Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsphänomens gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Phänomen eintritt. Ein typisches Beispiel wäre das Würfeln eines klassischen Würfels. Wir könnten fragen: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl fünf zu würfeln?" Wir geben die Wahrscheinlichkeit entweder als Zahl aus dem Intervall <0, 1> oder als Prozentsatz an, d. h. von 0 % bis 100 %.

Verwandte Definitionen

Jede wiederholte Handlung, die vom Zufall abhängt, wird als Zufallsexperiment bezeichnet. Zum Beispiel ist ein Würfelwurf oder das Ziehen einer Sportkarte ein Zufallsexperiment. Als Nächstes benötigen wir die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments - d. h. alle Möglichkeiten, die bei einem bestimmten Zufallsexperiment auftreten können. Bei einem Würfel zum Beispiel können Zahlen von eins bis sechs vorkommen, so dass die Menge der Zufallsversuche, die wir als $\omega$ (omega) bezeichnen, bei einem Würfel folgendermaßen aussehen würde: $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ Bei einer Sportart wären dies alle Kombinationen, die fallen können.

Wir nennen jede Teilmenge von $A \subseteq \omega$ ein (zufälliges) Phänomen. Zum Beispiel würde das Phänomen "eine gerade Zahl würfelt" als A = {2, 4, 6} geschrieben werden. Das Phänomen "eine Zahl größer als fünf würfelt" würde als A = {6} geschrieben werden, und so weiter. Wenn wir würfeln (= das Experiment durchführen) und die Zahl x würfelt, dann würden wir bei x ∈ A sagen, dass das Phänomen eingetreten ist, ansonsten würden wir sagen, dass das Phänomen nicht eingetreten ist. Wenn wir bei dem Phänomen "eine gerade Zahl würfelt" bleiben und x = 2 erhalten, dann x ∈ A, dann 2 ∈ {2, 4, 6} und das Phänomen ist eingetreten.

Es gibt zwei besondere Arten von Phänomenen: sichere und unmögliche. Ein sicheres Phänomen ist, wenn es bei jedem Versuch auftritt, was bedeutet, dass $A = \omega$. Bei Würfeln wäre es das Phänomen "es wird eine Zahl kleiner als 7 gewürfelt". Das ist eine sichere Sache. Das Gegenteil ist ein unmögliches Phänomen, das wäre A = ∅ und verbal z.B. "ein Blumentopf fällt auf einen Würfel". Nun, ein Blumentopf könnte beim Würfeln vom Tisch fallen, aber wir werden sicher nicht den Blumentopf auf den Würfel fallen lassen, weil es nur die Zahlen 1 bis 6 gibt.

Die Wahrscheinlichkeit des Phänomens

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ereignis eintritt. Wahrscheinlich haben wir alle die Vermutung, dass eine gerade Zahl häufiger auf den Würfel fällt als die Zahl fünf direkt. Die Wahrscheinlichkeit setzt diese Vermutung für uns in genaue Zahlen um. Als Erstes müssen wir einige Annahmen treffen.

Für ein Zufallsexperiment soll Folgendes gelten:

• Alle möglichen Ergebnisse sind endlich viele (d. h. $\omega$ ist eine endliche Menge).
• Zwei Ergebnisse können nicht gleichzeitig eintreten (d. h. wir können nicht gleichzeitig eine 3 und eine 6 würfeln).
• Jedes Ergebnis ist gleich gut möglich (d. h., die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, ist genauso groß wie die, eine 6 oder eine 1 zu würfeln).

Die ersten beiden Bedingungen sind ziemlich natürlich, die letzte ist etwas einschränkend, aber wir werden uns damit zufrieden geben. Wir können also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit des Phänomens A, bezeichnet mit P(A), gleich ist

$$P(A) = \frac{|A|}{|\omega|}.$$

Mit anderen Worten: die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. (Die Schrägstriche in der vorangehenden Formel bezeichnen die Größe der Menge.) Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, wäre also gleich:

$$ P(Sude) = \frac{|{2{,}4,6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac36=\frac12=0{,}5. $$

Wir geben die Wahrscheinlichkeit oft als Prozentsatz an - nehmen Sie einfach die berechnete Wahrscheinlichkeit, multiplizieren Sie sie mit 100 und addieren Sie die Prozentsätze: 0,5 · 100 % = 50 % Die fünfzigprozentige Wahrscheinlichkeit besagt, dass die Chance, dass eine gerade Zahl fällt, genauso groß ist wie die, dass sie nicht fällt. Das macht Sinn, wenn wir drei gerade und drei ungerade Zahlen auf dem Würfel haben.

