ist der Bruch negativ. Wenn wir zum Beispiel den Bruch $\frac43$ haben, ist der ganze Bruch eine positive Zahl. Wenn wir den Bruch $\frac{-3}{4}$ haben, dann stellt der Bruch eine negative Zahl dar. Dann stellt der Bruch $\frac{-3}{-4}$ wieder eine positive Zahl dar, weil das Minuszeichen aufgehoben wird. Im Allgemeinen können wir schreiben:

$$\begin{eqnarray} \frac{kladné}{kladné}&=&kladné\\ \frac{kladné}{zaporné}&=&zaporné\\ \frac{zaporné}{kladné}&=&zaporné\\ \frac{zaporné}{zaporné}&=&kladné \end{eqnarray}$$

Wir müssen also zwei Sätze von Ungleichungen lösen. Wir beginnen damit, herauszufinden, wann sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv sind:

1. Damit Zähler und Nenner positiv sind, müssen diese beiden Ungleichungen gleichzeitig gelten:

   $$2-x>0\qquad\wedge\qquad x>0$$

   Für die erste Ungleichung wandeln wir einfach 2: in die andere Seite um und multiplizieren −1:

   $$\begin{eqnarray} 2-x&>&0\\ -x&>&-2\\ x&<&2 \end{eqnarray}$$

   Wir haben eine Lösung für die erste Ungleichung. Für die zweite Ungleichung x > 0 gibt es nichts mehr zu lösen. An dieser Stelle müssen wir die Schnittmenge dieser Lösungen bilden, da wir uns für die Fälle interessieren, in denen beide Lösungen gleichzeitig gültig sind, d. h. in denen der Zähler positiv und der Nenner positiv ist. Die erste Lösung kann als Intervall (−∞,2) geschrieben werden, die zweite Lösung als Intervall (0,∞). Wir bilden nun den Schnittpunkt dieser Intervalle:

   $$\left(-\infty,2\right) \cap \left(0,\infty\right) = \left(0{,}2\right)$$

   Dies ist eine weitere Lösung der Ungleichung. Wenn man die Zahlen aus diesem Intervall addiert, ist die Ungleichung gültig. Wenn wir zum Beispiel x = 1, eine Zahl aus dem Intervall (0,2), nach x einsetzen, erhalten wir die Ungleichung $\frac{2}{1}+3 > 4$, die gleich 5 > 4 ist. Nun bleibt noch der Fall zu untersuchen, in dem sowohl der Zähler als auch der Nenner negativ sind.

2. Für den Fall, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner negativ sind, lösen wir die Ungleichungen:

   $$2-x < 0\qquad\wedge\qquad x<0$$

   Auch hier lösen wir schnell die Ungleichung 2 − x < 0:

   $$\begin{eqnarray} 2-x&<&0\\ -x&<&-2\\ x&>&2 \end{eqnarray}$$

   Die zweite Lösung ist wieder einfach x < 0. Wir schreiben die Intervalle (2,∞) und (−∞, 0) hinein und bilden den Schnittpunkt:

   $$ \left(2,\infty\right) \cap \left(-\infty, 0\right) = \emptyset $$

   Das Ergebnis ist eine leere Menge. Was bedeutet das? Dass der Bruch $\frac{2-x}{x}$ niemals einen negativen Zähler und einen negativen Nenner haben kann.

Wir kombinieren einfach die beiden vorherigen Ergebnisse und erhalten die resultierende Menge S:

$$S=\left(0{,}2\right)\cup\emptyset=\left(0{,}2\right)$$

Die Ungleichung $\frac{2}{x}+3>4$ hat Lösungen für alle x des Intervalls (0,2). Wir können einen Graphen zeichnen, um die Funktionen $f(x)=\frac{2}{x}+3$ und g(x) = 4 darzustellen:

Man sieht, dass der rote Graph der Funktion $f(x)=\frac{2}{x}+3$ gerade im Intervall (0,2) über dem blauen Graph der Funktion g(x) = 4 liegt.

