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Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die häufigsten Zahlen, denen wir im Alltag begegnen. Sie sind positive ganze Zahlen, also die Zahlen 1, 2, 3, 4, ...

Kennzeichnung

Die natürlichen Zahlen sind die Menge der positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, ... Wir bezeichnen diese Menge üblicherweise mit dem Buchstaben N, wobei der erste Schenkel verdoppelt ist, wie folgt: ℕ Das Wort stammt aus dem Englischen "naturals".

Wir nehmen manchmal an, dass die Menge der Naturale auch die Null enthält. Wenn wir dies unterscheiden müssen, verwenden wir normalerweise das klassische ℕ für die Menge ohne Null, und wenn wir auch die Null wollen, dann fügen wir die Null wie folgt zum Index hinzu: ℕ0 Oft verwenden wir dann noch das Pluszeichen, um hervorzuheben, dass wir natürliche Zahlen ohne Null zählen $\mathbb{N}^+$.

Wir verwenden natürliche Zahlen hauptsächlich, um die Menge von etwas zu bestimmen ("wir haben drei Stühle zu Hause", "es gibt dreißig Bänke im Park", ...) und um die Reihenfolge zu bestimmen ("der erste Mensch auf dem Mond", "Kanada ist das zweitgrößte Land der Welt", ...).

Eigenschaften

Die natürlichen Zahlen haben einige interessante Eigenschaften:

  1. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, aber sie ist abzählbar, wir können sie alle in einer Folge anordnen.
  • Natürliche Zahlen sind für die Operationen der Addition und Multiplikation geschlossen. Das heißt, wenn wir zwei natürliche Zahlen multiplizieren oder addieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl.
  • Sie sind nicht geschlossen für die Subtraktion, denn wenn wir eine größere Zahl von einer kleineren subtrahieren, erhalten wir eine negative Zahl.
  • Auch für die Division sind sie nicht geschlossen, zum Beispiel ist 7/2 keine natürliche Zahl.

Division mit Rest

Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass natürliche Zahlen in Bezug auf die Division nicht geschlossen sind. Wir können jedoch die Operation der Division mit Rest definieren, mit der Sie sicher alle vertraut sind. Wenn wir 7/2 dividieren, erhalten wir 3,5. Wenn wir die Division mit Rest anwenden, erhalten wir das Ergebnis 3 und den Rest 1. Wenn wir also 3 · 2 multiplizieren und den Rest addieren, erhalten wir wieder 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Die natürlichen Zahlen sind in Bezug auf diese Operation zwar nicht geschlossen, aber die natürlichen Zahlen einschließlich der Null sind es. Daher sind sowohl das Ergebnis als auch der Rest in der Menge ℕ0 enthalten.

Die Definition der Division mit Rest sieht wie folgt aus:

$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$

In der Definition haben wir a:b dividiert, die Zahl r heißt der Rest nach der Division und q das Ergebnis der Division. Was bedeuten die Begriffe? Wir gehen davon aus, dass wir uns in der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null befinden, aber da wir nicht durch Null dividieren können, wählen wir b aus der Menge ohne Null.

Für das Beispiel zur Berechnung von 19:5 wären also a = 19 und b = 5 gültig. Die Zerlegung würde wie folgt aussehen:

$$19=5\cdot3+4$$

Also q = 3, das ist das Ergebnis nach der Division, und r = 4, das ist der Rest.