Ein bestimmtes Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1, ein unmögliches Ereignis 0. Warum ist das so? Wir haben gesagt, dass für ein bestimmtes Phänomen J $J = \omega$ gilt und für ein unmögliches Phänomen N N = ∅ . Wenn wir diese in die Formel einsetzen, erhalten wir:

$$ P(J) = \frac{|\omega|}{|\omega|} = 1;\qquad P(N)=\frac{|\emptyset|}{|\omega|}=\frac{0}{|\omega|}=0. $$

Gelöste Beispiele

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln die Zahl fünf fällt? Das ist einfach, die Menge aller günstigen Phänomene ist nur A = {5}, die Menge aller Phänomene ist immer noch $\omega = {1,2,3,4,5,6}$. Wir setzen die Formel ein:

   $$ P(A) = \frac{|{5}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac16=16{,}666… \% $$

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine durch drei teilbare Zahl würfeln? Wir müssen herausfinden, welche Zahlen auf dem Würfel durch drei teilbar sind. Es sind nur die Zahlen 3 und 6, also ist die Menge der zulässigen Phänomene B = {3, 6}. Dann, ganz klassisch:

   $$ P(B) = \frac{|{3, 6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac26=\frac13=33{,}333… \% $$

3. Versuchen wir nun, mit zwei Würfeln gleichzeitig zu würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln eine Sechs zu würfeln? Als erstes müssen wir $\omega$ berechnen, d.h. die Menge aller Phänomene. Wir müssen alle Möglichkeiten berechnen, die auftreten können. Wenn wir also mit dem ersten Würfel eine 1 würfeln, können wir mit dem zweiten Würfel eine 1 bis 6 würfeln. Das gibt uns sechs Möglichkeiten. Wenn die Zahl 2 auf den ersten Würfel fällt, können die Zahlen 1 bis 6 wieder auf den zweiten Würfel fallen; wir haben also sechs weitere Möglichkeiten gefunden. Und so weiter für alle Zahlen, die auf den ersten Würfel fallen können. Die Gesamtheit der Möglichkeiten sieht dann so aus:

   $$\begin{eqnarray} &\omega=&[1{,}1], [1{,}2], [1{,}3], [1{,}4], [1{,}5], [1{,}6], \\ &&[2{,}1], [2{,}2], [2{,}3], [2{,}4], [2{,}5], [2{,}6], \\ &&\ldots\\ &&[6{,}1], [6{,}2], [6{,}3], [6{,}4], [6{,}5], [6{,}6] \end{eqnarray}$$

   Wir haben insgesamt sechs Reihen, und in jeder Reihe haben wir sechs Möglichkeiten. Insgesamt erhalten wir 6 · 6 = 36 Möglichkeiten, die auf den Würfel fallen können. Wie viele davon befinden sich gleichzeitig in der Menge der günstigen Ergebnisse? Nur eine Möglichkeit, nämlich [6, 6], denn wir wollen, dass zwei Sechsen fallen. Wir erhalten also eine Wahrscheinlichkeit:

   $$ P(C) = \frac{|{[6, 6]}|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Würfeln die gleiche Zahl fällt? Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist immer noch 36, siehe das vorherige Beispiel. Aber wie viele günstige Ergebnisse gibt es? Nur in sechs Fällen fällt auf beiden Würfeln die gleiche Zahl: D = {[1, 1], [2, 2], …, [6, 6]}:

   $$ P(D) = \frac{|D|}{|\omega|}=\frac{6}{36}=\frac16=16{,}666… \% $$

5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln, einem weißen und einem schwarzen, der weiße Würfel eine 3 und der schwarze Würfel eine 5 zeigt? Die Größe von $\omega$ ist immer noch 36. Wie sieht die Menge der begünstigten Phänomene E aus? Sie enthält nur die Möglichkeit [3, 5], also ist die Wahrscheinlichkeit gleich

   $$ P(E) = \frac{|E|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln, einem weißen und einem schwarzen Würfel, die Zahlen 3 und 5 gewürfelt werden? Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen, nur dass wir nicht verlangen, dass die Zahl 3 auf den weißen Würfel und die Zahl 5 auf den schwarzen Würfel fällt. Kurz gesagt, die Zahl 3 muss auf einen der Würfel fallen und die Zahl 5 muss auf den verbleibenden Würfel fallen. Damit haben wir mehrere Möglichkeiten: Neben [3, 5] gibt es auch die Möglichkeit [5, 3]. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Phänomen F ist also gleich:

   $$ P(F) = \frac{|F|}{|\omega|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5{,}555… \% $$

