Quantitäten

Eine Menge kann man sich als eine Sammlung von Elementen vorstellen. So enthält jede Menge eine bestimmte Anzahl von Elementen, die endlich oder unendlich sein kann. Sie kann auch kein einziges Element enthalten, dann spricht man von einer leeren Menge. Üblicherweise wird eine Menge mit einem Großbuchstaben bezeichnet, z. B. M, und die Elemente einer Menge mit einem Kleinbuchstaben m.

Was ist eine Menge?

Eine Menge ist eines der grundlegenden Konzepte in der Mathematik, über das eine Reihe anderer Dinge definiert werden. Es ist also eine gute Idee, sich von Anfang an darüber im Klaren zu sein, was eine Menge ist, damit man später beim Lernen nicht verwirrt wird.

Eine Menge ist also eine Sammlung beliebiger Elemente. In der Mathematik arbeiten wir am häufigsten mit numerischen Mengen, d. h. Mengen, deren Elemente Zahlen sind. Die klassische Schreibweise für eine Menge in der Mathematik lautet wie folgt:

$$M=\left\{1{,}2,3\right\}$$

Wir haben also eine Menge namens "M" beschrieben, die drei Elemente enthält, nämlich eins, zwei und drei. Wir schreiben Mengen immer in zusammengesetzten Klammern; praktisch jedes Mal, wenn Sie zusammengesetzte Klammern sehen, handelt es sich um eine Menge irgendeiner Art.

Wofür können wir Mengen verwenden? Mengen sagen uns oft, welche Elemente wir wählen können. Im Alltag könnte man zum Beispiel sagen: "Agnes, lass uns ein Spiel spielen, ja? Denk an eine Zahl von eins bis fünf." Damit haben Sie Agnes eine Reihe von Zahlen zur Auswahl gegeben. In Mathe würden Sie eine Menge verwenden:

$$L=\left\{1{,}2,3{,}4,5\right\}$$

Und dann könnten Sie zu Agnes sagen: "Agnes, lass uns ein Spiel spielen, okay? Denke an eine Zahl, die in der Menge L enthalten ist." Ich bin sicher, das Spiel würde mehr Spaß machen. In der Mathematik verwenden wir ∈, um zu sagen, dass ein Element zu einer Menge gehört, und wenn nicht, verwenden wir $ \notin$. Wenn wir also sagen wollen, dass eine Zahl zur Menge L gehört, aber sieben nicht, würden wir es so schreiben: 1 ∈ L und $7 \notin L$.

Natürlich kann die Menge auch leer sein, dazu schreibt man entweder P = {} oder einfacher P = ∅. Beachten Sie, dass beide Einträge "leere Menge" bedeuten, wenn Sie es so schreiben: P = {∅}, würden Sie eine Menge schreiben, die eine leere Menge enthält. Das ist nicht dasselbe wie eine leere Menge.

Unordnung und Verdoppelung

Von einer Menge wird nicht gesagt, dass sie Elemente enthält, die in irgendeiner Weise geordnet sind. Eine Menge enthält eine ungeordnete Menge von Elementen. Wenn wir zwei Mengen A = {1, 2, 3} und B = {3, 2, 1} haben, würden wir sagen, dass sie identisch sind. Die Reihenfolge der Elemente in der Menge spielt einfach keine Rolle.

Auch doppelte Elemente sind nicht von Belang. Wenn eine Menge mehrere identische Elemente (mehrere identische Zahlen) enthält, betrachten wir immer nur ein einziges Vorkommen dieses Elements. Noch einmal: Wenn wir diese beiden Mengen A = {1, 1, 2, 2, 2} und B = {2, 1} hätten, würden wir sie als gleich betrachten. Es spielt keine Rolle, dass die Menge A "mehr" Elemente enthält, weil sie doppelte oder dreifache Elemente enthält. Beim Zählen mit Mengen filtern wir diese doppelten Elemente einfach heraus.

Größe und Gleichheit

Wir können den Begriff der Mengengröße definieren, der die Anzahl der Elemente in einer Menge angibt. Aus dem vorangegangenen Beispiel von A = {1, 1, 2, 2, 2} und B = {2, 1} ergibt sich, dass die Größe der Menge A zwei ist, aber die Größe der Menge B ist ebenfalls zwei, da wir beim Zählen der Elemente einer Menge auch nicht an doppelten Elementen interessiert sind. Wir bezeichnen die Größe der Menge durch senkrechte Striche: |A| = |B| = 2.

