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Primzahlen

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch eins und durch sich selbst teilbar sind. Die Eigenschaften von Primzahlen werden oft genutzt, zum Beispiel in der Kryptographie.

Definitionen und Beispiele

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch eins und sich selbst teilbar ist, wobei eins selbst keine Primzahl ist. Die kleinste Primzahl ist zwei - sie ist ohne Rest durch eins und zwei teilbar. Sie ist auch die einzige Primzahl, die gerade ist. Alle anderen Primzahlen sind ungerade, weil jede andere gerade Zahl außer durch eins und sich selbst auch durch zwei teilbar ist.

Die Folge von mehreren Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271...

Primzahlen stehen im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik, der besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann.

Prüfung, ob eine Zahl eine Primzahl ist

Eigenschaften von Primzahlen

  • Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der Beweis findet sich im Artikel über den Beweis durch Widerspruch.
  • Für jede ganze Zahl z>1 gibt es mindestens eine Primzahl im Intervall (z, 2z). Beispiel: Für z = 2 haben wir das Intervall (2, 4). Die einzige ganze Zahl, die in diesem Intervall liegt, ist drei, und sie ist prim. Für z = 5 erhalten wir das Intervall (5, 10), d.h. die Zahlen 6, 7, 8, 9. Die Zahl 7 ist eine Primzahl. Ähnliches gilt für die höheren z.
  • Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die um eins kleiner ist als eine ganzzahlige Potenz von zwei. So hat die Mersenne-Primzahl M die Form M = 2z − 1, wobei z eine beliebige natürliche Zahl ist. Ein Beispiel wäre die Primzahl 3, da 22 − 1 = 3 gilt. Oder 7, denn 23 − 1 = 7.
  • Die größte bisher bekannte Primzahl ist also die Mersenne-Primzahl, bezeichnet mit M43112609, wobei der tiefgestellte Index den Exponenten z bestimmt. Es ist also die Primzahl 243112609−1. Sie wurde am 23. August 2008 gefunden und hat 12,978,189 Ziffern.(Wikipedia)

Folge ohne Primzahlen

Es kann eine beliebig lange endliche Folge von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gefunden werden, unter denen es keine Primzahl gibt. Eine solche Folge kann die Form k!+2, k!+3, …, k!+k haben und enthält k − 1 aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen (das Ausrufezeichen ist eine Fakultät).

Zum Beispiel erhalten wir für k = 6 fünf aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen der Form: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6 Diese Zahlen sind nacheinander durch zwei, drei, vier, fünf und sechs teilbar, da die Zahl 6! = 720 definitiv durch alle diese Zahlen teilbar ist, da sie durch deren Produkt gebildet wurde: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 Wenn die Zahl 720 durch drei teilbar ist, dann muss auch die Zahl 720 + 3 durch drei teilbar sein. Ähnliches gilt für die anderen Zahlen.

Das kleine Fermat-Theorem

Für jede Primzahl p und für jede ganze Zahl z, so dass z kein Vielfaches von p ist, ist die Zahl zp − z durch die Primzahl p teilbar.

Beispiel: Betrachten wir die Primzahl p = 3 und die ganze Zahl z = 4. Die Zahl vier ist kein Vielfaches von drei, wir können also fortfahren. Berechnen wir den Wert von 43 − 4. Dieser ist gleich 60. Aber dabei 60/4 = 15, die Zahl Vier teilt sich also ohne Rest durch Sechzig, was dem Satz von Fermat entspricht. Ein anderes Beispiel: p = 7, z = 10. Wir berechnen das Zwischenergebnis 107 − 10 = 9999990 und teilen diese Zahl durch sieben: 9999990/7 = 1428570 Auch hier erhalten wir das Ergebnis ohne Rest.

Ungelöste Fragen

Es gibt viele bekannte Hypothesen über Primzahlen, die (2011) noch nicht bewiesen oder widerlegt wurden. Zwei der bekanntesten sind:

  • Unendlichkeit von Primzahlenpaaren: Ein Primzahlenpaar ist ein Paar von Zahlen (z, z + 2), die beide Primzahlen sind. Zum Beispiel (3, 5) oder (29, 31). Die Frage ist, ob diese Primzahlenpaare unendlich viele sind. Es wird angenommen, dass sie es sind, aber der Beweis fehlt.(Wikipedia)
  • Riemann-Hypothese: Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion haben einen Realteil, der gleich $\frac12$ ist.(Wikipedia) Das Theorem hängt mit der Verteilung der Primzahlen zusammen und ist eines der so genannten Millennium-Probleme, für dessen Lösung es eine Million Dollar Belohnung gibt.