Komplementäres Phänomen

Ein Komplementärphänomen kann manchmal verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Phänomens zu berechnen. Ein komplementäres Phänomen zum Phänomen A ist das Phänomen A', das alle möglichen Ergebnisse enthält, die auftreten können, aber nicht im Phänomen A enthalten sind.

Definition von

Die Definitionen des Zufallsexperiments und des Phänomens werden im Kapitel über die Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben. Kurz zur Erinnerung: Ein Zufallsexperiment ist z. B. ein Würfelwurf, die Menge aller möglichen Ergebnisse enthält die Ergebnisse, die auftreten können, d. h. im Falle eines Würfelwurfs ist es die Menge $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, das Phänomen ist eine Teilmenge von $\omega$ und kann "eine ungerade gewürfelte Zahl" sein, d. h. A = {1, 3, 5}.

Wenn wir das Phänomen A haben und bei "eine ungerade gewürfelte Zahl", d.h. A = {1, 3, 5} bleiben, ist das komplementäre Phänomen $A' = \omega \setminus A$. Das gilt auch für alle anderen Phänomene, die in $\omega$ enthalten sind, aber nicht in A. In unserem Fall, wo wir das Phänomen "eine ungerade gewürfelte Zahl" haben, wäre das komplementäre Phänomen "eine gerade gewürfelte Zahl". Das Komplementärphänomen zum Phänomen "eine Zahl 2 oder 5 wird gewürfelt" ist das Phänomen "eine Zahl 1, 3, 4 oder 6 wird gewürfelt".

Um bei der Mengenterminologie zu bleiben: Wenn $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ und das Phänomen A = {1, 2} ("eine Zahl kleiner als drei fällt"), dann $A' = \omega \setminus A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \setminus {1, 2} = {3, 4, 5, 6}$. Verbal könnte man es als "eine Zahl größer als zwei fällt" beschreiben.

Für die Wahrscheinlichkeit eines komplementären Ereignisses gilt eine einfache Beziehung: Wenn die Wahrscheinlichkeit von A 25% beträgt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit von A'? Im Grunde genommen fragen wir: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Phänomen A nicht auftritt? Das Phänomen A tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % auf und somit tritt das Phänomen A mit einer Wahrscheinlichkeit von 100 − 25 = 75 % nicht auf. Da dies immer der Fall ist, können wir sagen, dass das komplementäre Phänomen A' mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − P(A) auftritt:

$$ P(A') = 1 - P(A) $$

Gelöste Beispiele

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln keine zwei Sechsen geworfen werden? Im Kapitel über die Wahrscheinlichkeit haben wir berechnet, dass es insgesamt 36 verschiedene Möglichkeiten gibt, die beim Würfeln mit zwei Würfeln auftreten können. Nun sollen wir berechnen, wie viele dieser Möglichkeiten keine zwei Sechsen enthalten. Wir können auch den umgekehrten Weg gehen: Wir zählen, wie viele Paare zwei Sechsen enthalten, berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist, und subtrahieren diese von eins.

   Es gibt nur ein Paar, das zwei Sechsen enthält, [6, 6], also ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Phänomen A:

   $$ P(A) = \frac{1}{36} $$

   Die Wahrscheinlichkeit des komplementären Phänomens A', d. h. des Phänomens "zwei Sechsen fallen nicht", ist dann:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} = 97{,}2222… \% $$

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit drei Würfeln mindestens eine Sechs fällt? Auch dieses Problem können wir direkt lösen und alle Varianten auflisten, in denen wir eine Sechs, zwei Sechsen und drei Sechsen würfeln. Wir können aber auch vom Wald ausgehen und das komplementäre Phänomen berechnen, d. h. das Phänomen "nicht einmal eine Sechs fiel". Berechnen wir zunächst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, die wir fallen lassen können. Wir haben drei Würfel, auf die jeweils die Zahlen 1 bis 6 fallen können, was insgesamt 6³ = 216 Möglichkeiten ergibt.

   Nun müssen wir die Möglichkeiten zählen, bei denen nicht einmal eine Sechs fällt. Jeder Würfel muss eine Zahl von 1 bis 5 enthalten, also gibt es insgesamt 5³ = 125 Möglichkeiten, die nicht die Zahl 6 enthalten. Jetzt setzen wir das einfach in die Formel ein:

   $$ P(A) = \frac{125}{216}=57{,}87 \% $$

   Das war das Phänomen A - "nicht eine einzige Sechs". Wir wollen das komplementäre Phänomen wissen: "mindestens eine Sechs ist gefallen". Wir setzen das in die Formel ein:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 42{,}1296 \% $$

3. Ein Schüler zieht 3 Fragen aus 30 Fragen, die in einer Matheprüfung gestellt werden. Es gibt 10 Fragen aus der Algebra, 15 aus der Analysis und 5 aus der Geometrie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zwei Fragen aus demselben Fach zieht? Auch hier ist es einfacher, das Problem zu lösen, indem man das zusätzliche Phänomen verwendet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler nur eine Frage aus jedem Fach zieht?

   Zunächst berechnen wir, wie viele verschiedene Dreiergruppen ein Schüler ziehen kann. Dazu benötigen wir die Kombinationen. Wir haben insgesamt 30 Fragen, von denen wir 3 ziehen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Das gibt uns eine Kombinationszahl

   $$ {30 \choose 3} = 4060 $$

   Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es nun, wenn ein Schüler nur eine Frage aus jedem Bereich zieht? Mit Hilfe der kombinatorischen Produktregel finden wir heraus, dass die Gesamtzahl 10 · 15 · 5 = 750 ist. Schließlich setzen wir die Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen:

   $$ P(A) = \frac{750}{4060}=18{,}47 \% $$

   Da wir aber den Komplementäreffekt wissen wollen, ziehen wir das Ergebnis einfach von eins ab:

   $$ P(A') = 1 - \frac{750}{4060} = \frac{3310}{4060} = 81{,}53 \% $$