Vereinheitlichung, Schnittmenge, Differenz und Komplement von Mengen

Wir können verschiedene Mengenoperationen zwischen Mengen durchführen. Zu den grundlegendsten gehören Vereinigung, Schnittmenge, Differenz und Komplement.

Vereinigung von Mengen

Wir bezeichnen die Vereinigung von Mengen mit ∪, also bezeichnen wir die Vereinigung der Mengen A und B klassisch: A ∪ B Die Vereinigung der Mengen A und B führt zu einer neuen Menge, die alle Elemente der Menge A und auch alle Elemente der Menge B enthält. Definition:

$$A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}$$

Beispiel: Wir haben zwei Mengen A = {1, 3, 5, 7} und B = {2, 4, 6}. Die Vereinigung ergibt die Menge: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Die resultierende Menge enthält Elemente aus beiden Mengen.

Ein anderes Beispiel: A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 4}. Die Vereinigung ergibt: A ∪ B = {1, 2, 3, 4} Die Elemente von 2 und 3 sind nicht zweimal in der Ergebnismenge enthalten, da die Menge kein Element mehr als einmal enthält.

Andere Eigenschaften:

• A ∪ A = AWenn wir zwei identische Mengen vereinigen, erhalten wir wieder die gleiche Menge.
• A ∪ B = B ∪ A: Die Vereinigung ist kommutativ, unabhängig von der Reihenfolge.
• A ∪ ∅ = ADie leere Menge enthält kein Element, also gibt es auch nichts zu vereinigen.

Schnittmenge von Mengen

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ergibt eine neue Menge, die die Elemente enthält, die die beiden Mengen gemeinsam haben. Genauer gesagt, die neue Menge enthält Elemente, die zu A und zu B gehören. Wir bezeichnen die Schnittmenge mit ∩. Definition:

$$A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}$$

Beispiel: A = {1, 3, 5, 7, 9} und B = {4, 5, 6, 7}. Die Schnittmenge ist gleich A ∩ B = {5, 7}. Ein weiteres Beispiel: A = {a, b, c, d, e} und B = {f, g, h, i, j}. Die Schnittmenge ist gleich: A ∩ B = ∅ Diese Mengen haben kein gemeinsames Element, die Schnittmenge ist also die leere Menge.

Andere Eigenschaften:

• A ∩ A = A: Die Schnittmenge zweier identischer Mengen ergibt wieder die gleiche Menge.
• A ∩ B = B ∩ A: Die Schnittmenge ist kommutativ, unabhängig von der Reihenfolge.
• A ∩ ∅ = ∅Die leere Menge enthält kein Element, daher hat sie mit Sicherheit kein Element mit der Menge A gemeinsam.

Differenz von Mengen

Wir bezeichnen die Differenz von Mengen durch das Standardsymbol für Minus − oder besser durch ein solches schräges Minus ∖. Unter der Differenz zweier Mengen A und B verstehen wir die Menge, die alle Elemente von A enthält, aber kein Element von B. Kurz gesagt, man schaut, welche Elemente die erste Menge mit der zweiten gemeinsam hat und entfernt diese dann. Definition:

$$A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}$$

Beispiel: A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {4, 5, 6, 7, 8}. Die Differenz ist dann gleich A ∖ B = {1, 2, 3}. Das sind die Elemente, die übrig bleiben, wenn wir alle Elemente aus der Menge A entfernen, die in der Menge B enthalten sind. Ein anderes Beispiel: A = {a, b, d, e}. Die Differenz A ∖ A = ∅.

Andere Eigenschaften:

• A ∖ A = ∅: Genauso wie man beim Subtrahieren zweier gleicher Zahlen Null erhält (z.B. 5 − 5 = 0), erhält man beim Subtrahieren zweier gleicher Mengen eine leere Menge.
• A ∖ ∅ = ADa die leere Menge kein Element enthält, können wir kein Element aus der Menge entfernen A.

Das Komplement der Menge

Das Komplement der Menge A wird auf vielerlei Weise bezeichnet, am häufigsten jedoch durch ein Komma A' oder einen oberen Balken: $\overline{A}$ Der Einfachheit halber werde ich ein Komma verwenden. Um das Komplement der Menge A berechnen zu können, müssen wir wissen, in welcher Menge wir das Komplement berechnen. Das Komplement der Menge stellt alle Elemente dar, die nicht in der Menge A enthalten sind, es ist also eine Art Gegenstück zur Menge A.

Wenn wir M = {1, 2, 3, …, 9, 10} als Hauptmenge haben, dann ist das Komplement der Menge A = {2, 4, 6, 8, 10} in M die Menge A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Sie enthält alle Elemente von M, die nicht in A enthalten sind. Wir können sagen, dass A' in M gleich M ∖ A ist.

Wenn wir ganze Zahlen als Hauptmenge nehmen, dann ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die ungeraden Zahlen. Das Komplement der Menge A = {1, 2, 3, 4} wird die Menge A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …} sein.

Wenn wir das Komplement zweimal anwenden, erhalten wir die ursprüngliche Menge zurück. Zum Beispiel bei den ganzen Zahlen: Das Komplement der geraden Zahlen sind die ungeraden Zahlen. Und das Komplement zu ungeraden Zahlen sind wiederum gerade Zahlen. Also gilt A = A'' (das Komplement des Komplements von A).