Wie Sie vielleicht schon verstanden haben, sind zwei Mengen gleich groß, wenn beide Mengen die gleichen Elemente haben. Einige Beispiele:

$$\begin{eqnarray} \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3, 2, 3, 1\right\}\\ \left\{a, h, o, j\right\}&=&\left\{o, o, h, j, a, o\right\}\\ \left\{1, 3, 5, 9\right\}&\ne&\left\{1, 3, 9\right\}\\ \emptyset&\ne&\left\{x\right\} \end{eqnarray}$$

Eine wesentliche Eigenschaft ist, dass Mengen als ihr Element eine weitere Menge enthalten können. Beispiel: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Es ist wichtig zu beachten, dass die Menge C eine Menge mit drei Elementen ist, keine Menge mit sechs Elementen. Die Menge C enthält drei Elemente: eine Eins, eine Zwei und eine Menge. Die Elemente 3, 4, 5 und 6 sind in der inneren Menge enthalten, nicht in der Menge C. Es gilt also |C| = 3. Ein komplizierteres Beispiel:

$$D=\left\{0, \left\{1, \left\{2, 3\right\}\right\}, \left\{4\right\}\right\}$$

Wie viele Elemente enthält die Menge D? Sie enthält drei Elemente, das sind die Elemente:

$$D_1=0,\qquad D_2=\left\{1, \left\{2{,}3\right\}\right\},\qquad D_3=\left\{4\right\}$$

Die Menge kann endlich oder unendlich sein. Endliche Mengen sind alle, die wir bisher erwähnt haben. Zum Beispiel ist die Menge aller Zahlen unendlich.

Eine Teilmenge von

Betrachten Sie zwei Mengen A = {1, 2} und B = {1, 2, 3}. Diese Mengen sind unterschiedlich, weil sie nicht die gleichen Elemente enthalten, die Menge B ist größer. Sie werden jedoch bemerkt haben, dass die Menge B genau die gleichen Elemente enthält wie die Menge A, nur dass sie das zusätzliche Element 3 hat. An dieser Stelle können wir sagen, dass A eine Teilmenge von B ist.

Wenn A eine Teilmenge von B ist, dann müssen alle Elemente, die in der Menge A enthalten sind, auch in der Menge B enthalten sein. Eine Teilmenge zu sein ist eine Relation und wird mit dem Symbol ⊆ geschrieben. Formale Definition:

$$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A:\quad x \in B$$

Es wird allgemein angenommen, dass die Mengen A und B identisch sein können und A ⊆ B trotzdem gilt. Wenn wir eine scharfe Variante einer Teilmenge ausdrücken wollen, verwenden wir ein anderes Symbol: ⊂ Wenn A ⊂ B, dann muss die Menge B größer sein (wenn sie endlich ist), sie muss ein Element enthalten, das die Menge A nicht enthält. Wir nennen eine solche Menge dann eine "richtige Teilmenge". Wenn also A ⊂ B, dann ist A eine geeignete Teilmenge von B. Definition der echten Teilmenge:

$$A \subset B \Leftrightarrow (A\subseteq B \quad\wedge\quad A \ne B)$$

Die Definition ist dieselbe wie für die klassische Teilmenge, mit der Ausnahme, dass die beiden Mengen nicht gleich sein dürfen. Einige Beispiele:

$$\begin{eqnarray} \left\{a, h, o\right\}&\subseteq&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{a, h, o\right\}&\subset&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subseteq&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subset&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subseteq&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subset&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\subseteq&\left\{0, 1\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\not\subset&\left\{0, 1\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\emptyset\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\emptyset\right\}\\ \left\{0\right\}&\not\subseteq&\emptyset\\ \left\{0\right\}&\not\subset&\emptyset\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subseteq&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subset&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\} \end{eqnarray}$$

Eigenschaften einer Teilmenge:

• A ⊆ A: eine Menge ist immer ihre eigene Teilmenge.
• A ⊄ A: eine Menge ist nie eine Teilmenge ihrer selbst.
• ∅ ⊆ A: eine leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge.
• A ⊄ ∅: eine leere Menge hat keine eigene Teilmenge.

Wir können Teilmengen verwenden, um die Gleichheit von Mengen zu schreiben:

$$A = B \quad\Leftrightarrow\quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A$$

Wenn beide Mengen gleich sind, dann ist die eine eine Teilmenge der anderen.

Wir können eine Teilmenge auch mit dem Wort "Einschluss" bezeichnen.

Eine potenzielle Menge

Eine potenzielle Menge ist die Menge aller Teilmengen einer bestimmten Menge. Sie wird gewöhnlich mit P(M) oder 2^M bezeichnet.

