Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ist eine Verallgemeinerung klassischer Formeln wie (a + b)2 unter Verwendung kombinatorischer Techniken.
Begründung
Sicherlich kennen Sie die Formeln zur Berechnung von (a + b)2 oder (a + b)3:
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$
Und eine natürliche Frage ist, ob diese Formeln nicht für jede natürliche Zahl n verallgemeinert werden können, d.h. ob (a + b)n berechnet werden kann?
Ableitung von
Natürlich kann man das, und der Binomische Satz wird dazu verwendet. Versuchen wir nun zu sehen, wie diese Entwicklung für n = 4 und n = 5 weitergehen würde.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\ (a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{eqnarray}$$
Sie sollten bereits ein bestimmtes Muster erkennen. Wenn wir den Ausdruck (a + b)n haben, beginnen wir immer mit dem Glied an auf der rechten Seite. Das zweite Glied enthält auch die Variable a, aber der Exponent ist um eins kleiner. Ein Beispiel: Für die Zerlegung (a + b)4 haben wir a4 im ersten Glied auf der rechten Seite und a3 im zweiten Glied. Jedes nachfolgende Glied enthält die Variable a mit einem um eins niedrigeren Exponenten als das vorherige Glied. Die Variable b hingegen ist ansteigend. Zu Beginn gibt es die Variable b nicht oder mit einem Exponenten von Null: b0 = 1 Im zweiten Glied hat b dann einen Exponenten von eins, dann zwei, und so weiter.
Bei all dem gilt die einfache Regel, dass die Summe der Exponenten immer gleich n sein muss. Wenn wir die letzte Verteilung von (a + b)5 betrachten, dann ist zum Beispiel das dritte Glied 10a3 · b2 und die Summe der Exponenten der Variablen a und b ist gerade 5.
Der letzte Punkt ist, wie hoch die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) für jeden Term sein werden. Sie werden feststellen, dass die Koeffizienten symmetrisch sind: für (a + b)4 haben wir die Koeffizienten von 1,4,6,4,1, für (a + b)5 haben wir: 1, 5, 10, 10, 5, 1 Ich erinnere Sie daran, dass a4 = 1 · a4, deshalb schreibe ich dort die Eins, auch wenn ich sie in den Formeln nicht ausdrücklich erwähne. Wir werden die nächste Beziehung zum Pascalschen Dreieck zeigen.
Pascalsches Dreieck
DasPascalsche Dreieck ist ein praktisches Hilfsmittel zur Berechnung der Entwicklung durch den binomischen Satz. Das Pascalsche Dreieck besteht aus Zahlen, und es ist wahr, dass die Zahl, die unter zwei beliebigen anderen Zahlen liegt, gleich ihrer Summe ist. Das klingt kompliziert, aber das Dreieck selbst macht es deutlich:
Betrachten Sie zum Beispiel die Zahl vier. Über dieser Zahl liegen die Zahlen 1 und 3. Und die Summe von 1+3 ergibt eben 4. Ähnlich verhält es sich mit den anderen Zahlen.
Und wie nutzen wir das Pascalsche Dreieck? Wenn Sie sich die Zahlen auf jeder Zeile ansehen, werden Sie feststellen, dass sie den Koeffizienten der sich ergebenden binomischen Erweiterung sehr ähnlich sehen. Zum Beispiel haben wir für (a + b)2 die Koeffizienten von 1,2,1, was genau die zweite Zeile ist. Für (a + b)4 haben wir die Koeffizienten von 1,4,6,4,1, was genau die vierte Zeile ist. Wenn wir (a + b)n berechnen müssen, brauchen wir nur n zu betrachten - die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Definition des binomischen Lehrsatzes
Formal lautet der Binomische Satz wie folgt:
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N} $$
Wir berechnen die Summe von Null bis einschließlich n. Die sich daraus ergebende Anzahl der Summanden ist n + 1. Die Zahl in den Klammern ist die kombinatorische Zahl, die aus der Kombinatorik stammt und die Anzahl der verschiedenen Kombinationen angibt, aus denen wir einen bestimmten binomischen Expansionsterm erhalten können. Der Rest sind einfach Variablen mit entsprechenden Exponenten. Beachten Sie, dass die Summe der Exponenten in Wirklichkeit gleich n: n − k + k = n ist.
Beispiele
Ein einfaches Beispiel: Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes (a + 2b)4. Betrachten wir zunächst das Pascalsche Dreieck in der vierten Zeile. Dies sagt uns, dass die Koeffizienten die Form haben: 1,4,6,4,1 Nun müssen wir nur noch die Exponenten einzeln addieren. Der erste Term wird einfach a4 sein:
$$(a+2b)^4=a^4+\ldots$$
Im zweiten Term haben wir die Exponenten in Paare zerlegt 3,1, so dass wir a3(2b)1 erhalten. Der Exponent im ersten Term hat keinen Einfluss auf den Ausdruck, so dass wir a32b schreiben können. Der Koeffizient im zweiten Term ist 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots$$
Der dritte Term hat den Exponenten 2,2. Ein bisschen Vorsicht, wir multiplizieren das ganze 2b, also ist das: (2b)2, was gleich ist: (2b)2 = 4b2 Wir fügen der Erweiterung einen Koeffizienten von 6 hinzu:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots$$
Der vierte Term hat die Form a(2b)3. Nach der Potenzierung erhalten wir a8b3. Wir addieren ihn mit einem Koeffizienten von 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots$$
Der letzte Term ist dann einfach (2b)4 = 16b4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.$$
Jetzt müssen wir nur noch eine kleine Änderung vornehmen. Im Glied 4a32b können wir eine 2 an den Anfang des Gliedes setzen und mit 2 · 4 = 8 multiplizieren. So erhalten wir 8a3b. Wenn wir dies für den Rest tun, erhalten wir das Ergebnis:
$$(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.$$
Bitte beachten Sie, dass an dieser Stelle die Koeffizienten nicht mehr mit den Zahlen im Pascalschen Dreieck übereinstimmen.