7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei zwei Würfeln mindestens eine 6 würfeln? Gehen wir der Reihe nach vor: Wenn wir mit dem ersten Würfel eine Sechs würfeln, können auf den zweiten Würfel die Zahlen 1 bis 5 fallen. Das sind fünf Möglichkeiten. Wird auf dem zweiten Würfel eine Sechs gewürfelt, dann können auf dem ersten Würfel die Zahlen 1 bis 5 fallen. Das sind fünf weitere Möglichkeiten. Schließlich kann auf beiden Würfeln eine Sechs gewürfelt werden - das ist eine weitere Möglichkeit. Insgesamt gibt es also 5 + 5 + 1 = 11 Möglichkeiten. Die Menge der zulässigen G Phänomene sieht also wie folgt aus: G = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [1, 6], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6], [6, 6]} Wir erhalten die Wahrscheinlichkeit:

   $$ P(G) = \frac{|G|}{|\omega|}=\frac{11}{36}=30{,}555… \% $$

8. Es gibt 30 Schüler in der Klasse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler Andrew in Geschichte zurückgerufen wird, wenn die Lehrerin immer zwei Schüler pro Klasse testet und noch keiner zurückgerufen wurde? Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir berechnen, wie viele verschiedene Schülerpaare es gibt und wie viele verschiedene Schülerpaare es gibt, bei denen eines der Paare Andrew ist. Da die Reihenfolge, in der die Schüler von der Lehrerin aufgerufen werden, keine Rolle spielt, werden wir Kombinationen verwenden.

   Jetzt ist es ganz einfach. Wir haben insgesamt 30 Schüler und wir fragen, wie viele verschiedene Paare wir zusammenstellen können. Das führt uns zu einer Kombinationszahl

   $$ {30 \choose 2} = 435 $$

   Und wie viele Paare hat Andrew? Wenn einer der beiden Andrew ist, bleiben insgesamt 29 Schüler übrig, mit denen Andrew ein Paar bilden kann (mit sich selbst kann er kein Paar bilden, also 30-1=29). Jetzt kennen wir die Anzahl aller Möglichkeiten und die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, also setzen wir sie in die Formel ein:

   $$ P(H) = \frac{29}{435}=0{,}0666\ldots=6{,}666… \% $$

   Hinweis: Die Anzahl aller Paare kann ohne Kombinationen berechnet werden. Wie könnten wir alle Paare bilden, wenn wir eine Klasse mit 30 Schülern haben? Indem wir einen Schüler nach dem anderen nehmen und alle anderen Schüler der Reihe nach addieren. Das bedeutet, dass wir z. B. Martin nehmen und alle anderen Schüler zu seinem Paar hinzufügen, d. h. wir bilden 29 Paare. Das machen wir mit jedem Schüler, d. h. mit allen 30 Schülern. Wir erhalten insgesamt 30 · 29 = 870 Paare. Allerdings ist jedes Paar zweimal vorhanden, einmal haben wir das Paar [Martin, Jana] und das zweite Mal [Jana, Martin] (je nachdem, ob Martin derjenige war, dem der Rest der Klasse zugeordnet wurde oder derjenige, der gerade Jana zugeordnet war). Also teilen wir dieses Ergebnis durch zwei und erhalten das Endergebnis: 870 / 2 = 435.

9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Schuhschrank mit zwölf Paar Schuhen drei Schuhe am linken Fuß herauszuziehen? Das ist ein so praktisches Beispiel aus dem Leben, dass du es sicher wissen musstest. Wir beginnen damit, zu zählen, wie viele verschiedene Dreierpaare wir überhaupt aus dem Schuhregal herausziehen können. Dazu brauchen wir Kombinationen, denn es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge wir die Schuhe herausziehen. Wir haben insgesamt 24 Schuhe und wollen 3 herausziehen. Wir erhalten eine Kombinationszahl:

   $$ {24 \choose 3} = 2024 $$

   Das sagt uns, dass es insgesamt 2024 verschiedene Kombinationen von drei Schuhen gibt, die wir aus dem Schuhkarton ziehen können. Nun müssen wir berechnen, welche Kombinationen günstig sind, d.h. welche Kombinationen von drei Schuhen immer einen Schuh für den linken Fuß enthalten. Wir wissen, dass es insgesamt 12 Schuhe für den linken Fuß im Schuhkarton gibt. Also berechnen wir einfach, wie viele Kombinationen aus diesen 12 Schuhen wir machen können. Dies führt wiederum zu einer Kombinationszahl:

   $$ {12 \choose 3} = 220 $$

   Es gibt 220 Kombinationen, die immer nur den Schuh für den linken Fuß enthalten. Das ist alles, was wir wissen müssen, jetzt setzen wir es einfach in die Formel ein:

   $$ P(I) = \frac{220}{2024}=0{,}108695=10{,}8695 \% $$

   Wir haben eine zehnprozentige Chance, drei Schuhe herauszuziehen, alle für den linken Fuß.