Faktoriell

Die Fakultät einer Zahl n ist gleich dem Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Die Fakultät wird mit dem Ausrufezeichen n! geschrieben. Für Null: 0! = 1 Die Fakultät wird vor allem in der Kombinatorik verwendet, wo sie beispielsweise zur Berechnung von Permutationen eingesetzt wird. Eine Fakultät von fünf wäre zum Beispiel gleich 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definition der Fakultät

Die Fakultät kann auf verschiedene Weise definiert werden. Die einfachste ist wahrscheinlich diese:

$$ n! = \begin{cases} 1&\text{pokud n = 0}\\ n\cdot (n-1)!&\text{jinak} \end{cases} $$

Wir können auch eine Definition über ein Produkt geben:

$$ n!=\prod_{k=1}^nk $$

Alternativ dazu kann man auch das Integral verwenden:

$$ (z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0. $$

(Siehe das Matheforum für Details.)

Rechnen mit Faktoren

Faktoren werden oft in Brüchen berechnet. Hier verwenden wir dann die Tatsache, dass n! = n · (n − 1)! per Definition wahr ist, was wir an einem Beispiel zeigen wollen. Wir wissen, dass die Fakultät von vier, 4!, gleich dem Produkt dieser natürlichen Zahlen ist: 4 · 3 · 2 · 1 Dabei können wir schreiben, dass das Produkt 3 · 2 · 1 gleich der Fakultät von drei ist: 3 · 2 · 1 = 3!. Die Fakultät von vier kann dann als 4! = 4 · 3! geschrieben werden.

$$ 4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3! $$

Auf diese Weise können wir viele verschiedene Fakultäten in Brüchen effektiv abkürzen. Beispiel - Vereinfachen Sie den Ausdruck:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Wir vereinfachen mit der Formel, die ich vorhin erwähnt habe. Im Zähler können wir die Fakultät in n · (n − 1)! aufteilen, und wir können sie (mit derselben Formel) noch in n · (n − 1) · (n − 2)! aufteilen. Jetzt können wir den Bruch schön kürzen:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)$$

Ein weiteres Beispiel:

$$\begin{eqnarray} \frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\ &=&\frac{n}{n+2} \end{eqnarray}$$

Und ein letztes Beispiel für die Fakultät:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ &=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\ &=&(2n+2)(2n+1) \end{eqnarray}$$