Lineare Ungleichungen mit Absolutwert

Etwas mehr Spaß macht es, Ungleichungen zu lösen, die einen absoluten Wert enthalten. Das liegt daran, dass man getrennt berechnen muss, wenn der Ausdruck im Absolutwert positiv ist und daher das Vorzeichen nicht wechselt, und wenn der Ausdruck negativ ist und das Vorzeichen wechselt - also im Grunde zwei Ungleichungen in einer. Also ein einfaches Beispiel:

$$\left|x + 5\right| < 12$$

Zunächst müssen wir den Nullpunkt bestimmen, d. h. die Zahl, die den gesamten Ausdruck im absoluten Wert gleich Null macht und zur Bestimmung der Intervalle dient, in denen das Vorzeichen wechselt und in denen es nicht wechselt. Als Erstes lösen wir also die Gleichung

$$x+5=0$$

Wir sehen, dass das Ergebnis x = −5 ist. Dieses Ergebnis teilt den Wert von x in zwei Intervalle. Eines, in dem die Funktion x + 5 positive Werte annimmt, und eines, in dem sie negative Werte annimmt. Wir erhalten also negative Zahlen im Intervall (−∞, −5) und positive oder nicht-negative Zahlen im Intervall <−5, ∞). Zur Veranschaulichung: Die erste Zeile ist die Zahl aus dem ersten Intervall, die zweite aus dem zweiten:

$$\begin{eqnarray} -8+5&=&-3\\ 13+5&=&18 \end{eqnarray}$$

Was sagt uns das? Wenn wir einen Wert größer als minus fünf hinter x setzen, dann ändert der Absolutwert das Ergebnis nicht, da x − 5 eine positive Zahl ist. Umgekehrt, wenn der Wert von x kleiner als minus fünf ist, dann ist das Ergebnis von x − 5 negativ und der absolute Wert ändert es in positiv. Daher müssen wir bei der Ungleichung zwischen diesen beiden Beispielen unterscheiden.

Wir berechnen also zunächst das Ergebnis, wenn wir x aus dem Intervall <−5, ∞) nehmen. An dieser Stelle ändern wir das Vorzeichen nicht, weil wir nur den Absolutwert entfernen.

$$\begin{eqnarray} x+5&<&12\\ x&<&7\\ x&\in&\left(-\infty, 7\right) \end{eqnarray}$$

Wir haben fast die erste Lösung. Tatsächlich müssen wir noch einen Schnittpunkt mit dem Intervall bilden, aus dem wir gerade x nehmen. Da wir uns im Intervall <−5, ∞) bewegen, kann das Ergebnis dieser linearen Ungleichung nicht z. B. x = −15 sein, da es nicht in unser Intervall fällt. Wir müssen also einen Schnittpunkt bilden:

$$\left<-5, \infty\right)\cap(-\infty, 7)=\left<-5{,}7\right)$$

Dies ist das erste Ergebnis. Nun müssen wir das Ergebnis für den Fall berechnen, dass wir x aus dem Intervall (−∞, −5) nehmen. In diesem Intervall wechselt der Absolutwert das Vorzeichen. Wenn wir den Absolutwert aus der Ungleichung entfernen wollen, müssen wir den Vorzeichenwechsel selbst vornehmen, d.h. wir multiplizieren den Ausdruck unter dem Absolutwert mit −1 und ändern so das Vorzeichen des Ausdrucks. Wir schreiben es also folgendermaßen um:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ -(x+5)&<&12\\ -x-5&<&12 \end{eqnarray}$$

Fügen Sie 5 zu der Ungleichung hinzu:

$$-x<17$$

Und multiplizieren mit −1:

$$x>-17$$

So erhalten wir das Ergebnis:

$$x\in(-17,\infty)$$

Aber wie zuvor wählen wir den Wert x aus dem Intervall (−∞, −5), also müssen wir noch den Schnittpunkt dieses Intervalls mit unserem Ergebnis bilden:

$$(-17,\infty)\cap(-\infty, -5)=(-17,-5)$$

Jetzt haben wir beide Ergebnisse, die wir einfach zusammenfügen:

$$x\in\left<-5{,}7\right)\cup(-17,-5)=(-17{,}7)$$

Um das zu überprüfen, können wir uns die Graphen dieser Funktionen ansehen:

Noch ein paar Worte dazu, wann wir das geschlossene und das offene Intervall verwenden. Bei einer scharfen Ungleichung, z. B. x>0, verwenden wir das offene Intervall, da x nicht gleich Null sein kann. Wenn wir keine scharfe Ungleichung x≥0 haben, verwenden wir ein geschlossenes Intervall, weil x gleich Null sein kann. Wenn Sie zum Beispiel x = 7 einsetzen, das nicht "eng" in der Lösung der Ungleichung enthalten ist, die wir gerade gelöst haben, erhalten Sie:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ (7+5)&<&12\\ 12&<&12 \end{eqnarray}$$

Die Ungleichung ist nicht gültig, 12 ist nicht kleiner als 12.