Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung können wir dem Zufallsexperiment eine zusätzliche Bedingung hinzufügen. Ein klassisches Problem der bedingten Wahrscheinlichkeit könnte also folgendes Beispiel sein: Wir würfeln mit drei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gleich sieben ist, wenn mit einem der Würfel eine Drei gewürfelt wird?

Ableitung der Formel

Nehmen wir ein Zufallsexperiment (z. B. einen Würfelwurf) und zwei verschiedene Phänomene A und B an, so dass P(B) ≠ 0, d. h. das Phänomen B nicht unmöglich ist. Wir können dann von bedingter Wahrscheinlichkeit sprechen, wenn wir fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit des Phänomens A ist, wenn das Phänomen B eintritt. Wir bezeichnen dies mit P(A|B).

Wir werden versuchen, nach und nach eine Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit zu finden. Der Einfachheit halber stellen wir uns einen tetraedrischen Würfel vor, d.h. einen Würfel, auf den nur die Zahlen 1, 2, 3 oder 4 fallen können. Versuchen wir, das Problem zu lösen: Wenn wir zwei tetraedrische Würfel werfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Werte gleich sechs ist, wenn einer der Würfel eine Zahl kleiner als drei gewürfelt hat?

Wir beginnen damit, alle Möglichkeiten für die beiden tetraedrischen Würfel aufzulisten. Es gibt insgesamt 4 · 4 = 16.

$$\begin{eqnarray} &&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], [3, 3], [3, 4], \\ &&[4, 1], [4, 2], [4, 3], [4, 4] \end{eqnarray}$$

Wie sehen die Phänomene A und B aus? Das Phänomen A ist "die Summe der Würfelwerte ist gleich sechs" und das Phänomen B ist "auf einem der Würfel wurde eine Zahl kleiner als drei gewürfelt". Und wir interessieren uns für die bedingte Wahrscheinlichkeit von P(A|B) - wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Phänomen A eintritt, wenn wir wissen, dass das Phänomen B eingetreten ist. Zunächst filtern wir aus der vorherigen Tabelle nur die Paare heraus, die auch das Phänomen B sind, d.h. mindestens eine Zahl in dem Paar ist kleiner als drei. Wir erhalten:

$$\begin{eqnarray} &B=&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], \\ &&[4, 1], [4, 2] \end{eqnarray}$$

Wir können dies im Grunde als die Menge aller möglichen Ergebnisse sehen. Tatsächlich können wir zwei 4en würfeln, aber wir sagen durch die zusätzliche Bedingung B, dass wir an einem solchen Ergebnis nicht interessiert sind - wir sind nur an Ergebnissen interessiert, bei denen mindestens ein Würfel eine Zahl kleiner als drei hat.

Und jetzt fragen wir - jetzt fragen wir einfach, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Phänomen A auftritt, wenn die Menge aller Phänomene gleich der Menge B ist? Die bedingte Wahrscheinlichkeit sagt nichts anderes aus. In dieser Menge B finden wir also jene Paare, die eine Summe von sechs ergeben:

$$ [2, 4], [4, 2] $$

Wie würden wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen? Wir haben insgesamt 2 günstige Ergebnisse und die Menge aller Ergebnisse ist gleich der Größe der Menge B, also 12. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist also gleich

$$ P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac16 $$

Jetzt geht es darum, wie man verallgemeinern kann. Wir haben gesagt, dass wir die Menge B als die Menge aller möglichen Lösungen betrachten können. Wie würde die Menge aller günstigen Ergebnisse aussehen? Es wäre die Menge der Ergebnisse, die auf A (das ist das Phänomen, an dem wir interessiert sind), aber auch auf B (das ist die Bedingung, die uns einschränkt) zu finden sind. Mit anderen Worten, es gibt noch eine weitere Möglichkeit, wie zwei tetraedrische Würfel die Summe von 6 ergeben können: wenn beide eine 3 würfeln. Aber das würde die Bedingung B nicht erfüllen: Mindestens eine Zahl ist in unserem Fall kleiner als drei. Daher nehmen wir dieses Ergebnis nicht in die günstigen Lösungen auf. Die Menge der günstigen Lösungen ist also gleich: A ∩ B, die Schnittmenge der beiden Phänomene. Setzt man dies zusammen, erhält man die Formel:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}. $$

Aus der Formel wird ersichtlich, warum wir davon ausgegangen sind, dass P(B) ≠ 0; wäre diese Bedingung nicht erfüllt, würden wir durch Null dividieren, was ein schwarzes Loch erzeugen könnte.

Die vorangegangenen Formeln sind gültig, wenn wir von der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit sprechen, bei der alle elementaren Phänomene die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben. Wir können die Formel in einer allgemeineren Form umformulieren:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$

Gelöste Beispiele

1. Wir würfeln mit zwei Würfeln, schwarz und weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem weißen Würfel eine Vier zu würfeln, wenn die Summe der beiden Werte gleich sieben ist? Schlüsseln wir es auf: Phänomen A: "eine Vier wird auf dem weißen Würfel gewürfelt", Phänomen B (Bedingung): "die Summe ist gleich sieben". Das Phänomen B enthält alle Wertepaare, die sich zu 7 addieren, also B = {[1, 6], [2, 5], [3, 4], [4, 3], [5, 2], [6, 1]}. Nun berechnen wir A ∩ B, d.h. welche Paare von B sind auch in A, d.h. dass eine Vier auf den weißen Würfel gefallen ist? Angenommen, die Werte haben die Form [černá, bílá], dann ist das einzige Paar, das zu A ∩ B gehört, [3, 4]. Jetzt setzen wir einfach die Formel ein:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac16. $$