Beispiel: M = {1, 2, 3}. Was sind alle Teilmengen? Sicherlich die leere Teilmenge und die Menge selbst ist M. Weiter: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Alle diese Mengen bilden die Potenzmenge der Menge M. Schreiben Sie: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Da die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist und M immer eine Teilmenge von M ist, ist es immer wahr, dass ∅ ∈ P(M) und M ∈ P(M).

Wie man eine Menge schreibt

Wir haben bereits eine Möglichkeit erwähnt, nämlich die einfache Aufzählung der Elemente. Wir verwenden dazu zusammengesetzte Klammern. M = {1, 2, 3} Oder N = {a, b, c, d} usw. Wenn wir eine unendliche Menge schreiben, können wir dafür drei Punkte verwenden, solange es offensichtlich ist, wie die Folge der Elemente weitergeht: M = {1, 2, 3, …}

Die wichtigste Art, eine Menge zu schreiben, ist die charakteristische Eigenschaft der Menge. Im Allgemeinen sieht die Notation wie folgt aus: {x ∈ X | P(x)}, wobei X die Menge ist, aus der wir Elemente auswählen, und P(x) eine Formel ist, die die Elemente der Menge angibt. Die Formel kann rein mathematisch oder verbal formuliert werden. Anstelle von "|" wird auch ein Semikolon verwendet: ";".

Beispiel: "Die Menge M enthält alle Zahlen, die einen Tag des Monats bezeichnen". Der Monat hat höchstens 31 Tage, so dass eine solche Menge 31 Elemente von 1 bis 31 enthalten würde: M = {1, 2, 3, …, 30, 31} Eine andere Schreibweise für dieselbe Menge könnte wie folgt aussehen: $\left\{x \in \mathbb{Z} | \mbox{ x kennzeichnet den Tag des Monats }\right\}$, wobei ℤ die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet.

Ein mathematischeres Beispiel wäre: "Die Menge P enthält alle positiven Zahlen, die durch fünf teilbar sind". Dann würde die Menge wie folgt aussehen: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Versuchen wir, die Menge T der natürlichen Zahlen, die kleiner als zehn sind, mathematisch aufzuschreiben: T = {x ∈ ℕ | x<10} Diese Schreibweise sagt uns: Die Menge T besteht aus den Elementen x, die wir aus der Menge der natürlichen Zahlen nehmen und die die Bedingung erfüllen, dass sie kleiner sind als 10. Wir betrachten also die natürlichen Zahlen und geben nur diejenigen zurück, die kleiner als zehn sind: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Und das war's.

Ein anderes Beispiel: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Wir haben eine Menge Y definiert, die die Elemente x enthält, die wir den ganzen Zahlen entnehmen, und die einzige Bedingung, die x erfüllen muss, ist, dass sie nicht Null sein darf. Die Menge Y enthält also alle ganzen Zahlen außer Null.

Ein anderes Beispiel: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Die Menge G enthält die Elemente von x, die wir den reellen Zahlen entnehmen, und für alle Elemente von x muss gelten, dass wir, wenn wir sie mit sich selbst multiplizieren, wieder die Zahl x erhalten. Wir können zum Beispiel die Zahl 5 ausprobieren. Per Definition sollte die folgende Gleichheit gelten: 5 · 5 = 5. Offensichtlich ist dies nicht der Fall, so dass die Zahl 5 kein Element der Menge G sein kann. Versuchen wir es mit einem: 1 · 1 = 1 Offensichtlich gilt dies für sie, also ist eins ein Element der Menge G. Das zweite und letzte Element ist die Zahl Null. Für alle anderen gilt dies nicht. Wir können also schreiben: G = {0, 1}.

Ein letztes Beispiel. Ich werde etwas Komplizierteres schreiben, damit Sie sehen, dass eine charakteristische Eigenschaft komplex sein kann:

$$X=\left\{x \in \mathbb{R} | (x^2=2x)\vee(sin(x)=\pi\wedge cos(x)=\pi)\right\}$$

Eine Menge wird in der Praxis am häufigsten durch eine charakteristische Eigenschaft definiert, und man kann sagen, dass ein ziemlich großer Teil der Konzepte in der Mathematik durch Mengen definiert ist. Nehmen wir ein solches Intervall, so können wir sagen, dass das Intervall (a, b) die Menge I ist, für die:

$$I=\left\{x\in\mathbb{R} | (x > a) \wedge (x < b)\right\}$$

Dies sind alle Elemente der Menge der reellen Zahlen, die größer als a und kleiner als b sind, was genau das ist, was das Intervall ausdrückt.

Andere Ressourcen

• Diskrete Mathematik 1, Bělohlávek, Vychodil [PDF]
• Wikipedia