Permutation
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Permutation ist ein Spezialfall der Variation, bei dem wir eine Menge der Größe n haben und die Anzahl aller verschiedenen n-tic finden wollen.
Die Formel
Schauen wir uns die Variationen selbst an. Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus einer Ziffernmenge {1, 2, 3, 4, 5} konstruieren, wenn sich keine Ziffer wiederholen darf? Dies ist ein typisches Beispiel für eine Variation, die mit der bekannten Formel gelöst werden kann
$$ V(k, n) = \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60. $$
Wie viele fünfstellige Zahlen können wir zusammensetzen?
$$ V(k, n) = \frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120. $$
Wir können feststellen, dass, wenn wir eine Menge von fünf Elementen haben und nach der Anzahl aller verschiedenen Fünfer suchen, das Ergebnis gleich 5! ist. Wir können dies verallgemeinern und sagen, dass es bei einer Menge von n Elementen insgesamt n! verschiedene n-Zahlen gibt. Dies bringt uns zum Begriff der Permutation.
Was ist eine Permutation?
Wenn wir eine Menge M der Größe n haben, dann ist eine Permutation ein beliebiges n-Viereck, das aus Elementen der Menge M besteht, und kein Element darf wiederholt werden. Beispiel: Wenn wir eine Menge M = {a, b, c, d} haben, dann ist die Permutation zum Beispiel [a, b, d, c] oder [d, b, a, c]. Die Anzahl aller verschiedenen Permutationen ist gleich
$$ P(n) = V(n, n) = n! $$
Gelöste Beispiele
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Du hast insgesamt sechs Bücher und möchtest sie in einer bestimmten Reihenfolge in ein Regal stellen. Wie viele verschiedene Ordnungen gibt es insgesamt? Wir haben sechs Bücher und permutieren jedes Mal alle Bücher, also ist das Ergebnis gleich P(6) = 6! = 720.
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Zusätzlich zu den 6 tschechischen Büchern aus dem vorherigen Beispiel gibt es noch 4 Bücher in lateinischer Sprache. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese 10 Bücher aufzubewahren, wenn man alle tschechischen Bücher bei sich und alle lateinischen Bücher bei sich behalten will?
Welche Möglichkeiten haben wir, um die Bücher zu lagern? Wir können die sechs tschechischen Bücher zuerst einordnen und dann die vier lateinischen Bücher, oder umgekehrt - zuerst die vier lateinischen Bücher und dann die sechs tschechischen Bücher. Es gibt jedoch 6! Möglichkeiten, die tschechischen Bücher anzuordnen, und 4! Möglichkeiten, die lateinischen Bücher anzuordnen. Wir verwenden die kombinatorische Produktregel und addieren diese Ergebnisse: 6! · 4! = 17 280 Da es zwei Möglichkeiten gibt, Bücher zu lagern (erst tschechische, dann lateinische und umgekehrt), multiplizieren wir diese Zahl mit zwei. Das Gesamtergebnis ist 17 280 · 2 = 34 560.